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マスターオブ整数
- 1 :名無しなのに合格:2018/03/28(水) 12:50:34.79 ID:+RbXUzt1.net
- 第三部難しすぎて萎えるんだけど
- 2 :名無しなのに合格:2018/03/28(水) 14:15:35.86 ID:Th5JvCU7.net
- 東大、京大理系ならやったほうがいい。
ただ一橋整数の対策としてやるのはオーバーワークすぎ。過去問研究通して経験積めば
出来ない問題はなくなっていく。
- 3 :名無しなのに合格:2018/03/28(水) 15:29:40.25 ID:+RbXUzt1.net
- 京大文系やなあ
- 4 :名無しなのに合格:2018/03/28(水) 15:30:48.18 ID:Th5JvCU7.net
- >>3
じゃあいらんなー
- 5 :名無しなのに合格:2018/03/28(水) 15:55:24.51 ID:qqRcN+vt.net
- 文系のどこ?
- 6 :名無しなのに合格:2018/03/28(水) 16:45:40.84 ID:RSpZMu9Z.net
- 東工大に必要?
- 7 :名無しなのに合格:2018/03/28(水) 17:03:40.91 ID:UBao7pee.net
- 第3部
1
直線の式、格子点、互いに素
1・1
格子点の三角形の最小面積は1/2
1・ 2
設定して調べると±1のみ
1・3
表せない自然数の個数(非負整数の場合についても調べておくと良い)
ピックの定理、互いに素
- 8 :名無しなのに合格:2018/03/28(水) 17:08:15.98 ID:+RbXUzt1.net
- >>5
総人
- 9 :名無しなのに合格:2018/03/28(水) 17:08:49.63 ID:+RbXUzt1.net
- >>4
おっけ、でもちょっとやっちゃったから理系問題だけ飛ばしてやる
- 10 :名無しなのに合格:2018/03/28(水) 17:14:51.24 ID:+RbXUzt1.net
- >>6
東工大の問題4問乗ってるけどどーなんやろ、京大理系の問題がクソ多い
- 11 :名無しなのに合格:2018/03/28(水) 17:17:21.11 ID:UBao7pee.net
- 第3部
1
大小を勝手に設定する。不等式で絞る。虱潰し。
大小関係の解消し忘れに注意。
2・1
(1)分母を払って両辺を見比べる。
(2)3の倍数を置く。虱潰し。
(3)3の倍数を置く。虱潰し。
※絞った後で全部調べる。
2・ 2
不定方程式の一般論。単位分数の和。
大小関係を設定してその場合に有限個であることを示す。N個の置換はN!で、これは有限だから。
そのあと帰納法。最大の整数。
- 12 :名無しなのに合格:2018/03/28(水) 17:24:46.42 ID:SsN8v/tx.net
- 巻末にいいこと書いてあってけどなんか腹立った
- 13 :名無しなのに合格:2018/03/28(水) 17:29:53.97 ID:UBao7pee.net
- 第3部
1
指数関数形の剰余は周期を持つ。
(1)MOD7でOK。
(2)いくつか調べると候補は7のみ。MOD7でOK。
3・1
まずは奇数に絞れる。調べるとMOD 10で9のみ。
3・ 2
対偶を示す、すなわち互いに素ではないと仮定する。
2^i≡1 (MOD p) を満たす最小の iをkと置き、k>1を示す。この手法は重要。
または二進法を使う。
- 14 :名無しなのに合格:2018/03/28(水) 17:41:17.58 ID:UBao7pee.net
- 第3部
4
具体的に調べて法則を探る。
nCpは pの倍数ではない。
nCqは qの倍数ではない。
nC1=pq。
4・1
右段の2つの定理が重要。注もチェック。
4・ 2
素因数分解と因数分解。
片方が1より大なので他方が1に決まる。
二項展開。上記定理により奇素数pで割り切れる。
連続 2整数は偶奇を異にするからd−1は2で割り切れる。
- 15 :名無しなのに合格:2018/03/28(水) 18:06:32.87 ID:UBao7pee.net
- 第3部
5
冒頭の証明は重要。整数係数の整方程式の有理数解。
モニック多項式。(2)は対偶を示す。
※アイゼンシュタインの定理(既約判定法)の一部。
5・1
(1)冒頭の定理で「持つとしたら○○」を出しておく
実際に調べる。
(2)冒頭の定理ではなく素因数分解を使う。
5・ 2
q=0の場合に注意する。MOD 4を使う。
5・3
MOD 2または偶奇性を使う。
5・ 4
解と係数の関係。少なくとも1つ→結局2つとも。
不定方程式を解く。
5・5
解の公式で実際に解く。
ちなみに最終行のように問題を変えると
答えは、そのようなbは存在しない、となる。
- 16 :名無しなのに合格:2018/03/28(水) 18:34:20.38 ID:UBao7pee.net
- 第3部
6
次数下げ。または適当な基底を取る。
必要条件で絞る。逆にそれで十分であることを示す。
6・ 1
次数下げ。帰納法。逆向きに帰納法を進めると自然数だけではなく整数において成り立つことが示せる。
6・2
n次多項式にn + 1個の値。
次数下げ。帰納法の仮定と命題の仮定の2つを仮定する。
適当な基底を考えても解ける。
- 17 :名無しなのに合格:2018/03/28(水) 18:50:12.94 ID:UBao7pee.net
- 第3部
7
剰余の漸化式。必ず周期を持つ。
(1) 10の倍数⇔ 2の倍数かつ5の倍数。
部屋割り論法。
(2) qがrを因数に持つか持たないかで場合分け。
漸化式を逆向きに使う。重要手法。
7・ 1
(1)初めの 10項を調べる。問題文がヒントになっている
(2)初めの8項について成り立つ→帰納法。
8つおきの帰納法。
7・ 2
2× 9に分解する。
偶奇性。MOD 3でMOD 9。
7・3
帰納法。平方数ではさむのは当然として最後の一個で場合を分ける。どちらも成り立つ。
- 18 :名無しなのに合格:2018/03/28(水) 19:01:49.31 ID:UBao7pee.net
- 第3部
8
重要な置換。cos∈Qからt^2∈Qからのt∈Q。
有理数条件からピタゴラス数。
8・ 1
互いに素。MOD 4で矛盾を導く。
xとzは奇数なので偶奇が一致するから和と差で表せる。
共通な素因数を持たないことを示す。互いに素なので偶数個ある素因数は分散しない。
8・ 2
(1)帰納法。
(2)帰納法。式変形。平方完成。
(3)無限降下法。連立方程式。
3:4:5に帰着する。
- 19 :名無しなのに合格:2018/03/28(水) 19:10:56.99 ID:UBao7pee.net
- 第3部
9
共役。
二項定理。偶奇で場合分け。ペル方程式。
9・ 1
共役を考える。辺々かける。
帰納法は不可(重要)。
9・ 2
片方は 1より小さい数のn乗になるのがポイント。
MOD 5で考える。a≡3^n=3, 4, 2, 1, 3, ...
2a-1=0, 2, 3, 1, ...
- 20 :名無しなのに合格:2018/03/28(水) 19:38:01.19 ID:UBao7pee.net
- 10
ペル方程式
(x n, yn)は全てペル方程式の解となる。
逆にペル方程式の自然数解は(x n,yn)が全てである。
xを消去→不等式評価。
無限降下法。yは負になることはない。従っていつかはy=0になる。この時x= 1。
x1>0を示しておくことが必要。
※全て(1,0)に帰着する。
10・ 1
(1)実際に計算する。
(2)絶対値が増加することを示す。
10・ 2
(1)積に分解する。場合分け。
(2)帰納法。
− 1にすると nが奇数の場合のみ満たす。
10・3
(1)ブラーマグプタの恒等式。
(2)a= 2として漸化式を作る。うまい値を代入する必要があるトリッキーな問題。 2箇所のうち1箇所だけ文字を消去する。
恒等式の利用。自然数の増加列であるから全て異なる。
nに 1から代入していくと n= 4が当てはまる。
- 21 :名無しなのに合格:2018/03/28(水) 19:51:51.04 ID:UBao7pee.net
- 第3部
1 1
1と同じテーマ。
互いに素。格子点。端点。
面積の最小値。
1 1・ 1
(1)背理法でもできる。
(2)平行四辺形の面積二等分。
1 1・2
ピックの定理。面積=内部 +周/ 2 − 1
1 1・3
格子点を結ぶ三角形の面積は有理数、
正三角形の面積は無理数になる。
1 1・ 4
正多角形の1つの内角をθとすると
sinθが無理数の時、存在しない。
五角形全体を考える必要が無く、三角形について考えるだけで良い。
別解。正五角形の中に平行四辺形ができるので格子点を内部に含むことになる。これが無限に続くので矛盾。
- 22 :名無しなのに合格:2018/03/28(水) 20:35:20.01 ID:+RbXUzt1.net
- >>21
なんかありがとwwwwwwwww
- 23 :名無しなのに合格:2018/03/28(水) 21:11:28.73 ID:UBao7pee.net
- 第3部
1 2
書きづらいが実際に図を書く。
反射は折り返して直進させる。
繰り返しの構造。
交点を間違えないように数える。
1 2・ 1
(1) iを i + 1に変えても変わらない不変量である。
(2) (1)が利用できる。オイラー関数、互いに素。
1 2・ 2
dが0かどうかで場合分け。回転角をθとしてパラメーターにする。内角を設定する。
問題を見れば自然に分かる。
- 24 :名無しなのに合格:2018/03/28(水) 21:27:51.46 ID:UBao7pee.net
- 第3部
1 3
前問と似ている。
互いに素。偶数と奇数。
MOD mで余りが全て異なる。奇数と偶数で場合分け。
証明すべきことを定式化できるかどうかが鍵。
1 3・ 1
折り返しの連続。
有理数と無理数。
1 3・ 2
減少数列ではないが二項ずつ取ると減少している。
実験が大事。無限降下法。背理法。
有理数の話を整数の話にする。分母を払う。繰り返しの構造。いつかは0になる。
- 25 :名無しなのに合格:2018/03/28(水) 21:37:58.72 ID:UBao7pee.net
- 第3部
1 4
背理法。
かなり特殊。行列式。
1 4・ 1
ユークリッドの互除法。
例題と同じ解法でも解ける。
オイラー関数。中央項。奇数。
- 26 :名無しなのに合格:2018/03/28(水) 21:44:46.87 ID:UBao7pee.net
- 第3部
1 5
MOD 3。
分母を払って矛盾を導く。
分母が揃うしかないことに注意する。
1 5・ 1
幾何学的な意味。xが有理数でyも有理数になる。
これが重要。
無限個存在する。
- 27 :名無しなのに合格:2018/03/28(水) 21:52:17.44 ID:UBao7pee.net
- 第3部
16
重要問題。桁の移動。漸化式。実験。
16・ 1
帰納法。最小のものは二進数。
16・ 2
二進数で鮮やかに解ける。振動する。
- 28 :名無しなのに合格:2018/03/28(水) 22:05:18.54 ID:UBao7pee.net
- 第3部
17
ガウス記号。
bを自分で用意するところがポイント。
レイリーの定理。
17・ 1
的確に設定する。数え間違いをしない。
17・ 2
的確に設定する。互いに素。[1/α]は整数、がポイント。
絞れるので虱潰し。
- 29 :名無しなのに合格:2018/03/28(水) 23:09:36.84 ID:UBao7pee.net
- 第3部
18
(1)偶奇で 4通りなので部屋割り論法・鳩の巣原理により成り立つ。
(2)偶奇で8通りなので最低9個でダブる。
18・ 1
S 0とS kを設定する。
S 0からS nまで n + 1個あるのでそれらのどれか2つは必ずMOD nで一致する。
18・ 2
(1)差を因数分解するとどちらもp未満になるのでpで割り切れない。
(2)余りの中に kがあるかないかで場合分けをする。
ある場合はうまい値を代入することで解決する。
ない場合。あまりは k + 1個で 0〜p− 1= 2 kの中にある。
k室用意して 0〜 2 kまで2人ずつ入れると、k + 1個のあまりは全てが一人で入ることはできない。
部屋割り論法・鳩の巣原理。
2 k + 1=pでOK。
終わり。
- 30 :名無しなのに合格:2018/03/29(木) 00:02:19.03 ID:2/1fqtYR.net
- >>29
とりあえず保存しとくわw
- 31 :名無しなのに合格:2018/03/29(木) 00:13:21.03 ID:7vQyYw6V.net
- すげえ優しい人いて草
- 32 :名無しなのに合格:2018/03/29(木) 12:17:42.47 ID:psHzwQBS.net
- 受サロも捨てたもんじゃないな
- 33 :名無しなのに合格:2018/03/29(木) 18:21:11.30 ID:kQygg83C.net
- 好意的なレスありがとうございます。
もう誰も見ていないと思うので勝手に続けます。
マスターオブ整数・第2部を読む。
基本事項のまとめではなくて発展事項の解説なので初めは読むのがつらいと思う。必ずしも読む必要はない。
一回で見開き2ページくらいずつ読むと案外読み終わるかも知れない。あと作業を実際やりながら読むのは極めて重要。整数問題は実験→規則性が大事。
素因数分解は整数で最も重要な論点。エラトステネスの篩。素因数分解の一意性。√ nまで調べれば十分。
素数には最大値はない+素数は無限個あることの証明が書いてある。
約数の個数の公式。約数の総和の公式。
- 34 :名無しなのに合格:2018/03/29(木) 18:30:38.04 ID:kQygg83C.net
- マスターオブ整数・第2部を読む。p 57
n!に含まれる素因数の個数の公式(中学入試)
図にすると、縦に数えるか横に数えるか問題。
素因数分解してある数の最大公約数と最小公倍数の拾い出し方。小さい指数を拾っていけば最大公約数、大きい方を拾っていけば最小公倍数になる。
公式 A B=G L、L=G a b。
平方数の約数の個数は奇数個。重要。
非平方数の約数の個数は偶数個。
どちらも約数の総積(総乗)の公式は同じ。
- 35 :名無しなのに合格:2018/03/29(木) 18:47:45.97 ID:kQygg83C.net
- マスターオブ整数・第2部を読む。p 58
素因数分解が終わって次のテーマに移る。
倍数の周期性。最小公倍数ごとに繰り返す。重要。
倍数の対称性。一列に並べると左右対称になる。重要。
※倍数というより、公差の異なる複数の等差数列と言った方がいい。
- 36 :名無しなのに合格:2018/03/29(木) 18:56:48.08 ID:kQygg83C.net
- マスターオブ整数・第2部を読む。p 59
オイラー関数。 n以下の自然数でnと互いに素な数の個数。これは便利。
感覚的な理解。イメージ。
2で割り切らない中の、3で割り切れない中の、とやっていく。
中国剰余定理。
どの2つも互いに素という仮定。一周期の中にただ一つ存在する。
百五減算は覚えやすいし便利。
- 37 :名無しなのに合格:2018/03/29(木) 19:09:26.56 ID:kQygg83C.net
- マスターオブ整数・第2部を読む。p 6 0、 6 1
合同式に入る。余りの計算は余りだけでやって良いということ。
※ここで言う計算とは足し算・引き算・掛け算のことで割り算は含まれない。
無限個ある整数を有限個に類別する。
円環的イメージ。
類。代表値。剰余類の法。
負の剰余も考えると便利。計算上、別に矛盾しない。
答えの時は普通の余りで答える。
合同式を使った計算の意味。別に合同式を使わなくても内容は同じ。
しかし簡潔に表現できるので楽だから使う。
便利だが間違って使わないように注意する。
自信がなかったら使わないで普通にやる方がいい。
しかし推論に役立つので食わず嫌いは勿体ない。
- 38 :名無しなのに合格:2018/03/29(木) 21:30:06.42 ID:kQygg83C.net
- マスターオブ整数・第2部を読む。p 6 2
よく入試の元ネタになっている重要な性質。
互いに素。両方ともが素数である必要はない。
証明 1は普通。証明2は難しい。
- 39 :名無しなのに合格:2018/03/29(木) 21:44:59.58 ID:kQygg83C.net
- マスターオブ整数・第2部を読む。p 6 3
pを素数、k<pとすると逆元が必ず存在する。
互いに素。
これが合同式における割り算に相当する。
1とp− 1は自分だけで、他はペアでを組む。
ウィルソンの定理・・・p− 1以外はペアを組むので積が1になる。逆元がポイント。
フェルマーの小定理・・・pと互いに素であるa、すなわちpの倍数以外のaについて成り立つ。
k^ iがMOD pで全て異なり、 0以外を覆う時、kをMOD pにおける原始根という。MOD 7で3は原始根である。
具体例があるので分かりやすい。
- 40 :名無しなのに合格:2018/03/29(木) 21:53:03.25 ID:kQygg83C.net
- マスターオブ整数・第2部を読む。p 64
ユークリッドの互除法の解説。原理。
大きい長方形から小さい正方形を取れるだけ取り除いていくと最後に最大公約数の正方形が分かる。
- 41 :名無しなのに合格:2018/03/29(木) 22:01:15.40 ID:kQygg83C.net
- マスターオブ整数・第2部を読む。p 65
このページは今までのまとめになっている。
非常に面白い。
a x + b y= 1 (aとbは互いに素) の図形的意味。
不定方程式と合同式とユークリッドの互除法と逆元とフェルマーの小定理が全て結びつく。最高。
- 42 :名無しなのに合格:2018/03/29(木) 22:12:30.43 ID:kQygg83C.net
- マスターオブ整数・第2部を読む。p 6 6
格子点。ここでもax+b y= 1が活躍する。
基本定理を明確にしておく(2つある)。
内部に格子点がある場合は4個に分割される。
辺上に格子点がある場合は3個に分割される。
面積が2以上だと平行線で面積1にできる。
その時格子点は辺上に2個または内部に 1個。
最小平行四辺形の面積は 1、最小三角形の面積は 1/2。
- 43 :名無しなのに合格:2018/03/29(木) 22:30:01.27 ID:kQygg83C.net
- マスターオブ整数・第2部を読む。p 6 7
ピックの定理。
面積=(周上の格子点/2) + (内部の格子点)−1。
証明。
面積 n /2の多角形についてnに関する帰納法で証明する。
i≦kなる全てのiについて成り立つと仮定する。
適当な折れ線で2つに分ける。
折れ線の両端を除いた格子点の数がポイント。
※辺同士の交差があるとピックの定理は使えない事に注意。
- 44 :名無しなのに合格:2018/03/29(木) 22:32:52.67 ID:2/1fqtYR.net
- >>43
スクリーンショットで一応保存しておいてるで!
- 45 :名無しなのに合格:2018/03/29(木) 22:45:07.79 ID:kQygg83C.net
- マスターオブ整数・第2部を読む。p 68
ファレー数列。
(1,0)と(1,1)から始めて、隣り合うベクトルを足して
x成分が n以下のもののみ残す。
すると出来上がるものは全て既約分数であり、
全ての (任意の)既約分数を生成できる。
性質 2をまず示す。次に性質 1を示す。後半の証明がポイント。性質 3は格子点の整数論の基本定理を利用する。
第2部終わり。
- 46 :名無しなのに合格:2018/03/30(金) 18:57:38.51 ID:IxD2o/up.net
- 今日も失礼します。
第4部は第 3部よりも難しいけど別に続きって訳でもない。
1部と2部はリンクしているが、1部と3部の関係は不明。決して1部が基礎問題、3部が入試対策、4部がそれより上って訳でもないと思う。
1
次数下げ。部分分数分解がポイント。
互いに素な分母を持つ分数同士の和は整数にならない。
それぞれが整数になる条件を求める。
分子 0の場合は無条件でOK。
2
f (i)=2i− 1 MOD 5 1
f^ n (i)=iのなるよつな最小のi。
フェルマーの小定理。あとは虱潰し。8回。
漸化式風。5 1を 3と 1 7に分解する。よくある手法。
3
数列の漸化式。MOD nで2つの漸化式が1つになる。重要手法。
1つに決まるので確かめて終わり。
- 47 :名無しなのに合格:2018/03/30(金) 19:11:03.57 ID:IxD2o/up.net
- 第4部
4
平方数が否かを初めに決定する。重要手法。
互いに素。素数の設定の仕方。
分母と分子が互いに素のパターンは多い。
5
オイラー関数。分数を作る。
Σφ (a i)=a p=k。
6
ガウス記号。xy=k。
縦に数える
=上+下+線分上 (線分上は[√k])
≡[√k] MOD 2。
- 48 :名無しなのに合格:2018/03/30(金) 21:01:53.12 ID:aRAQGjc3.net
- 第4部
7
(1)部屋割り論法。
(2) 1 0と nは互いに素。
8
フィボナッチ数列
(1)帰納法。
(2)合同式。MOD amで、
(3)帰納法。2変数。注1は重要。
注2は難しいが有用。これを使うと(2) (3)は自明になる。
9
素因数分解。素因数ごとにそれぞれ分けて考える。
- 49 :名無しなのに合格:2018/03/30(金) 21:32:33.17 ID:aRAQGjc3.net
- 第4部
1 0
一般解を求める。
必要条件で絞って十分条件を確認する。1 7組。
1 1
(1)互除法。
(2)背理法。平方数なので kは素数 1個ずつ。
連続5整数なので5以上は含むとしたら1つの項だけ。
Nが平方数である事に反するので矛盾。
(3)部屋割り論法。
自然数の平方数の差の最小値は 3。
1と4を含むためには n= 1。
120は平方数ではない。
1 2
(1) 2の冪のとき。例のパターンに帰着される。
不等式評価が難しい。
(2)奇素数の時。これも不等式評価が難しい。
逆元の時と同じ流れ。実験で規則性を掴む。
- 50 :名無しなのに合格:2018/03/30(金) 23:25:50.88 ID:aRAQGjc3.net
- 第4部
13
フェルマーの小定理。mod10。mod9。
不等式評価。
14
分母を払う。
m≧ 20として虱潰し。
15
(m, n)=1の時, (mn, m+n)=1。(mn, m^2+n^2)=1。重要。
(1)分母と分子が互いに素。
(2)最大公約数を設定する。
左辺も右辺も既約分数なので比べられる。パズル。
- 51 :名無しなのに合格:2018/03/30(金) 23:56:57.72 ID:aRAQGjc3.net
- 第4部
16
有理数αは整数。
m+knの形だと必ずnで割り切れる。重要。
連続n整数なのでmodnでmと一致するものが必ずある。
というかこの手のタイプは必ず含まれるようにできている。
17
素数生成多項式は存在しない。興味深い問題。
平行移動する。f(x+1)=g(x)と置く。
g(0)=定数項は素数となる。g(kp)も素数かつ pで割り切れるのでg(kp)= p。これはx = 0, p , 2 p , 3 p ,…に対して全て pになるということを意味する。無限の解を持つ事になって不合理。素数。合成数。
18
m , nからa ,bに主役を変える。重要。
a ,bは奇数なのでdは奇数。
m , nは偶数なので 約数は2dの倍数になる。
平方数ならば奇数になるか4の倍数になる。重要。
2の倍数(かつ4の倍数にならない)なので矛盾。
第4部終わり。
- 52 :名無しなのに合格:2018/03/31(土) 08:16:40.46 ID:yK4cmiaW.net
- age
- 53 :名無しなのに合格:2018/03/31(土) 12:04:15.33 ID:xIgREp68.net
- おれもあげ
- 54 :名無しなのに合格:2018/03/31(土) 22:41:05.01 ID:MDklz+wp.net
- 今日も失礼します。最後まで完走してしまうかもしれない。
昨日も書いたけどやっぱり第1部は独特の位置付けだ。それだけで完結している印象がある。それは研究問題の存在。
第1部研究問題
1
(1)連続する奇数の和で表す(すると中央項は90の約数になる)
90の奇数の約数は6個ある。
和の中には負の数を含むものがあるがそれは綺麗にキャンセルされる。
例:(-1+0+1)+2+3+…+13=2+3+…+13。
従って6通りになる。
(2)(1)と同様に考えると、
連続する奇数の和で表す場合の数は奇数の約数の個数を数えればよく (b+1)(c+1)通りとなる。
別解では偶奇性を使う。重要。大小が決まるので個数が求まる。
2 全てmod8で考えると解ける。
(1)mod8で考えると8で割ると2余る。
(2)mod8で考えると8で割ると4余る。
(3)因数分解する。mod8で考えると余りは
2, 2, 2, 4, 2となるので、指数は1+1+1+2+1=6。
- 55 :名無しなのに合格:2018/03/31(土) 23:02:21.32 ID:MDklz+wp.net
- 第1部・研究問題
3
公式L=Gabを使ってLを消去する。
すると文字式が因数分解される。1300を素因数分解する。
(文字は因数分解・整数は素因数分解、
といういつものパターン)
(1)場合分けして虱潰し、の基本技法。簡単。
(2)見つけるだけ。
4
継子立てという問題。1個置きにどんどん取り除いていく。2^n個だけ残った後は 余り2^0, 余り2^1, …という具合に綺麗に消えていく。なぜならば常に偶数個あるから。その場合、最後に残るのは2^n。
この問題では1996からスタートするので、
972個取り除いて1024個から再スタートと考える。
972番目は1943なので、1945から始めて1944で終わる。
一つおきではなくて二つおきとか三つおきとかでも同様に出来る。
- 56 :名無しなのに合格:2018/04/01(日) 08:50:04.76 ID:41mVQi+6.net
- 第1部・研究問題
5
(1)オイラー関数φ(60)=60×1/2×2/3×4/5=16。
(2)17i, 17jを考える。(i,j は60の約数でi< j)。
0<1≦j-i≦59<60であるから、17(j-i)≡0 mod60ではない。
よって{17i}≡{i} mod60。
17^(φ(60))×Πi≡Πi mod60。∴ 17^(φ(60))≡ 1 mod60。
オイラーの定理。(a, n)=1の時, a^(φ(n))≡ 1 mod nの証明。
6
n!+k (k=2,3,4…,15)。nは13以上の整数ならば良い。
- 57 :名無しなのに合格:2018/04/01(日) 12:26:33.83 ID:41mVQi+6.net
- 第1部・研究問題
7
(1)ユークリッドの互除法により、
(4x+9y, 3x+7y)=(x+2y, 3x+7y)=(x+2y, y)=(x, y)=1。
よって既約分数である。
(2)最も手数が多くなる数列はフィボナッチ数列になる。
r(k)=p(k)×r(k+1)+r(k+2) (k=1〜n)。
rとpは全て正の整数(1以上)だがr(n+2)=0, p(n)≧2である。
重要。aを最小にすると回数は最大になる。
r(n+1)≧1, r(n)≧2, となるので、
r(n+1)=1、r(n)=2、r(n-1)=3
a(2)=1、a(3)=2、…と対応して
1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987,1597より、r(1)=987, r(2)=610とすると、r(n)=2よりn=14。
8
mod4とmod8を併用すると良い。難しい。
(mod4だけでは荒すぎて無理)
n≡i mod4とn^2≡i mod8で A(0,0)かB(1,1)か
C(2,4)かD(3,1)。
xとyの差が2であると仮定して矛盾を導く。
(1)AとCの時。zはBかDになる。
どちらの場合でも0+4+1= 5になり矛盾。
(2)BとDの時。
zはAかBかCかDになることに注意する。
1+1+0=2 または 1+1+1=3 または 1+1+4=6
または 1+1+1=3となり、矛盾。
- 58 :名無しなのに合格:2018/04/01(日) 19:44:19.61 ID:JPfr+Y8O.net
- あげ
- 59 :名無しなのに合格:2018/04/01(日) 21:17:37.46 ID:41mVQi+6.net
- 第1部・研究問題
10
(1)公式ab=17×23=391
(2)公式ab-a-b=391-17-23=351
11
素因数分解=因数分解を使うパターン。
(p-q)(p+q)=2^6×7^3
偶奇が一致するから2^4×7^3を分配する。
平方数ではないので約数の個数は偶数個。
平方数ではないので大小は決定する(上と同じ内容)。
5×4/2=10。
12
gについて解くとg=2,3が分かる。なかなか気づかない。ここは難しい。
その後は場合分けして簡単。
13
分数式が整数になる条件は
分子=0または|分子|≧|分母|が必要。最重要。
(1)グラフを描いて必要条件を出す。個別に確かめて十分条件
(2)(1)のkが必要条件になっている。個別に確かめて十分条件
- 60 :名無しなのに合格:2018/04/01(日) 21:50:09.02 ID:41mVQi+6.net
- 第1部・研究問題
14
(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac+bd)^2+(ad-bc)^2 ∈F。
15
繰り返しの構造を見抜く(知っておく)のがポイント。
(1)フェルマーの小定理より、n=6の倍数で十分。
下から調べるとnは3の倍数。
(2)フェルマーの小定理より、n=12の倍数で十分。
下から調べるとnは3の倍数。
16
(1)「分銅を使う・使わない」二進法の問題。
2^0から2^6までの7個あれば1〜127まで測れる。
2^0〜2^(n-1)までで1〜(2^n- 1)。
(2)「分銅を右に使う・左に使う・使わない」三進法の問題。
3^0から3^4までの5個を使うと1〜121まで測れる。
実験すると分かる。
3^0〜3^(n-1)までで1〜(3^n- 1)/2。(右と左があるので対称性より2で割る)
(1)(2)は同じ天秤の問題だが原理が異なる。(2)に注意。
- 61 :名無しなのに合格:2018/04/01(日) 22:12:48.35 ID:41mVQi+6.net
- 第1部・研究問題
9
覆面算。ア〜オの和をp、カ〜ケの和をqとする。
実験をすると「p-q=15-9×繰り下がりの回数」が導ける。
p+q=45。繰り下がりがあることが分かるので、
p =21、q=24に決まる。
これで繰り下がりが二回あることが分かる。重要。
繰り下がりが二回あるパターンは全部で6通りある。虱潰しをして答えはそのうちの1通り。並び替えがあるので答えは2通りある。
研究問題終わり。
- 62 :名無しなのに合格:2018/04/02(月) 19:36:53.59 ID:7Vq30MHB.net
- 今日も失礼します。
第1部はいわゆる 1行問題。1日1セクションずつ16日で終わればいいという感じ。
§1
1(1)約数の総和の公式。(2)オイラー関数。
(3)(約数の個数/2)乗。
2(1)約数が偶数個⇔非平方数。(2)1×6と2×3で比べる。
3偶数回ひっくり返す⇔約数の個数が偶数⇔非平方数。
4約数の逆数の和をn倍すると約数の和になる。重要。
§2
1既約分数の分母を素因数分解した時に
素因数が2と5だけなら割り切れる。有限小数になる。
それ以外があると割り切れない。循環小数になる。重要。
分母が2^m×5^nになった時 大きい方が3になれば良い。7通り。それに3を掛けたものもOKなので14通り。
2(1)なるべく√の外に出してから平方数条件で文字を置く。(2)も同様。
3素因数分解。「最低何個各素因数を持つことが必要か」とやっていけばできる。
4前問と同様。
5(1)(2)ともに第2部の解説通り。1とも関係がある。
- 63 :名無しなのに合格:2018/04/02(月) 20:05:10.99 ID:7Vq30MHB.net
- 第1部
§3
1(1)L(24,33)を掛けると整数になる。G(175,140)で割ると最小に出来る。
2縦:横が2:1になれば良い。縦20個、横7個でOK。
3(1)AB=GLとL=Gabで解ける。(2)は公式は無い。虱潰しだが間違いやすいので20個全部書いてから消していくのが良いかも。G=1かつL=18。
4(1)(2)2個なので公式でOK。第2部との関連。
§4
1(1)(2)規則性。最小公倍数。切れ目にも注意。
2(1)(2)規則性。最小公倍数。ブロックごとに足さずに、最初と最後をダイナミックに足すのが上手い解法。
3(1)(2)mod10での規則性。余りの数列は繰り返す。
4この数列は60項で 1周期になる。規則性。
別解。mod10で15項ずつ同じ数が連続する。規則性。7倍されるので1,7,9,1を繰り返す。
5余りの数列は繰り返す。規則性。
- 64 :名無しなのに合格:2018/04/02(月) 20:56:03.21 ID:7Vq30MHB.net
- 第1部
§5
1(1)オイラー関数φ(504)(2)規則性。第2部。
2オイラー関数φ(140)。
3オイラー関数φ(k)に対して2Σφ(k) (2≦k≦10) +φ(1)。
4オイラー関数φ(600)/2。
§6
1(1)(2)中国剰余定理。
2中国剰余定理。
3modで。
4mod8、mod3、mod5。中国剰余定理。
5百五減算。第2部。中国剰余定理。
- 65 :名無しなのに合格:2018/04/02(月) 21:37:06.20 ID:7Vq30MHB.net
- 第1部
§7
1西暦≡昭和 mod昭和。
2ユークリッドの互除法。
3文字式でもユークリッドの互除法。
「5の倍数であって10の倍数ではない数」という点に注意。※20の約数の中の5の倍数は5,10,20がある。
4 ax+by=1の解法。ユークリッドの互除法。2と同じ。
5点と直線の距離。第3部に類題がある。格子点の整数論。
6(1)(2)文字式でもユークリッドの互除法。3と同じ。
§8
1mod6。小さい順に並べた時に前の数の2倍以上になっているので 2数の差は全て異なる。
2mod11。
3 (1)6m±1と置ける。重要。(2)因数分解。場合分け。
4mod100。xと(x-1)は連続する2数なので互いに素である。従ってどちらかが25の倍数になる。重要。虱潰し。
(2)は(1)を調べる。
5mod3とmod4で調べる。それぞれ2通り。
中国剰余定理により、mod12で4通り。
- 66 :名無しなのに合格:2018/04/03(火) 00:34:27.05 ID:3RdXo2cm.net
- 第1部
§9
11の倍数の判定法の証明。
1 aとdはすぐに決まる。bも絞られる。
2 11の倍数の判定法。
3 9の倍数の判定法。小数でも関係なし。
4 4の倍数なので下二桁は76に決まる。あとは9の倍数にすれば良い。加える個数で場合分けをする。
5 A≡0 mod 9より、B≡0 mod 9 同様にC≡0 mod 9。
あとは不等式評価で絞る。
A<10^150(=151桁)より、A≦9×150=1350
B≦9×3=27。C=9。
6 9の倍数かつ11の倍数。分けると簡単。
7 1998=2×9×111。偶数なので2,4,6,8が必要条件。
2,4,8は9と互いに素なので9個未満では9の倍数にならない。確かめると不適。666,666,666÷111÷2=
6,006,006÷2=3,003,003≡0 mod 9でOK。
666÷111÷2=3と666,666÷111÷2=3,003を確かめると不適。
§10
1 互いに素なので全てOK。
2 (1)(2)特殊解を見つけて係数を逆にする。
3 解法は同様。パラメーターの変域を調べる。
4 点と直線の距離。ユークリッドの互除法。
5 中国剰余定理。立式後は今までと同様。
6 Aが11の倍数と仮定するとBが11の倍数であることが示せる。逆にBが11の倍数と仮定するとAが11の倍数であることが示せる。係数行列式≡0 mod11ならばこうなる。
- 67 :名無しなのに合格:2018/04/03(火) 01:18:50.02 ID:3RdXo2cm.net
- 第1部
§11
1 因数分解。全て書き出すのが安全。
2 因数分解。自然数条件で絞る。
3 因数分解。自然数条件で絞る。
4 完全数の問題。因数分解。
5 オイラー関数。因数分解。
6 zを消去して因数分解。8:15:17のピタゴラス数。
§12
1 足すとxが5の倍数と分かる。xが5と決まる。ら
2 zを分離するとzが7の倍数と分かる。zが7に決まる。
yを分離するとyが5の倍数と分かる。yが5か10に決まる。
三文字の場合、一個だけ分離すると手早い。
3 最も小さいxの範囲が決まる。x=2,3。あとは虱潰し。
4 左辺は4次式なので因数分解ではなくて不等式評価。
5 y+z≦2xより、y+z=x+1に決まる。重要。
z+xをyで割ると商は1または2。zは6の約数と分かる。
6 非負整数をパラメーターに取ると殆どの項が0になる。
普通にはxyz≦4から絞る。
7 左の不等式からc>1になること、右の不等式からc≧3にはならないことが分かる。それらからc= 2に決まる。難しい。最小のcに当たりを付ける。
- 68 :名無しなのに合格:2018/04/03(火) 01:47:00.50 ID:3RdXo2cm.net
- 第1部
§13
1 因数分解。片方が±1。
2 mod5とmod8でOK。
3 計算するだけ。結果は覚えておく。
4 (1)連続する2つの偶数の片方は4の倍数になる。
(2)文字で置いて計算すると連続3整数の積になるので6で割り切れる。
5 帰納法、または与式=Σ計算^4、または通分して2,3,5で割り切れることを示す。
6 nCrはr!の倍数より、連続n整数の積はn!で割り切れる。
§14
1 4abを平方数にすれば良い。
2 (1)yとzの連立方程式にする。(1)を利用すると(2)が解ける。
3 平方数の前まで足せばピタゴラス数になる。
4 Σk^3=55^2。
5
6 (1)背理法mod 3。(2)背理法mod8。(3)背理法mod5。
- 69 :名無しなのに合格:2018/04/03(火) 02:55:42.77 ID:3RdXo2cm.net
- 第1部
§15
1 (1)mod13。(2)mod14。
2 mod 2とmod 3で1111≡1になることを利用。
3 フェルマーの小定理より、a^6≡1 mod7、
a^2≡1 mod3、a≡1 mod2。aが2,3,7と互いに素な場合。
どの場合でもa^7≡a mod42。これは互いに素でなくても成り立つ。
4 (1)適当にxに当てはめて右辺に1を作る。(2)因数分解。(3)3と13に分ける。中国剰余定理。
5 mod 4。
6 p≡0,1,2 mod 3。場合分けをして調べると矛盾が見つかる。
§16
1 142857のどこかから始めて繰り返す。
2 フェルマーの小定理より、10^16≡1 mod17。
10^8+1。同様に、10^6≡1 mod7。10^3+1。
3 前問を使う。
1/17=588235294117647/9999999999999999
1111111111111111は17の倍数。
4 2^5〜2^6-1まで32から63まで、32個。
5 1211212→10100101→165→2〜165で164個。
先頭に1をつけておく。そうしないと繰り上がりが出来ない。
6 100=64+32+4→1100100→729+243+9=981。
- 70 :名無しなのに合格:2018/04/03(火) 03:25:03.57 ID:3RdXo2cm.net
- 第1部
§3 AB=GL。大小関係を設定すれば機械的に証明出来る。
§11(1)p^2q=28。(2)2^(p-1)(2^p-1)偶数の完全数。
奇数の完全数は発見されていない。
§12 カーティスの定理。
§15帰納法。
- 71 :名無しなのに合格:2018/04/03(火) 04:01:27.41 ID:3RdXo2cm.net
- 第1部
§14
5 合同な三角形を作る補助点Pを取るのがポイント。
あとは相似な三角形を見つける。直角三角形が多く見つかる。△CGHに三平方の定理。連比。
正方形を菱形に変えるとピタゴラス数がアイゼンシュタイン数に変わる。合同な三角形。
余弦定理。相似な三角形。連比。
- 72 :名無しなのに合格:2018/04/03(火) 20:06:32.51 ID:ooaFmDAg.net
- 読ませてもらってます
- 73 :名無しなのに合格:2018/04/04(水) 22:09:07.37 ID:G65YPPwz.net
- 続けて書きます。質問とかあったらどうぞ。
マスターオブ場合の数
第4部
1
a>b+cとa<b+cは同数。最大数で場合分け。
a=b+cを調べる。20個あるので、答えは50個。
注も重要。
2
一つの切れ目に着目すると、 ABとBAの 2通りに対して
8C4 個あるから9×2×8C4。
(9×2×8C4 + 10C5)/10C5=5+1=6。
別解。5/9 ×9+1=6。
3
母関数。指数を素因数の個数に対応させる。
1,2,3,4,5,6→0+1+1+2+1+2→1+3x+2x^2。重要。
(2x^2+3x+1)^5=(x+1)^5(2x+1)^5
10×32+5×80+1×80=800。
- 74 :名無しなのに合格:2018/04/06(金) 01:11:47.12 ID:hmQzy+zI.net
- 場合の数
第4部
だいたい3問ずつでワンテーマって感じですか
4
同じものを含む順列の母関数。
実際に多項式を展開して800。
5
重複組合せの母関数。
nH4=n+3C4=(n+3)(n+2)(n+1)n/24。
6
これも展開すると49。
- 75 :名無しなのに合格:2018/04/06(金) 01:24:25.10 ID:hmQzy+zI.net
- 場合の数
第4部
7
三列に並べる。
8
偶数を2つに分けていくといつかは奇数だけになる。
同じ数があれば足していくといつかは全て異なる数になる。
9
全部並べて書いてから考える。
枠を作って中に入っているものを数えていく。
- 76 :名無しなのに合格:2018/04/06(金) 02:10:00.26 ID:hmQzy+zI.net
- 場合の数
第4部
10
(1)帰納法→部分積分法。(2)∫とΣの入れ替え。
11
階差数列を表す関数になっている。第4階差。
12
畳み込みの公式。二項定理。19C7と等しい。
50388。
- 77 :名無しなのに合格:2018/04/06(金) 02:36:15.86 ID:BxYL9iFM.net
- 場合の数
第4部
13
対応を考える。カタラン数cn。
14
カタラン数c(n-2)
15
カタラン数cn
16
22C5
17
(1)全射818520。包除原理。
(2)スターリング数10S4=34105。
18
最初に交わった所から入れ替えるという手法。
(10C5)^2-(10C4)^2=252^2-210^2=462×42=19404。
カタラン数の公式を導く時に用いる手法。
- 78 :名無しなのに合格:2018/04/07(土) 01:58:00.09 ID:vpovX04I.net
- 第1部
§1
1 6×6の表を作る。
2
(1)3回とも偶数。
(2)2回だけ偶数、1回は奇数。偶数のうち少なくとも1回は4。
別解。表を利用できる。
別解。母関数を利用できる。x^2+2x+3。
3樹形図の利用。
別解。経路の問題の考え方の利用。書き込み方式。
カタラン数でないこともわかる。c4+c3になる。
4(1)樹形図の利用。対等性の利用。
(2) 0とそれ以外に分ける。
5
(1)樹形図の利用。(2)(1)の部分的利用。
(3)偶数かつ3の倍数を調べる。
研究問題
1。10a+5b+c=100。
2。 2本目の当たりの位置で場合分け。
3。個数で場合分け。32, 311, 221に分かれる。
(2)それぞれに対して調べる。最後が多い。
母関数の利用。
(2)「前と違う色」を入れていけば良い。これは可能である。
- 79 :名無しなのに合格:2018/04/07(土) 02:18:25.65 ID:vpovX04I.net
- 第1部
§2
1(1)小さい順に並べる。
別解。スターリング数と同じ考え方。
(2)3の個数で場合分け。
2正方形の一辺の長さで場合分け。斜めの場合は内接する正方形を考える。別解。全部書いても十分。
3(1)直径。別解。直角の頂点から先に選んでも良い。
(2)正三角形のダブりに注意する。
4。3の倍数の条件に合わせてまず選んでおく。
漏れなくダブりなく。
研究問題
表を書く。公式がある。
- 80 :名無しなのに合格:2018/04/07(土) 11:23:44.75 ID:vpovX04I.net
- 第1部
§3
1(1)隣り合う→一纏めにして後でn!を掛ける。
(2)全体から隣合わないものを引く。余事象。
2。10C3。
3。(1)それぞれの組合せを掛ける。
(2)全体から男子だけを引く。余事象。
4。包除原理。簡単。
5。最短経路。平面。9C3。書き込み方式。
6。最短経路。立体。8C4×4C2。8!/4!2!2!。
7。重複組合せ。3H7。
自然数の個数に帰着させても良い。やや遅い。
最短経路としても解ける。9C2。重要。
研究問題。9H5=13C5。等しい場合もあることに注意。
まずは重複組合せで全部求める。次に同じ数字が何個あるかで場合分け。1+4×3+7×6より、1+4+7=12。
- 81 :名無しなのに合格:2018/04/07(土) 11:49:15.83 ID:vpovX04I.net
- 第1部
§4
1。約数の個数の公式。
2。6C2×5C2。
3。右下がりに点を取れば背反な場合分けになる。
場合分けに気付ければ計算は容易。
苦しいが書き込み方式の別解もある。
4。7×2^5。偶数だとOに、奇数だとGにいるがどちらでも選択肢は一通りしかない。
放射線の本数で場合分け。本数は戻ってくるので偶数である。7C2×2+7C4×4+7C6×6=
別解。環状線のうち、5本を通るか通らないかの2択。
5。6×6×6×2×2=864。難。
研究問題。適当な数字を一つ決めて内側から消去していくのを逆回しにすると常に外側から消去していることになる。一対一に対応するので、2^9=512。
別解。Σ9C(i-1)=Σ9Ci=2^9=512。
漸化式を作る。a(n+1)=2anより、2^9=512。
- 82 :名無しなのに合格:2018/04/08(日) 02:31:41.84 ID:B/fraX4f.net
- 場合の数
第2部
1
整理して数える。樹形図。
基準を決めて整理すること。
6×6の表を作る。
1。5通り。2。12通り。小さい順に書く。
8通り。漏れなくダブりなく。
- 83 :名無しなのに合格:2018/04/08(日) 02:52:48.90 ID:B/fraX4f.net
- 2
漏れを防ぐ。ダブりを防ぐ。
排反。全ての場合を排反に場合分けする。
6通り。11通り。ダブりがある。
3
6通り。
4
交わりと結び。または。かつ。
全体集合。補集合。余事象の利用。
ド・モルガンの法則。分配法則。
全体を1、補集合を1- sなどとすると説明がつく。
和の法則。積の法則。余事象。補集合。
56通り。55通り。包含と排除の原理。
撹乱順列。
5
順列は順序を付けて並べる。
組合せは順序を気にしない。
5P3=60。7C3=35。4C3=4。
- 84 :名無しなのに合格:2018/04/08(日) 03:08:15.57 ID:B/fraX4f.net
- 6
数列の母関数。
7
35通り。書き込み方式。パスカルの三角形。
漸化公式。平行等式。吸収等式。
公式の作り方。
8
重複順列。6^r。64通り。
- 85 :名無しなのに合格:2018/04/09(月) 00:36:49.00 ID:SBmLbie1.net
- 第2部
同じ物を含む順列。7!/2!2!3!=210。
重複組合せ。3H5=7C5=21。
9c2=36。3H10=12C10=66。
分割数。公式は無い。115, 124, 133, 223の4通り。
3!=6。公式または重複度。
- 86 :名無しなのに合格:2018/04/09(月) 00:49:18.69 ID:SBmLbie1.net
- 第2部
一対一の写像。単射。
上への写像。全射。
上への一対一写像。全単射。置換。
3241576。60。単射。243-96+3=150。全射。
ベン図で考える場合は否定命題にしておく。
増加写像の個数。4H6=84。
撹乱順列。0,1, 2, 9, 44, 265, 1854。
- 87 :名無しなのに合格:2018/04/09(月) 01:08:05.96 ID:SBmLbie1.net
- 第2部
順列。重複順列。n^m。順列nPm。全射の個数。
組合せ。重複組合せnHm。組合せnCm。
上への写像は不定方程式の解の個数(n-1)C(m-1)
スターリング数。全射。6S3=90。
別解。(729-192+3)/6=90。
全射の個数をn!で割るとスターリング数になる。
写像の個数はΣS。全射はスターリング数。
単射は1か0。
全射は分割数。全射は分割数p。単射は1か0。
写像の個数はΣp。
- 88 :名無しなのに合格:2018/04/09(月) 01:34:02.59 ID:SBmLbie1.net
- 第2部
n-1試合。
5→4+3。最後で場合分け。
5→4+3。最初で場合分け。式はこの場合同じになった。
フィボナッチ数列になる。1,2,3,5,8。
視覚化する、抽象化する。
地図の塗り分けは不可能。
カタラン数。n×nのマス目で、対角線よりも一個上の線を引いてそれに接触しないような場合の数を数える。
2nCn-2nC(n-1)。2nCnをn+1で割る。
c5=42。252/6=42。
グラフ。置換。
正四面体は下が正三角形、上は一点。
立方体は下が大正方形、上は小正方形。
正八面体は下が大正三角形、上が小正三角形。逆向き。暗記。
国は点、国境は辺。グラフ。
置換3154276は、1352, 67, 4と考える。ループ。
母関数。
(1+x)^nは組合せnCk。
(Σx^k)^nは重複組合せnHk。3H4=15。
- 89 :名無しなのに合格:2018/04/09(月) 01:59:18.02 ID:SBmLbie1.net
- 第0部
原始的な数え方しか出来ない。
12日。6C3/2=10。
4。3。
D=1の場合を考えれば十分。
5×4×3×3×3×3=1620。
漏れなくダブりなく。排反。
どこで初めてその状態になるか。
6+5×6=36。それぞれ1箇所だけ赤玉が入れない所があることを見抜く。
対等性を用いる。30+120=150。
底辺に着目する。(4+3)×5=35。
頂点に着目する。(5+2)×5=35。
- 90 :名無しなのに合格:2018/04/09(月) 02:17:51.14 ID:SBmLbie1.net
- 第0部
基準を明確にしなかったことが原因。
27+3=30。
3個連続を直接数える。42-6=36でも良い。
6×13C3-7=6×286-7=1709。
赤3個は1通り。赤1個は27通り。赤2個は9通り
37通り。
自分の手を動かして具体化していく。
実験をすること。
一般化につながる規則性を見出すことができる。
手作りということ。ダブルカウントの見本市。
排反がどれほど重要か。対等性。単に学ぶまたは単に鑑賞するという姿勢でも良い。
- 91 :名無しなのに合格:2018/04/09(月) 20:37:24.49 ID:H37ikHTn.net
- 第1部
§5
1。000〜999まで。3000/10=300。
別解。100+100+100=300。対等性。
2。3回目までは任意で4回目は一通りだから216。
3。二位か三位なので、7!×2/3=3360。余事象でも。
4。グラフを使う。意外と少ない。2×6=12。
5。36+12=48。2で割って24。
研究問題。7より大きいカードが後から出て来なければ良い。7以上の数字の中で最後に出ることになり1/7。
- 92 :名無しなのに合格:2018/04/09(月) 20:53:14.82 ID:H37ikHTn.net
- 第1部
§6
1。7!/2!2!3!=210。
2。210。
3。210/2!=105。
別解。7C3×4C2×3/3!=35×6×3/6=105。
4。115, 124, 133, 223。21+105+70+105=301。
スターリング数7S3。
5。重複順列を考えて3^5=243。243-3=240。
240/6=40。40+1=41。
研究問題。13の次は1と考える。13C3/13=22。
- 93 :名無しなのに合格:2018/04/09(月) 21:37:26.36 ID:H37ikHTn.net
- 第1部
§7
1。47。
2。10000/103=9708。調整して9709。
有り得ないのは291個。全て異なるから。
別解。実際に調べると34,35が無い。97あまり9
291個。
3。6×10=60。
4。上向きは普通に21+15+10+6+3+1=56。
下向きは対応を考えて15+6+1=22。78個。
別解。下向きも地道に数えられる。
上向きをいっぺんに。8C3=56。
発展問題。線が引いてない場合。
21+15×2+10×3+6×4+3×5+1×6=126。
別解。あと2本増やして対応を考える。9C4=126。
5。縦横2本ずつの線と対応する。それに2つの道順が対応するから2×8C2×8C2=2×28×28=784×2=1568。
研究問題。8×8に増やして対角線上の格子点から選ぶと長方形と対応するから、9C4=126。
別解。8C4+8C3=70+56=126。重要公式が確認された。
- 94 :名無しなのに合格:2018/04/09(月) 22:01:06.94 ID:H37ikHTn.net
- 第1部
§8
1。7C2=21。3H5=21。
別解。xを固定して場合分け。
2。1≦x<<y<<z≦10⇔1≦x<y-1<z-2≦8。8C3=56。
xを固定して場合分け。
3。黒→その間に白。8C4=70。
4。a=15-xなどとおく。a+b+c=15。a≧0。
よって3H15=136。
別解。xの値で場合分け。
研究問題。跳ばす個数は8になるから、
7C3=35。それぞれを先頭に見ていき、ダブりを考えると、35×12/4=105。
別解。7C3×12/4=105。
1を選ぶ場合は35。1を選ばない場合は
2≦x<<y<<z<<w≦12⇔2≦x<y-1<z-2<w-3≦9。
8C4=70。よって105。
- 95 :名無しなのに合格:2018/04/10(火) 22:59:34.59 ID:2QK0H6J7.net
- 第1部
§9
1。1+Σk=(n^2+n+2)/2。
別解。1+交点の個数+直線の本数。
1+nC2+n。
別解。漸化式。a(n+1)=a(n)+n+1。
2。35+27-1=61。442個。
10×5=50個。
3。円周上の4点→内部に交点が1個、
外部に交点が2個。
(1)10C4×2=420。(2)210。
(3) 1+交点の個数+直線の本数=211+10C2=256。
4。四角形一個と黒点が一個対応する。
8C4=70個。ベクトル。頂点からは7個のベクトル、
黒点からは4個のベクトルが出ている。
総数は336個。よって168個。
研究問題。k枚目の平面との各平面の交線はk-1本あり、問1と同じ状況になる。計算すると(k^2-k+2)/2。
1+Σf=1+n+n(n+1)(n-1)/6=(n^3+5n+6)/6。
関連問題。2A+B=4×nC2。B=2nと決まる。
A=n(n-1)-n=n^2-2n。A+B=n^2本。
- 96 :名無しなのに合格:2018/04/10(火) 23:39:13.62 ID:2QK0H6J7.net
- 第1部
§10
1。acb+adb-acdb=3×120+210×3-3×3×21=
360+630-189=801。
2。6^6-2×5^6+4^6=46656-31250+4096=19502。
3。6^6-3×5^6+3×4^6-3^6=
46656-46875+12288-729=11340。
4。(1)5^5-4^5=3125-1024=2101。
(2)4^5-2×3^5+2^5=1024-486+32=570。
5。ループは120通り。
(1)120-4!×2!=72。
(2)120-2×4!×2!+3!×2!×2!=48。
別解。(1)3!×4×3=72。(2)2!×2!×3×2=24。72-24=48。
研究問題。撹乱順列。0,1,2,9,44,265。
包除原理。
1×6!-6×5!+15×4!-20×3!+15×2!-6×1!+1×0!
=720-720+360-120+30-6+1=265。
360-120+30-6+1=265。
- 97 :名無しなのに合格:2018/04/11(水) 18:53:34.09 ID:brHZcqo4.net
- 第1部
§11
1。全てに通じる考え方。9C3=84。
4の約数は1,2,4。約数倍数関係に注意。
90°タイプは無い。
180°タイプ。2倍。360°タイプ。4倍。
84=4+80→2+20=22。
2。9C3=84。9の約数は1,3,9。
120°タイプ3倍。360°タイプ9倍。40°タイプは無い。
84=3+81→1+9=10。
別解。黒三連続は1。黒二連続は5。
一個空きは3。二個空きは1。よって10。
別解。3H6=28→1+27→1+9=10。
3。8C4=70。8の約数は1,2,4,8。
2と4の約数倍数関係に注意。
360°タイプ。8倍。180°タイプ。4倍。
90°タイプ。2倍。45°タイプは無い。
2+4+64→1+1+8=10。
4。8!/2!2!4!=420。
1,2,4,8。約数倍数関係に注意。
360°タイプ。8倍。
180°タイプ。4倍。
90°タイプは無い。45°タイプは無い。
420=12+408→3+51=54。
研究問題。6×4=24通り。8!/24=1680。
- 98 :名無しなのに合格:2018/04/11(水) 19:42:48.23 ID:brHZcqo4.net
- 第1部
§12
1。アイ。書き込み方式。18。55。
別解。フィボナッチ数列。
1,2,3,5,8,13,21,34,55。
2。グラフ。124。
3。グラフ。183。
4。グラフ。60/3^5=20/81。
別解。漸化式。a(n+1)=3b(n)。
b(n+1)=a(n)+2b(n)。
10362160
01272061
60/243=20/81。
3と4が同じになる理由。cnをbn、gnをanとみなせば同じになる。
5。グラフ。1^2×6+2^2×3+5^2×3=93。
研究問題。グラフ。場合分け→実際に調べる。
6+6+4+6+6+4+4+4+4=44。
- 99 :名無しなのに合格:2018/04/11(水) 20:43:35.34 ID:brHZcqo4.net
- 第1部
§13
1。a(n)=a(n-1)+a(n-2)。1,2,3,5,8,13,21,34,55,89。
別解。2段をk回、1段を(10-2k)回とする。
合計(10-k)回上る。(10-k)Ck=1+9+28+35+15+1=89。
2。○a(n-1)、×○a(n-2)。144。
別解。×がk個の時、○は(10-k)個。(11-k)Ck
=1+10+36+56+35+6=144。
解釈の仕方。11段の階段の上り方と同じフィボナッチ数列。
3。全部でanとし、ABの時をbnとする。
AA+AB+BA→a(n)=a(n-1)+2b(n)。
b(n)=a(n-2)+b(n-1)。漸化式を2つ作る。
a(n)-a(n-1)=2a(n-2)+a(n-1)-a(n-2)
a(n)=2a(n-1)+a(n-2)。3,7, 17, 41, 99, 239。
別解。p(n)=p(n-1)+2q(n-1)、q(n)=p(n-1)+q(n-1)
p1=1、q1=1より、239。
137174199
125122970
4。a(n)+a(n-1)=3×2^(n-1)。
a8=384-a7=384-192+a6=192+96-a5
=288-48+a4=240+24-a3=264-12+a2=252+6=258。
別解。a(n)=a(n-1)+2a(n-2)。a2=6、a3=6より、
6,6,18,30,66,126,258。
5。スターリング数の漸化式。
4S2=7。(n+1)Sr=nS(r-1)+r×nSr。
1,1,1,1,1,1,1
0,1,3,7,15,31,63
0,0,1,6,25,90,301
0,0,0,1,10,65,350。
研究問題。ハノイの塔。
AからCにn個。→AからBに最大を渡す。
→CからBにn個。
a(n+1)=2(n)+1。1,3,7,15,31,63。
- 100 :名無しなのに合格:2018/04/11(水) 21:35:59.85 ID:brHZcqo4.net
- 第1部
§14
1。(1)8!/2!2!2!2!4!=105。105^2=11025。
別解。8C2×6C2×4C2×2C2/4!=28×15×6/24=105。
(2)ループ。上下が逆になるが結局8本が8人の円順列に対応して、7!=5040。
別解。7×6×5×4×3×2×1=5040。
2。
7人のループ。6!/2=360。裏返したら同じになるものがある。
3人のループと4人のループ。7C3×2!/2×3!/2
=105。足して465。
0-7, 1-6, 2-5, 3-4。
3。
一個ループと三個ループ。
3と1で6を作る。
3+3。6C3/2×2×2=40。
3+1+1+1。6C3×2=40。
1+1+1+1+1+1。1。合わせて81。
4攪乱順列。モンモールの問題。ラベルの張り替え。
求める場合は一個ループが無い場合の順列である。ら
・n+2が二個ループに所属している時。
誰と二個ループを作るかでn+1通り、そのそれぞれに対してa(n)通りあるから、(n+1)a(n)通り。
・n+2が三個以上のループに所属している時。
自分以外のn+1個でa(n+1)通り。そのそれぞれに対して自分が入る場所はn+1通りあるから(n+1)a(n+1)。
0,1,2,9,44,265,1854,14833。
研究問題。シャッフル。
01020304050607080910111213141516
01030507091113150204060810121416
01050913020610140307111504081216
01090210031104120513061407150816
01020304050607080910111213141516
1
2359
471310
611
8151412
16
1個、4個、4個、2個、4個、1個。
4回のシャッフル。
- 101 :名無しなのに合格:2018/04/12(木) 02:03:27.92 ID:mcFiAdQO.net
- 第3部
1・1
(1)7C2=21。(2)Σ7Ci=2^7-2=126。2^(n-1)-2。
1・2
2^(n-1)通り。
1・3
2^9=512。
1・4チャンピオンの問題。
※※5△△4×3=12。
※※※5△4×3=12。
132, 213, 231,
※※※※5。3×2+3×1+2=11。よって35。5f3。
(n+1)fk=nf(k-1)+n×nfk。
1・5モンモールの問題。攪乱順列。
0,1,2,9,44。
- 102 :名無しなのに合格:2018/04/12(木) 08:45:21.41 ID:mcFiAdQO.net
- 攪乱順列fは1個だけ置けない場所がある
gは一個だけ好きにおいてもよく、他は置けない場所が一個だけある。
2・1
7!/2 ×2+4×7!/2!2!=5040+5040=10080。
注。8!/2!2!=10080。
2・2
7!-6!/2!×2=5040-720=4320。
2・3
(1)10C6=210。別解10C6=210。別解10C4=210。
(2)0または1にして7C4=35。
2・4
3×2^6=192。2^3=8。192-8=184。
2・5
(1)3^5=243。(2)cの前はcというルール。
2^5+2^4+2^3+2^2+2^1+2^0=63。
どこで初めて出るかで場合分け。
27+27+27-3+27-6=99。
6×3=18。99+99-18=180。243-180=63。
2・6
aaaaaa・aaaabb・aaabbb・aabbcc
n+n(n-1)×15+n(n-1)/2 ×20+n(n-1)(n-2)/6 ×15×6
n+15n^2-15n+10n^2-10n+15n^3-45n^2+30n
n(15n^2-20n+6)。
- 103 :名無しなのに合格:2018/04/12(木) 23:13:57.25 ID:mcFiAdQO.net
- 第3部
3・1
1000+900+810+729=3439。
別解。10^4-9^4=10000-6561=3439。
3・2
(1)まずは区別する。5!=120。3×4×4!=288。
408/2!=204。
(2)まずは区別する。2:3×4!=72。
それ以外は3×5!=360。
432/2!=216。
3・3
k=2の時。24/72=1/3。
k=7の時。k=2の時と一対一に対応する。
12×7!/9! ×2=24/72=1/3。
k=4の時。42×4!/9×8×7×6=24/72=1/3。
別解。どの場合も余りが0,1,2であるものが同数ある。
以前やった手法。1つずつ大きくしていく。
kと3が互いに素ならば同数になる。
この仮定を満たせば常に1/3になる。
3・4
8進法で764。戻すと、875。
01234567→01235678と読み替える。
- 104 :名無しなのに合格:2018/04/13(金) 01:37:08.29 ID:EFcTtWQL.net
- 第3部
4・1
(1)(2n+3)C3×2nCn/(2n+3)=(n+1)×(2n+1)!/3(n!)^2
(2)(2k+1)×2kCk/(2k+1)
+{(6k+3)C3×6kC3k -(2k+1)×2kCk}/(6k+3)
={(6k+3)C3×6kC3k -2(2k+1)×2kCk}/(6k+3)
4・2ネックレス
(1)9C1×8C2=252。252/9=28。別解。8C2=28。
(2)左右対称なものは4つ。28=4+24→4+12=16。
4・3立方体の色塗り
(1)5×3!=30。別解。6!/24=30。
(2)5×3!/2=15。別解。6×4!/24=
(3)4C2=6。
- 105 :名無しなのに合格:2018/04/13(金) 19:19:28.32 ID:EFcTtWQL.net
- 4・3
別解。(1)重複度は6×4=24。720/24=30。
(2)重複度は6×4=24。(5×1×4!+5×4×3×1×2+5×4×3×2)/24=15。
置き方を固定する。
(3)重複度は2×2+2×4=12。
(4×3×2+4×3×2+4×3×2)/12=6。
第3部
5・1
(1)6C4=15。
(2)Aを8以下、Bを3以上とすると、
10C4-8C4-8C4+6C4=210-70×2+15=85。
5・2
(1)1≦x<y-(n-1)<z-(2n-2)≦n+2。(n+2)(n+1)n/6。
(2)Aをy-x>n、Bをz-y>nとする。
3nC3-2nC3×2+nC3=n^2(2n-1)。
5・3
(1)M^4-(M-1)^4=4M^3-6M^2+4M-1。
(2)12k^2+2。
5・4
(1)偶奇性。nC2×2=n(n-1)。
(2)(1)のようにならない組を選べば良いから、
{2nC3-n(n-1)}/2。同じにならないものは偶数個あるから2で割る。n(n-1)(4n-5)/6。
別解。原題の誘導。i-k個を2個ペアにしてΣする。最後は余ったn-Kを加えると(n-k)^2。i-k-1を2個ペアにしてΣすると(n-k)(n-k-1)。合わせてkをΣするとn(n-1)(4n-5)/6。
- 106 :名無しなのに合格:2018/04/13(金) 20:00:51.53 ID:EFcTtWQL.net
- 第3部
6・1
(1)3Hn=(n+2)(n+1)/2。
(2)3つ等しい。1組。2つ等しい。3m組。
全て異なる(3m+1)(6m+1)-1-9m=18m^2
∴3m^2+3m+1。一般論は無理。分割数の総和。
6・2
x+y+z+w=n。4Hn=(n+3)(n+2)(n+1)/6。
6・3
隣り合わないという条件は1〜11-n。
f(n)=(11-n)Cn。代入して行くと、
1, 10, 36, 56, 35, 6, 0, …よりn= 3。
6・4
(1)111, 120→1+6=7通り。nC1+nC2=n(n+1)/2。
(2)Σx(i)=r (x=0,1,2)。y=2-xと置くとy=0,1,2。
Σy= 2n-r。よってnAr=nA(2n-r)。
(3)ΣnAi=3^n (i=0〜 2n)。nAn=3^n-2×nAi (i=0〜n-1)より、奇数である。
6・5
x1=0をf0、x1≠0をf1とする。
f0(k,n)=f(k-1,n)。
f1(k,n)=g(k,n)。
∴f(k,n)=f0(k,n)+f1(k,n)=g(k,n)+f(k-1,n)。
nを固定すると、2a(k)=a(k-1)+(n+k-1)C(k-1)。
- 107 :名無しなのに合格:2018/04/13(金) 22:39:10.08 ID:EFcTtWQL.net
- 第3部
7・ 1
(1)4^6=4096。重複順列。
(2)4C3×(3C3×3^6-3C2×2^6+3C1×1^6)
=4×540=2160。
7・ 2重複組合せ。
(1)4H6=84。(2)4C3×5C2=40。
7・ 3
(1)8C2=28。
(2)x+y+z=6。a+x=6。0≦x≦5。3H6-3=25。
7・4本は区別。人は区別。組は区別しない。
(1)12C3×9C4×5C5=220×126=27720。
(2)12C4×8C4×4C4=495×70=34650。
(3)34650/3!=5775。
(4)12C2×10C2×8C8/2!=66×45/2=33×45=1485。
7・5スターリング数の総和。
nS3+nS2+nS1=
(3C3×3^n-3C2×2^n+3C1×1^n)/3!
+(2C2×2^n-2C1×1^n)/2!
+(1C1×1^n)
=(3^n-3×2^n+3)/6+(2^n-2)/2+1
=(3^(n-1)+1)/2。
1-(1)3^n。
- 108 :名無しなのに合格:2018/04/13(金) 23:10:44.44 ID:EFcTtWQL.net
- 8・1
(1)3×70=210。(2)11C5-10×10=11×6×7-100=362。
(3)100+35×3-10×3=175。287。
8・ 2
書き込み方式。485。
別解。右下がりの折れ線で塞ぐようにして場合分け。
7+18×6+23×15+4×6+1×1=485。
8・1追加。
Pは中心。362/2=181。
8・3
第4象限を通る。第2象限を通る。原点を通る。
で場合分け。排反である。
(16C8-6C3×10C5)/2=10×6×7×6
15×13×11×3-10×6×7×6=45(143-56)=3915。
8・4
書き込みは大変。排反な場合分け。
22^2+16^2+30^2+8^2+10^2+1^2+1^2
=484+256+900+64+100+1+1=1806。
対称性、対等性、排反。
- 109 :名無しなのに合格:2018/04/14(土) 00:25:08.58 ID:e00HGEON.net
- 9・1
1×6+2=8個。
(2n+1)C3=(4n^3-n)/3。3の倍数。
n(2n+1)。3の倍数。(n-1)(2n+1)+(2n+1)/3
=(6n^2-n-2)/3。二等辺三角形と正三角形。
9・ 2。台形と長方形。
奇数角形の時。nC2×(2n+1)=n(n-1)(2n+1)/2。
9・ 3
偶数角形の時。n((n-1)C2+nC2)-nC2
中心を通る二本の対角線の 1組と長方形1つが対応する。
(n(n-1)(n-2)+n^2(n-1)-n(n-1))/2
=(2n^3-5n^2+3n)/2。
9・4鋭角・鈍角・直角。
直角が一番簡単。鈍角も簡単。
全部で2nC3個。
頂点 1が鈍角⇔ 2≦i< j≦2n、i< j-n。
2≦i< j-n≦n。(n-1)C2個。よってn(n-1)(n-2)個。
直角は(2n-2)n=2n(n-1)個。
鋭角はn(4n-2)(n-1)/3 -n^2(n-1)
=n(n-1)(n-2)/3。鋭角:鈍角=1:3。
1つの鋭角三角形に対して3つの鈍角三角形が対応する。
中心に関する対称点を取って三角形を作る。
9・5
3≦y<<z<<w≦11と⇔3〜9⇔1〜7。7C3=35。
2≦x<<y<<z<<w≦12⇔2〜9⇔1〜8。8C4=70。
105個。中心を含まないのは各直径に対して2個ずつえる。直径の上に中心が乗ってしまう。
105-12=93個。
- 110 :名無しなのに合格:2018/04/14(土) 02:11:17.88 ID:e00HGEON.net
- 10・1
7C2×5C2=210。3×4×3×2+4×3×2×3-3×3×2×2
=72+72-36=108。210-108=102。
10・ 2
(1)領域の個数=1+交点の個数+直線の本数。公式。
1+nC2-3C2+n=(n^2+n-4)/2。
(2)交点の個数×2+直線の本数。公式。
(nC2-3C2)×2+n=n^2-6。
10・3
(1)f=nC2×2=n^2-n。
(2)g=2(n-1)×n=2n^2-2n。
(3)h=2+f=n^2-n+2。
P。2P。P+2。
球面の大円による分割。平面上の円の分割。
10・4
f5=12。f4=4。f3=16。∴12×10+4×4+16×1=152。
25C3-152=2148。
10・5
8C3=56。交わる2本の対角線⇔4つの頂点
⇔4つのT図形。8C4×4=280。336。
別解。6C2×8+5C2×8+(4C2+2C2)×8+
(3C2+3C2)×4=120+80+56+24=280。
- 111 :名無しなのに合格:2018/04/14(土) 04:09:29.10 ID:N6CKLPsu.net
- 第3部
11・1
(1)x(n+1)= 3a(n)。
(2)a(n+1)=x(n)+2a(n)。
(3)x(n+2)= 3x(n)+2x(n+1)。x1=0、x2=3より
x(n)={3^n+3(-1)^n}/4。
別解。anは不要。x(n+1)=3^n-x(n)。
補集合に着目。
11・2
a→cかつb→c。
右端がcであるもの:cn通り。
右端がaであるもの: (xn-cn)/2。
右端がbであるもの:同上。
x(n+1)=3cn+xn-cn=xn+2cn。
c(n+1)=xn。∴x(n+1)=xn+2x(n-1)。
x1= 3、x2=5より、xn={2^(n+2)-(-1)^n}/3。
別解。最初で場合分け。x(n+2)=2x(n)+x(n+1)。
補助数列。
11・3
(1)3C3×3^m-3C2×2^m+3C1×1^m=3^m-3×2^m+3。
(2)f(m+1,n)= n×f(m, n)+n×f(m, n-1)。
(3)f(m+1,m)= m×f(m, m)+m×f(m, m-1)。
a(m)=m×m!+m×a(m-1)。両辺をm!で割ると
b(m)=m+b(m−1)。 b(m)=m(m+1)/2。
a(m)= (m+1)m×m!/2。
別解。(m+1)C2×m×(m-1)!=(m+1)m×m!/2。
- 112 :名無しなのに合格:2018/04/14(土) 05:13:13.71 ID:N6CKLPsu.net
- 12・1
二項係数の公式。
(1)kC1×nCk=nC1×(n-1)C(k-1)。
(2)g=Σk×nCk×x^(k-1)=Σn×(n-1)C(k-1)×x^(k-1) (k=1〜n)。
=n(1+x)^(n-1)。二項定理。
12・2
パスカルの三角形。二個ずらして重ねたもの。
nAk=nCk+nC(k-2) (2≦k≦n)。最短経路。
12・3
(1)x=i-1のどこを横断するかで場合分け。見抜く。
(2)当てはめて丁寧に対応させる。(m+n-2)C(n-1)。
今度は横断しないで、x=iにぶつかったら左折して右折するということで一番上ではぶつかれない。
12・4
積分する。帰納法。
(1)途中 0〜 -1まで積分したと見なす所がポイント。
別解。積分無しで式変形だけでも出来る。
(2)帰納法。
別解。帰納法無しで式変形だけでも出来る。
意味をなさないものは0と定義して議論する。
- 113 :名無しなのに合格:2018/04/14(土) 11:45:16.54 ID:N6CKLPsu.net
- 13・1
(1)5×4×3×6×5=1800。(2n+1)P(n+1)×3nPn。
(2)対偶を取ると偶数番目には必ず偶数がある。
4×3×7×6×5=2520。2nPn×(3n+1)P(n+1)。
13・2
階差の大きさがポイント。
グラフを描く。微分する。増加数列。
f'(12n)=f'(24n)=1。
0〜12nまでと24n〜36nまでは全ての数字。
→値域の個数。
12n〜24nまでは全て異なる。
→定義域の個数。
f(0)=0。f(12n)=7n。f(24n)=20n。f(36n)=27n。
7n+12n+7n+1=26n+1。
13・3
遠回りして行くことは出来ない。
最短経路+2本。(n+3)C3×6nC2。
正方形が出来る場合をダブルカウントしている。
(n+3)C3×6nC2-n×(n+2)C2。
ある横線を通って次に縦線を通ることが決まっている場合の数は、高さを一段低くした経路と等しい。
(n+m)Cm×2mnC2-n×(n+m-1)C(m-1)
原題。(n+3)C3×6n
13・4
昇りだけ踏むA、降りだけ踏むB、両方とも踏むC。
AとBは連続できない。
an+1=bn+cn、bn+1=an+cn、cn+1=an+bn+cn。
a2=b2=c2=1より、an=bn。
2an+1= 2an+ 2cn、cn+2-cn+1=cn+1-cn+2cn、
c(n+2)=2c(n+1)+c(n)。c3=3、c4=7、c5=17、
c6=41、c7=99。
- 114 :名無しなのに合格:2018/04/14(土) 13:10:38.31 ID:N6CKLPsu.net
- 1
4!=24。樹形図。3!=6。対等性。3!=6。6×2=12。
数える時は何番目から数えようと自由。
数える順序の自由さ。最大の特徴。
例題1
(1)9×9×8=648。(2)9×8+4×8×8=328。
例題2
6C3×3!=120。別解。x×3!=6!、x=120。
確率は1/3!=1/6。
例題3
8!/2!2!。7!/2!×2+7!/2!2!×4=5040+5040=10080。
1個だけ残しても残さなくても同じになる。
例題4
6!/2!2!2!=90。ABを数えて後から6倍する。
C*C*、C**C、*C*C。2+2+1=5→30。
例題5
(1)連続しないものは10×9×9×9=7290。2710。
(2)含まないものは9^4+9^4-8^4=9026。974。
排反。どこで初めて連続するか。
10×1×10×10+10×9×10+10×9×9=2710。
- 115 :名無しなのに合格:2018/04/14(土) 13:36:53.85 ID:N6CKLPsu.net
- (1)10C3=120。(2)12C3=220。(3)8C3=56。
(4)9C2=36。(5)3H10=66。
重複組合せ。
例題1
(1)6C3×3C3/2!=10。(2)6C2×4C4=15。
(3)7C2×5C2×3C3/2!=105。
例題2
スターリング数=全射/階乗。
9S3=(3C3×3^9-3C2×2^9+3C1×1^9)/3!
=3281-256=3025。
8C1×7C1×6C2×4C2×2C2/2!3!=28×15=420。
7C3=35。5C2×4C2=60。
例題3
書き込み方式。右下がりの折線で場合分け。
●4+30+80+15=129。○1+18+75+35=129。
10C4-21-45-60+15+30=129。
- 116 :名無しなのに合格:2018/04/14(土) 14:32:42.29 ID:N6CKLPsu.net
- 例題1
a=-1、b=1を代入する。
別解。特定の要素dが入るか入らないかで要素の個数の偶奇は変わり、その個数は等しい。
例題2
重みの平均は0とnの平均であるn/2。
公式5は和分の公式においてn→n-m+1としたものと一致する。実質的に同じ。積分。
- 117 :名無しなのに合格:2018/04/14(土) 15:38:57.06 ID:N6CKLPsu.net
- 練習1(1)5×4×3×6×5=1800。(2)4×3×7×6×5=2520。
練習2。6C1+7C3=41。
練習3。10!/4!3!3!=10×12×7×5=4200。
練習4。(1)3!/2! ×4!/2!=36。(2)4!/2! ×5×4C2=360。
練習5。7!/2! ×2 -6!=4320。
練習1。9C4×4!=3024。注意。
練習2。3H6×3H4=28×15×420。
練習3。x+y+z+w=17。4H17=1140。
2dが満たせば2d-1も満たすので奇数のものは偶数のもの以上ある。19C2+17C2+15C2+13C2+11C2
+9C2+7C2+5C2+3C2=171+136+105+78+
55+36+21+10+3=615。
練習4。12C4×8C4×4C4/3!=495×70/6
=165×35=5775。9C3×6C3×3C3=84×20=1680。
練習5。(1)3。(2)15+20+15=50。(3)15+10=25。
- 118 :名無しなのに合格:2018/04/14(土) 16:19:16.98 ID:N6CKLPsu.net
- 練習6。7C4=35。
練習7。(1)1+36+196+(1+9+4)^2=429。
(2)9C4=126。1つの長方形⇔4本の直線
⇔点線上の4点。
(1)別解。カタラン数。
14C7-14C6=14C7/8=c7。
13×11×3=429。
練習8。内部の1交点⇔ 2本の対角線⇔4個の頂点。
10C4=210。
別解。対角線で2つに分ける。
練習9。AとBは一対一にたいおするから。
問。2C2×2^5-2C1×1^5=32-2=30。全射の個数。
5S2=30/2!=15。2S1=1C1×1^2/1!=1。
- 119 :名無しなのに合格:2018/04/14(土) 20:54:41.46 ID:EYFksnPt.net
- 組合せ論的確率。同様に確からしい。
同時型。戻さない形。戻す型。
復元抽出。非復元抽出。5C2=10。nCk。
同様に確からしい。対等性。5P2=20。nPk。
同様に確からしい。5^2=25。
重複順列。n^k。
組合せ。順列。重複順列。同様に確からしい。
4。7。9。同様に確からしくはない。
対等性を基盤にして同様に確からしいを考えなければならない。
- 120 :名無しなのに合格:2018/04/14(土) 22:45:14.44 ID:EYFksnPt.net
- 物を全て区別した順列。同様に確からしいもの。
4C2=6。同時型⇔戻さない型。
例題1
8C3=56。同様に確からしい。4×3×2/56=3/7。
戻す型では組合せは同様に確からしくはない。
組合せのみ。順列も組合せも。重複順列のみ。
が同様に確からしい。重複組合せは同様に確からしくはない。サイコロ。コイン。じゃんけん。
(6+15+15+12+12+24)/216=7/18。
例題3
(k-1)C2/10C3。最後の10番目に引く人。
- 121 :名無しなのに合格:2018/04/14(土) 23:15:31.76 ID:EYFksnPt.net
- 和事象。積事象。和の法則。加法定理。
積の法則。乗法定理。排反。事象がどの2つも排反の時。
2^12/2^15=1/8。1/16 ×2=1/8。余事象の確率。
P(A∩B)=1-(5^4+5^4-4^4)/6^4=151/648。
試行は独立である。事象は独立である。
事象の独立には難しい面もある。
独立の時の積の法則。定義。
例題。(1)15/36=5/12。(2)12/30=2/5。
別解。3/6 ×4/5=2/5。
3/6 ×1/2=1/4。9/36=1/4。独立である。
AとBは独立ではない。
- 122 :名無しなのに合格:2018/04/16(月) 03:27:03.68 ID:S0SpOQj/.net
- 練習1
000, 012, 111, 222。9/27=1/3。
001, 022, 112. 9/27=1/3。
002, 011, 122、9/27=1/3。
一般にn個でも1/3。
練習2
(1)(6×25+30×16)/1296=105/216=35/72。
(2)(6×1+30×2)/1296=11/216。
練習3
6C2×4C2=90。同様に確からしい。
2×2×(4C2-1)=20。20×3/90=2/3。
練習4
チャンスくじ。外れる確率は7/10 ×6/9=7/15。
10C3=120。6C1+6C2+6C2+6C3
=7C2+7C3=8C3=56。56/120=7/15。
よってどちらも当たる確率は8/15。
練習5
3×3=9通り。13と31では1に来る。
その後、11,22,33,23,32では1は移動しない。
7通りは1以外にいる。その後1*と*1では1に来る。
24/81=8/27。
別解。p(ij)=2/9(i≠j)、5/9(i=j)。
5/9 ×2/9 +2/9 ×5/9 +2/9 ×2/9=24/81=8/27。
- 123 :名無しなのに合格:2018/04/16(月) 21:28:54.11 ID:jtuoDOFA.net
- 練習1
(1)少なくとも1枚偶数。1-5C3/10C3=11/12。
(2)5の倍数以外=8C3/10C3=7/15。
偶数以外かつ5の倍数以外=1,3,7,9=1/30。
1-1/12-7/15+1/30=29/60。
練習2
3/6 ×2/5=1/5。2/6 ×3/5=1/5。2/5。同じになる。
練習3
5×5/10C2=5/9。4×4/8C2=4/7。20/63。
別解。10/10 ×5/9 ×8/8 ×4/7=20/63。
練習4
1/2 ×(1-1/2 ×1/2)=3/8。3/8 ×2=3/4。
別解。4×3/16=3/4。
練習5
P=4Ck/2^4。Q=3Ck/2^3。4+24+28+8=64/128=1/2。
別解。取り敢えずAが3枚投げることにする。
p+(1-2p)/2=1/2。
まとめ。i>Jとi≦jの確率が等しいことが示せる。
- 124 :名無しなのに合格:2018/04/16(月) 21:41:06.91 ID:oXy89xiJ.net
- ただただすごい
- 125 :名無しなのに合格:2018/04/16(月) 22:14:37.20 ID:jtuoDOFA.net
- 独立な試行。二項分布。0.267。0.383。
例題1
二項定理。a=3/4。
別解。どの硬貨も2回ずつ投げることにする。
少なくとも1回表が出る確率。1-1/2 ×1/2=3/4。
例題2
pk/p(k-1)。k<3.3。k=3の時に最大となる。
平均回数np付近の整数値が最大。
練習1
k回裏、n-k回表だから、nCkp^(n-k)(1-p)^k。
練習2
xy=1は1/4。残りはxy=0となる。
5×81+10×9+1×1=496→496/1024=31/64<1/2。
一般化。
練習3
(1)pn=(n-1)(n-2)5^(n-3)/2×6^n。
(2)商を作る定石。n=12または13。
- 126 :名無しなのに合格:2018/04/16(月) 23:25:03.14 ID:jtuoDOFA.net
- 例題1
(n-2)/3 +1=(n+1)/3。
一般化。(n-m)/(m+1) +1=(n+1)/(m+1)。
最大数の方が求めやすいのでそちらを求めてから対称性を使う。
例題2
回数の期待値は1/P。
戻す型。戻さない型。最小問題と実現回数問題。
練習1
(n-4/5 +1)×3=3(n+1)/5。
最小がk⇔(7-k)^2-(6-k)^2=13-2k。91/36=2.5。
練習3
最小がk⇔(n+1-k)^3-(n-k)^3。
3×1/4 -6×2/6 +3×1/2=1/4。
練習4
差分の形にする。7-6(5/6)^n→7。
1 +1/1/6=1+6=7。
- 127 :名無しなのに合格:2018/04/16(月) 23:49:06.06 ID:jtuoDOFA.net
- 例題1
6/8=3/4。
例題2
1/3は×。3/6=1/2。
独立。無関係。
例題3
定義に従って代入すると、n=3。
練習1的中する確率を計算する。
A赤p, A白q, B赤1-p, B白1-q。
pの係数は負、qの係数は正であるから最大にするためにはp=0、q=1とする。
要するに赤を報告されたら赤の多い方を推測し、白を報告されたら白の多い方を推測すれば良いということ。
- 128 :名無しなのに合格:2018/04/17(火) 01:39:40.32 ID:NmQrwN1x.net
- Pn=1/2。
P(n+1)=Pn×1/2 +(1-Pn)×1/2=1/2。
例題1
P(n+1)=Pn×9C2/10C2 +(1-Pn)×1/10C2
=7/9 ×Pn+1/45。Pn=1/10 +7/10 (7/9)^(n-1)
=1/10 +9/10(7/9)^n→1/10。
例題2
赤0個をP、赤1個をQとすると赤2個は1-P-Q個。
連立の漸化式。
例題3
(1)n→n+1、n-1→n+1。
排反で全てを尽くした場合分け。
P(n+1)=P(n)×1/2 +P(n-1)×1/2。
(2)P1=1/2。P2=3/4。λ=1,-1/2。
P(n)=2/3 -1/6 (-1/2)^(n-1)=2/3+1/3 (-1/2)^n。
最後または最初で場合分け。
P(n+1)=1/2 P(n)+1/2 P(n-1)
二項間でやると、P(n+1)=1/2 P(n)+1×(1-P(n))
P(n+1)=-1/2 P(n)+1。P(n)=2/3-1/6 ×(-1/2)^(n-1)
=2/3 +1/3(-1/2)^n→2/3。
仮に交互に起こるとすると●●○●●○●●○となる。
- 129 :名無しなのに合格:2018/04/17(火) 01:58:52.44 ID:NmQrwN1x.net
- 練習1
P(n)=P(n-1)×p+(1-P(n-1))×(1-p)。
P(n)=1/2+1/2(2p-1)^n→1/2。
練習2
治療が成功する確率は難しい。
治療が適用される確率ならば難しくない。
a(n+1)=a(n)×p+(1-a(n))×(1-p)。
-1<p+q-1<1。a(n)→α。
よってr(n)=pa(n)+(1-a(n))q→pα+(1-α)q≧(p+q)/2
⇔2pα+2(1-α)q≧p+q。(p-q)(2α-1)≧0。
αを消去すると示せる。
- 130 :名無しなのに合格:2018/04/17(火) 02:30:29.63 ID:urkAp8Qs.net
- 書いてくれてる人は何者?受験生?
- 131 :名無しなのに合格:2018/04/17(火) 08:18:44.39 ID:95hw1JVG.net
- >>130
違いますよ。久しぶりにやり始めたら止まらなくなりました。いい本だと思います。
- 132 :名無しなのに合格:2018/04/17(火) 20:02:41.23 ID:EhcKQDR1.net
- 練習3
3状態の推移なので 2種類の確率を設定する。
p(n)=p(n-1)×1+q(n-1)×1/3。
q(n)=q(n-1)×1/3 +(1-p(n-1)-q(n-1))×1/2。p1=0。
∴ p(n)=1-(5/6)^(n-1)→1は当然。
練習4
4状態の推移なので3種類の確率を設定する。
p(n)=q(n-1)×1/3。
q(n)=p(n-1)×1+r(n-1)×2/3。
r(n)=q(n-1)×2/3。q0=0、q1=1。
求める確率はr(n-1)×1/3
n=2,4,6,8…の時、0。
n=0,1の時、0。
n=1,3,5,7,…の時、(2/9)(7/9)^(n-3)/2。
別解。1秒後に確率1でK2。その2秒後に確率2/9でK4。その余事象の7/9でK2に戻り、また2秒後に2/9でK4。
2/9を○、7/9を●とすると○, ●○, ●●○, ●●●○, …
従って、(2/9)(7/9)^(n-3)/2。
練習5
上に上がれない。p(n+1)=(p(n)+p(n-1))/6。
p0=1、p1=1/6。
p(n)=3/5(1/2)^n+2/5(-1/3)^n。
研究。q(n+1)=q(n)×1/6+q(n-1)×1/6+p(n+1)×4/6。
これを解くのは困難。なおq(n)=Σp(k)×4/6×p(n-k)
n+1回中1回だけ上に行く。何回目に行くかで場合分け。
練習6
p(n+1)=q(n)×1/2。
q(n+1)=r(n)×1/2。
r(n+1)=q(n)×1/2+r(n-1)×1/2。
p(n+1)=1/2 p(n)+1/4 p(n-1)。
別解。最初の動作で場合分け。
×の後は任意。○の後は×が続いた後に任意だから
p(n+1)=1/2 p(n)+1/4 p(n-1)。
- 133 :名無しなのに合格:2018/04/18(水) 02:10:58.20 ID:rlimws4c.net
- 確率変数。E(X)=ΣxiP(X=xi)
加重平均。-20/8=-2.5円。
単純平均。縦に数える。横に数える。
例題1
21。
和の期待値は期待値の和。期待値の線型性。
証明。別解。E(x')=21/6 ×6=21。
隣り合っているX1=1。
隣り合っていないX1=0、
X=ΣXi。対等性によりE(X)=4E(X1)。
=4(1×p+0×(1-p))=4p=4×7/8C2=1。
15/5=3。期待値の分割の公式。
例題3
P=Σ1/n ×1/m
E(X)=ΣP(A)×EA(X)=(n+3)/4。
本解の続き。分母が同じものをまとめると
=(n+3)/4。
解釈の仕方。 mの平均m'=(1+n)/2。
Xは1とm'の平均だからX=(1+m')/2=(n+3)/4。
- 134 :名無しなのに合格:2018/04/18(水) 03:02:50.38 ID:rlimws4c.net
- 練習1
E(a-2b)=E(a)-2E(b)=22/3-22/3=0。
11×10×3/45=22/3。
(9+16+21+24+25+24+21+16+9)/45
=165/45=33/9=11/3。
練習2
1/3 ×6=2。
別解。2×5!×6/6!=2。
1つの袋に関して見るだけで良い。他は当たっていてもいなくても良い。
8, 0, 96, 128, 216, 192。
(48+384+384+432+192)/6!=2。
練習3
全部でm-1試合で、m人だから(m-1)/m。
1/2 ×1=1/2。
帰納法。
1回目くじで選ばれる→勝つ→1試合多い。
または
1回目くじで選ばれる→負ける→期待値0。
または
1回目くじで選ばれない→試合数は増えない。
の3通りに場合分け。
- 135 :名無しなのに合格:2018/04/18(水) 03:04:54.83 ID:3ij735OL.net
- 数学板の数オリ事典スレの人?
- 136 :名無しなのに合格:2018/04/18(水) 03:47:38.16 ID:rlimws4c.net
- 条件付き確率。原因の確率。
同様に確からしい。
3×2/3×9=2/9。
別解。2/9。
3×2/3×9=2/9≠3/10。
P=0。
例題1
PA=1/5=25/125。
PB=4/5 ×1/5=4/25=20/125。
PC=4/5 ×4/5 ×1/5=16/125。
PX=61/125。∴ P(B/X)=20/61<1/3。
X=5^3-4^3=61。B=4×1×5=20。
例題3
(1)4/5。
(2)4/5。
(3)6/8=3/4。
X♂♂
X♂♀
X♀♂
X♀♀
♂X♂
♂X♀
♀X♂
♀X♀
♂♂X
♂♀X
♀♂X
♀♀X
の12通りある。
「末子でない」は第一子である確率を高めない。
「妹がいる」は第一子である確率を高める。
「弟がいる」は第一子である確率を高める。
例題3
(1)1/3。6/18。
1234,1243,3214,3241,4213,4231
1324,1342,2314,2341,4312,4321
1423,1432,2413,2431,3412,3421。
(2)6/12=1/2。
1234,1243,13241342,14231432
2314,2341,2413,2431
3412,3421。
- 137 :名無しなのに合格:2018/04/18(水) 04:30:21.49 ID:rlimws4c.net
- 練習1
定義に従って、表が出て表が出たと真を言う/(表が出て表が出たと真を言う+裏が出て表が出たと偽を言う)
P=4^3/(4^3+1^3)=64/65。
練習3
行きで紛失をA、返事が来ないをBとする。
A∩B= Aであるから、 P(A∩B)=0.002。
Bの否定は「行きで紛失しない、かつ返事を書く、かつ帰りで紛失しない」であるから
P(B)=1-0.998×0.95×0.998
P(A/B)=2/(1000-998×0.95×0.998)
=3.718%
練習2
n(A∩W)=1×4=4。n(¬A∩W)=1×3=3。
∴ n(W)=7。P1=4/7。
P2=4C2/(4C2+3C2)=6/9=2/3。
P3=4C3/(4C3+3C3)=4/5。
注。同様に確からしくない場合は場合の数では出来ず、確率でやるしかない。
P(A∩W)=1/2 ×4/a。P(¬A∩W)=1/2 ×3/b。
P1=4b/(4b+3a)。
- 138 :名無しなのに合格:2018/04/18(水) 06:31:07.01 ID:NUaxPn07.net
- 例題1
p (n)=1-(1- 1/n)^n=
1-[{1+ 1/(n-1)}^(n-1)]^(-n/(n-1))→1- 1/e。
p(n)≒2/3と思って良い。
例題2。破産の確率。
p(n+1)=q(n)×1/2 +1×1/2。
p=q/2 +1/2⇔2p=q+1=1-p+1、p=2/3。
定理:上に有界な増加数列は収束する。
下に有界な減少数列は収束する。
確率の数列は上にも下にも有界であって、
単調性が明らかな場合が多い。(0≦P(n)≦1)。
1-(p(n)+q(n))=(1/2)^n。∴ p+q=1。
例題3。k番目の袋を選び、かつ6回中3回赤玉を
取り出す確率は、
1/n ×6C3(k/n)^3(1- k/n)^3
→20∫x^3(1-x)^3dx (区分求積法)
20×3!3!×1^7/7!=1/7。(β関数)
3回をr回にしても確率は変わらない。
r=0〜6の時、1/7。
6回を一般化しても等確率は変わらない。
組合せ論的確率。確率密度関数。
答え4/10=2/5。確率密度関数f(x)=1/10。
待ち時間に「来た時刻の有利不利」は無く、
10分間隔なので1/10(/分)となる。
もしT分間隔ならば、f(x)=1/T (=定数)となる、
6分以上待つ⇔0分〜4分の間に来た。
∴ ∫1/10 dx=4/10=2/5。平均値。期待値。
例題4
(1) ∫f(x)dx=1を解いてaが求まる。
(2) E(X)= ∫xf(x)dxを計算する。部分積分法。
(答) 約3分。
(3) 10n円になる定義域で積分して確率Pを求め、
平均値(期待値)E=Σ10n×P (n=1〜60)。
(答) 約16円。
- 139 :名無しなのに合格:2018/04/18(水) 19:44:10.21 ID:NUaxPn07.net
- 例題5
針がどの位置に止まるか、その分布は一様であると考える。
X=0.0, 0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5, 0.6, 0.7, 0.8, 0.9, 1.0。
四捨五入なので
(1)X=0.kとなるのは0.k-0.05≦u<0.k+0.05 (k=1,2, …9)
(2)X=0.0となるのは0≦u<0.05
(3)X=1.0となるのは0.95≦u≦1
である。
円周=1なので、弧長が確率に対応する。
(1)弧長は(0.k+0.05)^2-(0.k-0.05)^2=k/50。
(2)弧長は1/400。
(3)弧長は39/400。
期待値はE=9×10×19/500×6 +1×39/400
0.57+0.0975=0.6675。
発展。P=b^2-a^2 (9≦a≦b≦1) (弧長)
aを固定してbの関数と見る。
両辺をbで微分すると、f(b)=2b。
これが任意のbに関して成り立つから
f(x)=2x。確率密度関数が求まった。
定義によりE(X)=∫xf(x)dx=∫x×2xdx=2/3(ほぼ同じ)。
別解。nが十分に大きい時、定義域の最小値でXを代表しても良いから(または挟み撃ち)、
区分求積法に結び付いて、E(X)=2/3。
練習1
第1戦にBが勝ち、かつAが優勝する確率をPとする。
BAA, BAC
P=pq/2 +p(1-q)/2 ×P。∴ P=pq/(pq-p+2)。
第1戦にCが勝ち、かつAが優勝する確率をQとする。
CAA, CAB。 ∴ Q=pq/(pq-q+2)。
よってP+Q=pq(2pq-p-q+4)/(pq-p+2)(pq-q+2)。
練習2
(1)外れがk本の箱を選ぶ。区分求積法。2/3。
(2)(1)と同様に考える。Σijの計算法に注意。
1- (1/2 ×1/4 -0)/(1/2)=1-1/4=3/4。
練習3
-1≦x≦0ではP=1/3。よって残りは7/24。
3(8-3c)×c=7、9c^2-24c+7=0、(12-9)/9=1/3。
練習4
連続分布。x+25<y+35 ⇔ x<y+10。
5分間をn等分したうちのどの1つの区間に入る確率も等しく1/nである。nを十分大きくすると区間は殆ど0になるので、変域の最小値で一定していると考えて良い。
ここが連続分布の考え方。よって、
Xの待ち時間がα分以下⇔確率はα/15より、
(k/n +2)/3。区分求積法により、
∫(x+2)/3 dx =(1/2 +2)/3=5/6。
別解。確率分布が座標平面に図示出来る。
台形/長方形 =1- 1/2 × 1/3=5/6。
- 140 :名無しなのに合格:2018/04/18(水) 20:39:31.53 ID:NUaxPn07.net
- 確率変数。平均。期待値。分散。標準偏差。
二乗の平均−平均の二乗。
例題1
(1)E=6+14+32+27-90a+100a=10a+79。
360+980+2560+2430-8100a+10000a
=1900a+6330-100a^2-1580a-6241
σ=√(-100a^2+320a+89)。
(2)E=50。100/V ×V=100より、σ=10。
(3)X=100として、最大値はa=0の時。
Y=50+ 210/√89 =50+210√89/89≒72.26。
偏差値の平均は50、標準偏差は10。
確率密度関数。平均。分散。二項分布と正規分布。
離散量。連続量。実質的には同じもの。
独立。確率変数X。B(n, p)。
E(X)=np。V(X)=np(1-p)。
12/6 =2。
例題2
n回のうち表が出る回数を確率変数Ynとすると、
裏が出る回数はn-Ynであるから、
V(Xn)=V(Yn -(n-Yn))=V(2Yn-n)=4V(Yn)
Ynは二項分布B(n, 1/2)に従うので、
V(Yn)=n×1/2 ×1/2=n/4。よってV(Xn)=n。
正規分布。直線x=mに関して対称。
mは平均を表す。σは標準偏差を表す。
nが十分に大きい場合の二項分布の近似になっている。
ただしpが0か1に極端に近い場合を除く。
正規分布表。E=600/6=100。σ=5√30/3≒9.13。
P(91〜109)=2×0.3413=0.6826。推定。検定。
- 141 :名無しなのに合格:2018/04/18(水) 21:27:11.54 ID:NUaxPn07.net
- 練習1
X=kとなるのはn-k通り。Xの確率分布は
P(X=k)=(n-k)/nC2。E(X)=(n+1)/3。
E(X^2)=n(n+1)/6。V(X)=(n+1)(n-2)/18。
練習2
(1)P=2(k-1)/n(n-1)。
(2)E= 2(n+1)/3。V=(n+1)(n-2)/18。
練習3
E=λ。V=λ^2+λ-λ^2=λ。
テーラー展開。
P(X=k)=e^(-λ)×λ^k/k! ポアソン分布。
二項分布でnが大きくpが小さい場合の分布を近似したものがポアソン分布。
Xはλ=1のポアソン分布。P=1- 1/e。
練習4
(1)np(1-p)=8/9。
nC(n-1)p^(n-1)(1-p)=8×nCnp^n。
∴ n(1-p)=8p。 p=1/3。n=4。
B(4,1/3)。P(X=k)=4Ck(1/3)^k(2/3)^(4-k)。
(2)m=4/3。σ=2√2/3。1.33±0.94=0.39, 2.27。
X=0,3,4。16/81+8/81+1/81=25/81≒0.30864
(3)8/9 +(4/3)^2 -4 +2=2/3。
正規分布で近似すると、
1-0.3413×2=1-0.6826=0.3174。
- 142 :名無しなのに合格:2018/04/19(木) 01:30:42.58 ID:3wRxg1A0.net
- 発展編1
白石の個数≧黒石の個数。カタラン数。
c2=2, c3=5。
対角線を突き破らない。具体的で規模の小さい経路の問題では書き込み方式が最良。
対角線の1つ上側にある直線に接触するものを折り返す。
一般論はcn=2nCn-2nC(n-1)=2nCn/(n+1)。
カタラン数の作り方。 -Pの三角形。
問題。偶数の時は0。奇数の時はcn/2^(2n+1)
問題。c6=12C6/7 =132。
- 143 :名無しなのに合格:2018/04/19(木) 07:44:27.73 ID:3wRxg1A0.net
- 発展編2
問題1
左右を区別しない。
9C3=84。左右対称は4個。
84=4+80→4+40=44。
9C4=126。左右対称は6個。
126=6+120→6+60=66。
問題2
9C3=84=3+81→3+27=30。
問題3
(1)11!
(2)12C6=924。1×12=2×6=3=4。
男女は同数なので2,4,6,12。
2C1=2。4C2=6。6C3=20。
924=2+4+18+900→1+1+3+75=80。
問題4
(1)4!/(4×3)=2。
(2)6!/(6×4)=30。
(3)6C2 ×5×4!/(6×4)=75。
- 144 :名無しなのに合格:2018/04/19(木) 21:41:03.37 ID:3wRxg1A0.net
- 発展編3
pn=3C2 ×(2^n-2C1 ×1^n)/3^n。
p10=1022/19683=0.0519。
58秒。55分。
n=3mの時、比を取ると一項めは
(9m^2+9m+2)/(9m^2+18m+9)<1であり、
減少関数であることが分かる。二項めも減少関数であるから、これは減少関数である。
m=2として、31/243 =0.128。この場合もアイコになる確率は小さいと言える。
アイコがあるので永久に続く可能性がある。
3人勝負での一人勝ちは有り得ないので、
1/3 + 1/3 ×1/3 + …→(1/3)/(1- 1/3)=1/2で2人になる。
以降は普通のジャンケンなので1/2。よって1/4。
これは普通のジャンケンにおけるCの勝つ確率1/3よりも小さい。
A=1/3、B=1/4で不公平。
AもBも確率1/2で決勝戦に進める。
しかし最終的な勝者となる確率は
A>1/7>Bとなり、人数の少ない方のグループに属する人が有利になる。
- 145 :名無しなのに合格:2018/04/20(金) 21:32:25.30 ID:dnknvHRZ.net
- 発展編5
問題1
a+b=一定で、aを変数とする数列を考える。
(k, a+b-k)→(k+1, a+b-(k+1))または(k-1, a+b-(k-1))
P(k)=P(k+1)×1/2 +P(k-1)×1/2。(1≦k≦a+b-1)
P0=1、P(a+b)=0。等差数列。
P(k)=1- k/(a+b)。b:a。
実力が互角である時は相手を破産させる確率の比は資金の比である。
問題2
Aがk個、Bが(2n-k)個持っている状態から始めるとする。
P(k)=P(k-1)×p+P(k+1)×(1-p)。P(2n)=0。
Bが破産する確率はAのm^n倍である。
一次関数と指数関数の違い。
長い目で見れば実力が少しでも上の方が圧倒的に有利である。破産しにくい。
日本シリーズ。
勝つ確率を一次近似すると
g(p)=2.1875(p-0.5) +0.5。
1試合での実力が2倍化されて優勝が決まる。
- 146 :名無しなのに合格:2018/04/20(金) 22:04:46.08 ID:dnknvHRZ.net
- 問題1
ポリアの壺の問題。
P2=P1、P3=P1が確かめられる。
Pn(a,b)=P1(a,b)=a/(a+b)を帰納法で示す。
くじ引きと同じ確率。
別解。n回目に新たに加えた玉であるかどうかで場合分け。
P(n+1)=P(n)×c/(s+cn) +P(n)×(s+cn-c)/(s+cn)
=P(n) (証明終)。
問題2
漸化式を立てる。
反対色を加えると中和されて1:1に収束する。
問題3
p=1ならばポリアの?の問題。
p=0ならば問題2。
0<p<1とする。漸化式を立てる。
有名不等式logx<x-1 (x>0、x≠1)を使う。
1より小さな正の数を無数にかけても0に収束するとは限らない。重要。
少しでも反対色の可能性があると完全に中和される。
- 147 :名無しなのに合格:2018/04/20(金) 22:51:46.41 ID:dnknvHRZ.net
- 発展編7
問題1
1708年、Montmortによって提出された問題。
n =13。攪乱順列。完全順列。
求める確率はf(n)/n!。f(n)=(n-1){f(n-1)+f(n-2)}。
どの玉も一箇所入れない箱がある。
この漸化式は解けて、P(n)=Σ(-1)^k/k!
(k=2〜n、n≧2)。テーラー展開。
limP(n)=1/e ≒0.368。
問題2
最後の札がnか否かで場合分け。
(1)P(n,k)=P(n-1,k-1)×1/n +P(n-1,k)×(n-1)/n。
(2)期待値の定義。Σをバラすと分かりやすい。
E(n)=Σ1/k (k≧2)。
枚数の期待値は Σ1/k (k≧1)。
別解。n枚目の札がnか否かで場合分けすると直接漸化式が得られる。E(n)={E(n-1)+1}×1/n +E(n-1)×(n-1)/n
自分がチャンピオンになれるのは自分より大きい数字が前に来ない時であるから、kというカードは1/(n-(k-1))。
- 148 :名無しなのに合格:2018/04/20(金) 23:21:37.87 ID:dnknvHRZ.net
- 発展編8
1966年の夏サーベロニの別荘。理論生物学の会議。
問題1
解1は適切ではない(誤り)。仮に獄番が所長から「マークは処刑される」としか知らされていなかったならばこれで正しい。
「マシューが処刑される」という事象と「マシューが処刑されると答える」という事象の違い。
解2
どの1人が処刑されないかで場合分けをする。
P(A')=(0+1+ 1/2)/3=1/2。
A'∩Bは、マークが処刑されると獄番が答える、かつマシューが処刑されるという事象⇔ルークが処刑されず、かつマークが処刑されると獄番が答えるという事象。
∴ P(A'∩B)=1/3 ×1=1/3。P(B/A')=2/3。
マシューの幸福感は幻影である。
(1)と(2)は同様に確からしくはない。
2C1/3C2=2/3。
問題2
2つの事象は独立であると考えられるから、1/2。
MM
MF
FM
FF。
これらは同様に確からしい。2/4=1/2。
追加設問。2/3。
- 149 :名無しなのに合格:2018/04/21(土) 00:49:32.31 ID:/0QS/ISA.net
- 発展編11
二項分布B(n,p)。正規分布N(m,σ^2)。
95%⇔z=1.96。信頼度。
99%⇔z=2.58。
標本の比率→母集団の比率を推定する。
標本の平均→母集団の平均を推定する。
例題1
二項分布を正規分布で近似する。
※標本におけるAの支持率X/nをp'とし、右辺のpをp'で代用してしまう。
比率推定の手法。
信頼度95%で、[0.524, 0.588]。
95%の確率でAが勝つと言える。
※平均がm、標準偏差がσ/√n の正規分布。前提として母集団が十分に大きく、nもある程度大きい。
平均の推定。|X-m|≦1.96σ'=1.96×σ/√n。
※mは標本の平均であり、母集団の平均である。
※確率変数X'を固定する。
例題2
X'の分布は平均m 標準偏差5.8/√n の正規分布。
∴ |X'-m|≦1.96× 5.8/√n
区間の長さは1.96× 5.8/√n ×2≦2。
n≧(1.96× 5.8)^2=129.23。∴ 130人以上。
確率的背理法。危険率。有為水準。
危険率5%で検定する。棄却される。
仮定に矛盾しない。仮定を棄却できない。
B(900,1/6)より m=150 σ=5√5の正規分布で近似する。
|X-150|≦1.96×5√5≒21.91。[128, 172]。
正常なサイコロとは言えない。
練習1
比率型。Xの確率分布はB(192, 0.75)の二項分布。
m=144、σ=√36=6の正規分布で近似できる。
| X -144|≦1.96×6=11.76。[132.24, 155.76]。
133〜155粒発芽すればよい。
練習2
(1)検定。標本の分布は正規分布N(25, 10^2)。
| X -25|≦1.96×σ'=1.96×10/√9=6.533。
[18.47, 31.53]。X=18は範囲に入っていない→言えない
(2)平均型 |a-18|≦1.96×σ'=1.96×10/3 [11.47, 24.53]
練習3
標本の標準偏差=標本一匹一匹についての標準偏差
≒母集団の標準偏差。標本平均の標準偏差ではない。
(1) |m-2.57|≦1.96×σ'=1.96×0.35/10=0.0686。
[2.50, 2.64]。
(2) |m-X'|≦1.96×σ'=1.96×0.35/√n≦0.05。
n≧(1.96×7)^2=188.2384。189匹以上。
練習4
(1)(15/16)^3(8/9)^2(24/25)=5/8。
(2)両側検定。 Xの分布は二項分布B(960, 5/8)。
これは正規分布N(600, 15^2)に近似できる。
|X-600|≦1.96×σ=1.96×15=29.4。
∴ [570.6, 629.4]。 X=640はこの範囲に入らないから仮説は棄却される。
- 150 :名無しなのに合格:2018/04/21(土) 13:30:08.34 ID:/0QS/ISA.net
- 発展編9
排反な事象A、Bに分けて、
E(X)=P(A)EA(X)+P(B)EB(X)。
最初の結果によって場合分け。
問題1
E(n+1)=1/6 ×1 +5/6(E(n)+1)
E(n)=6-5(5/6)^(n-1)→6。
収束することを前提とすれば極限の計算だけをやってもよい。
問題2
最初で場合分け。
E(n)=1/2 ×E(n-1)+1/2 ×(E(n)+n- 1/2)
E(n)=n^2/4。
平均的には(1, 1/2)の方向へ進むと考えられるから、
底辺n、高さn/2の三角形の面積を求めてn^2/4。
n枚目の札で場合分け。
問題3
(1)P(n+1,1)=P(n,0)×1/4 +P(n,1)×3/4 +P(n,2)×1/6。
P(n+1, 2)=P(n,1)×1/4 +P(n,2)×3/4 +P(n,3)×1/4。
P(n+1, 3)=P(n,2)×1/12 +P(n,3)×3/4。
E(n+1)=P(n+1,1)×1+P(n+1,2)×2+P(n+1,3)×3
=5/6 ×E(n)+1/4。E(1]=13/12またはE(0)=1。
E(n)=3/2 -1/2(5/6)^n。
(2)E(n)→3/2。
別解。赤玉E(n)個、白玉(3-E(n))個と考えて、
E(n+1)=(E(n)/3)(1/4 ×E(n-1)+3/4 ×E(n))
+(1- E(n)/3)(3/4 ×E(x)+1/4 ×(E(n+1))
=5/6 E(n)+1/4。
Σp(k)×k/N=1/N ×Σkp(k)=E/N。
Eは赤玉の個数の期待値。
- 151 :名無しなのに合格:2018/04/21(土) 15:10:10.22 ID:/0QS/ISA.net
- 発展編10
問題1。E(2n)=E(2n-1)。
k回が負、2n-k回が正とする。E(2n)=4n× (2n-1)C(n-1)/2^2n。 ウォリスの公式。E(2n)≒0.8√2n。
問題2。X(n)=kとなる確率をpk、X(n+1)=kとなる確率をqkとすると、qk=pk×1/2+p(k-1)×1/4+p(k+1)×1/4。
4E(X(n+1)^2)=Σk^2×4qk (-n-1≦k≦n+1)
=4E(X(n)^2)+2。E(X0^2)=0。∴ E(X(n)^2)=n/2。よってE=n。E(D(n))≦√n。√30^2 ×50=1500cm=15m。
これは問題1でも成り立っていた(問題1では0.8、問題2では0.9)。
問題1追加。和の期待値は期待値の和。
E'=E(n+1) -1。出発点に戻る回数の期待値と出発点から離れていく期待値が殆ど等しい(約1違い)。
問題3。カタラン数の手法。
正の向きを右に、負の向きを上に対応させると数直線上の左右の動きが座標平面上の第一象限に実現する。
一歩目が右か上かで場合分けをすると、
1- 9C4 ×2/2^10=1-3×7×6/512=193/256。
(2n-1)C(n-1)/2^(2n-1)=(問題1)/2n→0。戻らない確率が0に収束するので、ほぼ確実に一回は出発点に戻る。
- 152 :名無しなのに合格:2018/04/21(土) 16:57:08.21 ID:/0QS/ISA.net
- 発展編4
引く順番によらず公平である。順列の対等性。
問題1
14C0=15C0に着目して加えていくと、
19C4/20C5=1/4。
×の直後に引いても当たる確率は変わらない。
××の直後でも変わらない。
Aの要素の最初の×の次の○を取り除くとBの要素が得られる。またBの要素の最初の×の次に○を加えるとAの要素が得られる。
従って集合Aの要素と集合Bの要素とは一対一に対応するから同数である。
問題2
3番目の人が引き直しをするかしないかで場合分け。
○○○、○×△○、×△○○、×△×△○
または○○×○、○×△×○、×△○×○、×△×△○
⇔○○○、○×○、×○○、××○
または○○×○、○××○、×○×○、××○。
(△は後から数えることにして除けることがポイント)
⇔△△○または△△×○。
⇔○または×○。
これは1番目の人の確率と等しい。
別解。帰納法。n,kによらず*で与えられると仮定する。
問題3
条件付き確率。
2つの箱の中には平均して1個ずつ○が入っていると考えられ、○を引かれてしまった後には○が残っていないと思われるが、計算をすると「X君はどちらの箱から引こうと同じである」となる。
「Aから○を引いた」という情報は「Aの中に○が多い」ということまでも意味する。
別解。クジを一列に並べ、初めの3つはAの箱、後の3つはBの箱としてよい。
題意は「5本中2本の○が入っているクジを1番に引くのがよいか3番に引くのがよいか」に帰着され、これは明らかに等しくなる。
- 153 :名無しなのに合格:2018/04/23(月) 00:49:28.98 ID:YCaVjisp.net
- 演習編1
1
6!/2!2!=180。5!-4!/2!=108。
2
(1)8!/3!2!=3360。5!/2! ×6C3=2160。
(2)7!/3!=840。4!×5C3=240。600。
3
3^n-3×2^n+3。4^n-4×3^n+6×2^n-4
類題。6^n-3×5^n+3×4^n-3^n。
4
7C4=35。
5
2000=2^4×5^3。20個。31×156=4836。
- 154 :名無しなのに合格:2018/04/24(火) 03:11:54.05 ID:OlH0aNmS.net
- 演習編
6
(1)285+181-25×2=416。
(2)285+181+153-2(25+21+13)+3×1=504。
7
(1)9×8×6×4=1728。
(2)1桁は9個。2桁は9×8=72。3桁は9×8×6=432。
2241個。9000台は192個。8900台は24個。
8700台は24個。8697, 8695。
8
6!=720。4連続は4!×3!=144。3連続は4!×2×3!=288。
288。
9
(1)2^6=64。
(2)3^6=729。
10
(1)99C2=4851=49×3+784×6。
(2)3個等しいのは無い。2個等しいのは49通り
784個。833。
類題。3個等しいのは1つ。2個等しいのは(n/2 -1)個。
(n-1)C2 =1+(n/2 - 2)×3 +6×P。
6P=(n-1)(n-2)/2 -1 -3(n/2 - 2)=n^2/2 -3n+6。
P=n^2/12 -1/2 n+1。
- 155 :名無しなのに合格:2018/04/25(水) 19:06:17.26 ID:vFe4zpPb.net
- 演習編1
11
(1)このパターンだけ使える。3H3 ×3H1=30。
(2)3H6 ×3H4 -2H6 ×2H4 ×3 +1H6 ×1H4 ×3
=28×15-7×5×3+3=318。
12
(1)12C4 ×8C4/3!=495×70/6=5775。
(2)6C2 ×4C2 ×6C2 ×4C2/3!=15×15×6×6/6=1350。
(3)1350/3=450。
13
最短経路は9C5=126。
はみ出さない事と始点・終点には途中で到達しない事。
一回だけ戻れる。11C7 ×5=330×5=1650。
1650-126×2=1398。
同様に11C6 ×4-126×2=1848-252=1596。3120。
14
(複雑な)ルールにより削除できる経路(違反ルート)を削除してから、書き込み方式が良い。重要。61。
15
210-72-72+36=102。
- 156 :名無しなのに合格:2018/04/25(水) 21:39:57.97 ID:vFe4zpPb.net
- 演習編2
16(1)n≦k≦3n。(2)n≦i< j≦3n、j-i≧n を解けば良い。
重要。n≦i< j-n+1≦2n+1。(n+2)C2 ×4n/3=
2n(n+1)(n+2)/3。鋭角三角形はダブりが出る。直角や鈍角の方が数えやすい。
類題(1)(3n-2)×6n+2n=18n^2-10n。
(2)1≦i< j≦6n-1。j-i>3n を解けばよい。1≦i< j-3n≦3n-1。(3n-1)(3n-2)/2 ×6n=3n(3n-1)(3n-2)
鈍角三角形にはダブりがない。
17。8C4 ×4=280。
18(1)8+8-1=15。(2)場合分け。包除原理。
4×2^(2n-1) -4×2^n-2×2^2 +4×2-1=
2^(2n+1)-2^(n+2)-1。
19
(1)スターリング数。(n+1)Sk=nS(k-1) +k× nSk。
特定のものが単独でグループを作るか単独では作らないかで場合分け。nSn=nS1=1。
(2)5S3=4S2+3× 4S3=3S1+2× 3S2 +3× 3S2+3×3× 3S3=
1+5(2S1+ 2× 2S2)+9=1+5×3+9=25。
20
(1)樹形図で。24。72。120。
(2)一般化。最後のnにAを塗っても良いとすると、a(n+1)通りになる。
よってa(n+1)=a(n)+(2^(n-1) -a(n))×2
=-a(n)+2^n。
∴ 2^(n+2) +8(-1)^n。
最初と最後が同じものは、nが1つ小さい場合の数と見なせる。
21
上下を区別すると7!通り。
点対称な配置を数える。1×6×4×2=48。数えやすい。
(5040-48)/2=2496。2544。
- 157 :名無しなのに合格:2018/04/26(木) 19:45:23.61 ID:nXC9KtbE.net
- 演習編2
1
×→× 25。
○→○ 45。
○→× 05。
×→○ 25。
△→× の確率は0.3。言い伝えの確率は0.5なので、
ある程度は正しい。
2○○、××、○×、○×。
1/4 ×2/3 ×1/2 ×1/2 +1/2× 1/2 1/3 ×1/2
=1/24 +1/24=1/12。
別解。1C1× 2C1/4C2 ×1/2 ×1/2=1/12。
3
(1)5/9 ×4/8=5/18。(2)1/9C2 ×4=1/9。
4
(1)7C3/343=5/49。(2)7C2/343=3/49。∴ 13/49。
(3)1- 64/343=279/343。
(4)グググ+キキグ=27/343 +48×3/343=171/343。
(5)1- 9C3/343=1- 12/49=37/49。
5
(1)1/N。1/N +1/N^2=(N+1)/N^2。
1/N +2/N^2 +1/N^3=(N+1)^2/N^3。
(2)P(N, k)=(N+1)^(k-1)/N^k。帰納法。
1枚目が何かで場合分け。
別解。漸化式を作ることも出来る。
- 158 :名無しなのに合格:2018/04/26(木) 23:25:28.44 ID:nXC9KtbE.net
- 演習編2
6
(1)000 012 111 222、72/216=1/3。
(2)任意の2aに対して
条件を満たす3bがただ1つ存在し、それらに対して条件を満たすcは存在しない→不適。
条件を満たさない3bが5個存在し、それらに対してただ1つ条件を満たすcが存在する→適する。
30/216=5/36。
7
(1)場合分け。(n+ n(n-1) )/6^n=n^2/6^n。
(2)場合分け。n(n-1)(n+2)/2×6^n。
(3)1-(1/2)^n-(2/3)^n +(1/3)^ n。
8
(1)12/36=1/3。別解 1/2 -1/6=1/3。
(2)1/2 -(1/6)^2=17/36。
(3)1/2 -(1/6)^n。
9
(1)(5/6)^n-(4/6)^n。
(2)(4/6)^n-2(3/6)^n+(2/6)^n。
10
(1)一度でも南北の動きがあれば、以降の動きでそれを戻すことはできないから。等比数列の和の公式。
(2)(1- 2(4/6)^n +(2/6)^n)/4。
どの軸上を動くかの対等性。
どの象限に入るかの対等性。
- 159 :名無しなのに合格:2018/04/27(金) 01:07:42.10 ID:h76qpWrO.net
- 演習編2
11。f(n+1)=2f(n)+g(n)、g(n+1)=f(n)+2g(n)+h(n)。
対等性より、h=g。(f,g)=1,2。4,6。14,20。48,68。
96/4^5=6/64=3/32。
12(1)7/9C3=1/12。(2)3×3×3/9C3=9/28。
(3)6/27 ×15×6/729=20/729。
13(1)(k-1)(N-k+1)/N^3。(2)3(k-1)(N-k+1)/N^3
(3)P(X+Y≦Z)=Σ(2) =1/2 -1/2N^2。
∴ 1/2 +1/2N^2。約1/2になる。
14(1)pq(1+q)、pq(1+p)。P>Q。
(2)pq(p+q^2+p^2)、pq(q+q^2+p^2)。P<Q。
(3)(pq)^2(1+p+q+q)、(pq)^2(1+p+q+p)。P>Q。
発展編3続き。
問題1。一般に人数の少ないグループの方が有利。
問題2。0では勝てず、1と2では引き分けになる。
4人の場合は対等性が保たれて公平になる。A君はどの手を出すのも同じである。これは3n+1人に一般化される。
5人の場合と3人の場合を考えてみると、0だけ特殊(0だけ不利)になるので公平ではなくなる。しかし不公平さは極小さいものに抑えられてはいる。
- 160 :名無しなのに合格:2018/04/28(土) 15:24:38.77 ID:5StXh0v2.net
- 演習編2
15。女子のうち1人だけを固定する。他の人々は区別する必要がない。
(1)3/91。
(2)0<<b<<c≦13⇔1<b<c-1≦12⇔1≦b-1<c-2≦11。
11C2=55。1-55/7×13=36/91。
(3)x+y+z=12、x≦5、y≦5、z≦5
⇔a+b+c=3、0≦a,b,a≦5。∴ 3H3=10。10/91。
16二人→三人A→三人Bの順に考えて、
6/7 ×8/20=12/35。
17。経路全てが同様に確からしいのではない。
二ヶ所選べる限りにおいて同様に確からしい。
その観点から場合分け。58/256=29/128。
18
(1)場合分けをして、14/36=7/18。
(2)余事象。
n回の移動でEFD⇔EFEF…またはEFEF…D
(1/3)^(n-1)+(1/3)^(n-1)=2×(1/3)^(n-1)。
1/2 -(1/3)^(n-1)。
19
回転によって同一視出来る箇所を調べる。
4通りに場合分け出来る。
4×6×66+6×4×4×28=24×178。
(24×178)/(64×225)=89/(4×75)=89/300。
- 161 :名無しなのに合格:2018/04/28(土) 18:12:15.13 ID:5StXh0v2.net
- 演習編。
20
(1)二項分布の公式と同値変形で示せる。
(2)(1)の拡張。同値変形で示せる。
(3)(2)を利用すれば示せる。
21
無限等比級数に持ち込まず、収束すると仮定しての極限値計算で済ませる。
(1)二回戦で勝つか負けるかで場合分け。
繰り返しの構造を把握する→漸化式を立てる時と同じ思考法。
(2)一回戦でAが負けた場合を考える。
繰り返しの構造を把握する。
22確率漸化式の原則通り。
(1)どれかのコインは奇数回ひっくり返したことになるから裏になってしまう。
(2)○○○(n+1)=○○○(n)+○××(n)という漸化式。
(3)試行回数を増やすと初期条件の影響が減り、対等性が重要になってくる。
23確率漸化式。原則通り。
(1)●○○と●●○に場合を分けて下準備をしておく。重要。●●●と○○○は以降の推移が決定してしまう。
(2)辺々加える。
(3)辺々引く。
そのあと足して2で割る、引いて2で割る定石。
階差数列。極限値。ポリアの壺の問題。
24期待値。
最大値の原理を使う。期待値の定義に従って計算。
- 162 :名無しなのに合格:2018/04/28(土) 19:56:48.39 ID:5StXh0v2.net
- 演習編2
25
交点が存在する条件。c≦aかつd≧b。S=bc。
条件を満たす場合を立式して Σすると100/81。
26
X=2となる確率を求める。
場合分け。2/36 ×26/36 +34/36 ×2/36
=120/1296=5/54。X=3,4,5,6も同じ確率。
X=1となる確率は29/54。期待値は129/54=43/18
27
文字数が多くなる。処理能力の問題。
文字消去せずに必要条件で絞れる。
(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)を当てはめてみる。
不等式から等式の条件が導ける。
10z≦5x≦6y≦10z すなわち等号が成り立つことになる。
グー3/7、チョキ5/14、パー3/14。
実はどういう組合せでも確定する。
常に自分が勝てる戦略は存在しない。
有利な歩数の確率を最も下げておくという意外性。
自分にとって有利な戦術を相手に見破られると不利になる。研究の確認は有益。
28。色だけに着目して場合分け。
(1)一色○○○3通り。
二色○○△6×9=54通り。
三色○△◽27通り。
一点6×3+2×3×3=36。
二点0。三点6。零点42。
(2)54/84=9/14。
別解。(2)三個の球を順に取り出すと考えて良い。
確率変数を、色数字とも他と異なる場合は1、同じものを含む場合は0に設定する。
3個×1点× 4C2/8C2=18/28=9/14。
- 163 :名無しなのに合格:2018/04/28(土) 22:29:24.70 ID:5StXh0v2.net
- 演習3
1
P(B/A)=P(B)かどうかを調べる。
Y=aとなる事象をA、X+Z=7となる事象をBとする。
P(B)=1/2 ×6/36=1/12。
Yが偶数の時、X+Z=2X≠7よりP(B/A)=0。
P(B/A)=0≠P(B)より、独立ではない。
Yが奇数の時、P(B/A)=6/36=1/6≠P(B)よりこの場合も独立ではない。
従ってaがどのような値の時でも独立ではない。
2独立試行。
(1)(6,0),(0,6),(3,3)のどれかであるから、22/64=11/32。
(2)A,Eのみを移動する。樹形図。
Cを通らない(3/4)^3=27/64。
Cを通らないでAに戻る(8+2+2+2)/64=14/64。
14/27。
別解。書き込み方式も良い。
3
(1)2(n-k)/n(n-1)。
(2)P(B/A)=1/k。
4
(1)5/9。
(2)P(B)=(1+15+75)/216=91/216。P(B/A)=60/216
∴ 60/91。
5
P(B/A)=P(A∩B)/P(A)=
0.001×0.98/(0.001×0.98+0.999×0.08)
=98/(98+7992)=49/4045。1.2%。
6。最大値の確率。最小値の確率。E1+E2=7。
足して7になるペアが作れる。
- 164 :名無しなのに合格:2018/04/28(土) 23:16:00.59 ID:5StXh0v2.net
- 演習3
7
(1)必要条件で絞り込む。独立である条件。
m=1,2,3,4を調べると、m= 3。
11,10,01,00を全て調べてm= 3。
(2)2m(9-m)/9。
8
(1)全体で何枚一致するか考え、対等性から求める。
a(k)=k/n。
(2)E(x)=np=n× 1/n=1。
9
(1)EX=20/6=10/3。V=70/6 -100/9=5/9。
(2)EY=10/6=5/3。捌くのがなかなか大変。
(1,-1),(2,1)。
10。二項分布B(n,1/3)。
(1)E=-n/3。8n/9。
(2)分散の公式。8n/9 +n^2/9。
(3)yについても同様の計算をして、π(5n^2+13n)/9。
k^2 ×nCkを使うのは、二項係数の若干高度なテクニックが必要になる。
11
(1)幾何学的な意味を考える。中点と端点までの距離。
(2)(1)の利用。全てLまたはlとすると全て異なることができないので矛盾する。鳩の巣原理。
(3)(2)より、V=E'-E^2≦E'<(L- I)^2/4。
- 165 :名無しなのに合格:2018/04/30(月) 01:46:58.96 ID:icypWpk5.net
- 運用編1
1
仮定も結論も変形する。
証明問題の時は逆も言えないか関心を持つ。
2
2倍ならば一文字でOK。平方ならば二文字が良い。
同値性の威力。
解答は言い換えの連続。特に最初の言い換えが重要。
全ての→最小。存在する→最大。
3
最小値を求める。候補が少数ならば全て調べた方が早い。
複数の候補のままで考える手法。
4
任意と存在を式で表してから候補の比較をする。
- 166 :名無しなのに合格:2018/04/30(月) 01:58:04.31 ID:icypWpk5.net
- 運用編2
1
式の視覚化。適切なものを採用する選択眼。
固定放物線と傾きが変わる直線に分離する。
ポイント:一方は一次式にする。文字定数は分離する。
2
一次式を分離する。グラフの利用。
有益な情報がその形状に反映されている。情報力。
可能な限り正確に描く。
解と係数の関係。
同値性が保たれている場合は吟味は必要ない。
3
同値性は難しい。例をなるべく多く知っておく。
- 167 :名無しなのに合格:2018/04/30(月) 02:05:29.33 ID:icypWpk5.net
- 運用編3
Aの否定はA以外ということ。メルセンヌ数。
1
541。1は素数でも合成数でもない。
無理数。互いに素。
2
pならば(qまたはr)⇔pかつ¬qならばr
または、を解消すること。
3
実験をする。これは常識にしておく。対偶の効用。
- 168 :名無しなのに合格:2018/04/30(月) 02:22:56.42 ID:icypWpk5.net
- 運用編4
対偶の必要性のためにナンセンスなものが真に成り得る。
1
同じではない。
2
座標平面上に視覚化される。
3
一文字固定して座標平面。
4
カンマの位置で意味が変わる。
運用編5
実数であることを前提にすると同値な命題になる。
1
解の配置。対称式。加減法の原理。
2
一般原理。
運用編6
代入法の原理。一言では指摘しにくい→難しさがこの辺にある?
存在条件に結び付けないととんでもないことになる。
論理的に間違った議論をする悪い癖がつく。
存在条件すなわち文字の消去。
- 169 :名無しなのに合格:2018/05/01(火) 04:51:22.61 ID:PiWCTd1S.net
- 運用編7
1
xの存在条件。場合分け。
2
和と差。
3
存在条件。
4
成分を設定する。存在条件。
別解。まとめて扱う。
運用編8
自然流。逆手流。存在条件。
値域・軌跡・領域。範囲。
写像や変換。
自然流に拘ると非常に難しくなる。
自然流は網羅式、逆手流は候補者のみ。
- 170 :名無しなのに合格:2018/05/01(火) 05:03:17.44 ID:PiWCTd1S.net
- 運用編9
1
存在条件に帰着する逆手流。
2
共役。
3
対称式。解と係数の関係。
運用編10
1
一部を使う場合、どれを使うか。
必要条件で絞り十分性を確認する。
2
必要性だけで十分な問題。
うまい一部を使う。
対偶。
- 171 :名無しなのに合格:2018/05/01(火) 05:13:56.46 ID:PiWCTd1S.net
- 運用編11
1
ベクトル。
2
うまい二本を選ぶ。極限。
3
計算自体はかなり大変。
運用編12
適当→任意、適当は固定。
任意→適当、適当は変化させても良い。
1
必要性。
2
任意と適当の複合形。
どんなnについてもx,y,zをうまく選べば。
3
次数下げ。
4
積分自体はテーマではない。
係数比較。
- 172 :名無しなのに合格:2018/05/02(水) 07:45:36.85 ID:psB6fJXO.net
- 運用編13
1
将棋倒し。
2
ある値以上ならば成り立つ、という場合。
運用編14
1
ピョンピョン飛んでから戻る。
2
二変数の場合、平面的に動く。
運用編15
1
取り得る値の範囲。文字の存在条件。
2
同次式。
3
予選決勝法。
4
一文字消去。消す文字によって作業量は変わる。
5
予選決勝法の原理の確認。
- 173 :名無しなのに合格:2018/05/02(水) 08:26:57.92 ID:tjXPKPN7.net
- 運用編15
1。文字の存在条件。
2。同次式を作る。
3。予選決勝法。
4。一文字消去。どれを消すか。
5。予選決勝法の原理の確認。
運用編16
基本となる定理。
1。定石と秘策。論理構造。
2。秘策の応用。
運用編17
別解。
重大な論理的欠陥。定理が必要。
凸性と重心。
運用編18
1。最大値の最小値。
2。平均値の場合を考える。
3。チェビシェフの多項式。
4。置き換えをする。
運用編19
1。排反でない場合分けでもOKな場合。
2。有り得ない場合も考える場合分け。
3。場合分けが不要になる場合。
4。次数に関する場合分けを回避。三次以下と置く。
5。場合分けをしたが、後から条件が一つにまとめられる場合。
運用編20
1。一方通行で。
2。不等号を消すための写像。
3。適切な写像を定める。
4。互除法。背理法。
- 174 :名無しなのに合格:2018/05/02(水) 08:36:18.90 ID:tjXPKPN7.net
- はじめに
1
縛り首と答える。
当たりならば火炙りになる。→外れということ。
外れならば縛り首になる。→当たりということ。
矛盾が生じる。
2
ウソつきに聞く yesならば逆を選ぶ noならばそちらを選ぶ
ホントつきに聞く yesならば逆を選ぶ noならばそちらを選ぶ
どちらでも同じ質問で正しい情報が得られる。
3
対偶を考えると自明である。
4
長方形を一辺1mの正方形50個に分割すると、少なくとも2枚のコインはその分割された正方形のうちの一つの中にあることになる。一つの正方形の内部の二点間の最大距離は対角線の√2であるから題意は示された。
ディリクレの引き出し論法。部屋割り論法。鳩の巣原理。
- 175 :名無しなのに合格:2018/05/02(水) 12:18:17.49 ID:tjXPKPN7.net
- §1
全ての。反例。
〜は真である。〜が成り立つ。
仮定が偽の場合、その命題は真になる。
p→q ⇔ ¬p∩q
対偶法。
任意と適当が同時に現れる命題。
1。同値変形。
2。対偶。
3。代入してみる。
4。有限集合。否定。
5。必要条件。十分条件。図を描いてみる。
6。集合を考える。
1。命題の真偽。
2。集合の包含で考える。
3。任意と適当の複合形。
4。適当と任意。
5。集合の包含。
- 176 :名無しなのに合格:2018/05/02(水) 12:29:00.53 ID:tjXPKPN7.net
- §2
背理法。否定を否定して肯定にする。
対偶法。大前提として、命題の外側に位置させる。
数学的帰納法。
同値変形。
欠陥論法。存在条件に帰着させて議論する手法を逆手流
1。背理法。2。背理法。3。背理法。
4。対偶法。5。対偶法。6。背理法。7。対偶法。
8。対偶法。
9。帰納法。
10。欠陥論法。帰納法で証明することはおそらく不可能。
- 177 :名無しなのに合格:2018/05/02(水) 12:48:53.51 ID:tjXPKPN7.net
- 手筋1
1。手順を遡る。2。最小のものを定めておく。
手筋2
3。一個に絞って取り出す。条件を弱める。4。強める。
手筋3
5。極端な場合を考える。6。等号が成立するとき。
手筋4
7。視覚化する。8。グラフを使う。
手筋5
9。部屋を適切に用意する。10。4部屋作る。
11。可能性のある値を列挙しておく。
手筋6
12。中間値の定理。13。不等式の意味を考える。
手筋7
14。不変量を探し出す。15。タイルの基本形。
手筋8
16。全て書いてみる。17。先手必勝。厳密には帰納法。
1。一つ少ない部屋を作っておく。2。N部屋用意する。
3。級数を構成する。4。背景。
- 178 :名無しなのに合格:2018/05/02(水) 13:50:09.81 ID:tjXPKPN7.net
- §2
1。行った船で帰らなくとも良い。
2。鳩の巣原理。
3。とりあえず必要条件で。
4。中間値の定理。定石。
5。部屋割り論法。境界にナーバスにならなくとも良い。
6。特定できないという発言がキーになる。
7。グラフ。
8。少なくとも、なので否定を取ってみる。
9。場合を分けてコツコツと。
10。総当たり戦。極端な場合を考えよ。
11。部屋割り論法。
12。グラフ。背理法。最大値の設定。
13。偶奇性。指標の設定。背理法。
14。特別な場合に帰着させる。
15。状態量を2通りに表す。複素数。
- 179 :名無しなのに合格:2018/05/02(水) 13:58:41.35 ID:tjXPKPN7.net
- §2
16。凸多角形。エズテ・クラインの定理。
17。偶奇性。背理法。
18。部屋割り論法。
19。背理法。平均値。実数にすると難しい。
20。偶奇性。背理法。
21。グラフで表せる。図示できる。
22。極端な場合を考える。最小値を設定する。背理法。
23。整列する。小さい順に並べる。部屋割り論法。
24。部屋割り論法の心。一般化される。
25。部屋割り論法。部屋の作り方に工夫が要る。帰納法。
- 180 :名無しなのに合格:2018/05/03(木) 03:07:34.63 ID:r6JbTVTs.net
- §1
1。数直線上の距離と見做す。横方向の距離。
2。縦方向の距離。
3。点と直線の距離。単位ベクトルの内積。
コーシー・シュワルツの不等式。
4。座標平面上の二点間の距離。折れ線は真っ直ぐに伸ばす。
5。距離の平方。
6。根軸。方冪の定理。
§2
1。分数式は傾きと見る。
2。傾きの逆数。
3。傾きから増加量へ。
類題。分母を払う。
4。単位円。三角形の重心。
5。加重平均。天秤の原理。食塩水の問題。
- 181 :名無しなのに合格:2018/05/03(木) 03:19:53.94 ID:r6JbTVTs.net
- §3
1。内積と見做す。点と直線の距離の公式。
2。極と極線。
3。前問と同様。
4。ベクトルの和と見る。
5。外心と重心が一致する三角形。正三角形。
6。4個の場合は菱形。
逆手流。存在条件の追求。
§4
1。自然に追求する。順手流。
2。ベクトルの和と見て図示。
3。座標系と見なせば自然に見えてくる。
4。条件から円のパラメーター表示と分かる。
回転・拡大の基本。
5。パラメーター表示。
二変数関数。一文字固定。
- 182 :名無しなのに合格:2018/05/04(金) 02:05:17.16 ID:+6SVJ8qY.net
- §5
1。不等式で領域を定める。平行四辺形。線形計画法。
2。等式で一文字消去。不等式で領域を定める。線形計画法。
3。距離に結びつける。
4。y, z が存在するためのxの条件を求める。
5。(1)他の文字の存在条件。(2)xの2次方程式を作り、xの存在条件。(3)解と係数の関係。(4)対称式の利用。
6。2解をを設定し、座標平面上の存在領域。
陰関数。陽関数。5。は陰関数の博覧会のような問題。
§6
1。一次式以下のものを分離する。
2。前問と同様。
3。前問と同様。
4。円の一部と直線の交点の問題に帰着する。
5。直線群と円との交点の問題。
6。直交2直線の交点の軌跡。円の一部。
7。定数分離。グラフで考える。
8。危険だが一次式を分離。数3で定数分離も安心。
- 183 :名無しなのに合格:2018/05/05(土) 00:06:21.42 ID:6RvRoiqa.net
- §7
1。最も高い所を保持したグラフになる。対称性。
2。最も高い所を繋ぎ合せて行く。通過領域。
交点ははっきりさせておかなければならない。
3。定義域の幅。値域の幅。
4。頂点のy座標。
5。適当な→任意の。任意の→適当な。
参考問題。zを固定する。傾きと見做せる。
§8
1。グラフで考える。関数値の和。
2。三次関数のグラフは点対称。定数分離。
変曲点を通す。
3。解と係数の関係。
4。f^2(x)=x。図形的な意味。線対称。不動点に着目する。
5。f^2(x)=f(x)。図形的な意味。グラフのイメージを持つ。
図で理解できる問題。
- 184 :名無しなのに合格:2018/05/05(土) 00:28:07.38 ID:6RvRoiqa.net
- §9
1。複素数の回転を使う逆手流。自然流。
2。相似拡大の一般論。
3。逆手流。
4。鏡映。複素数平面。逆手流。
5。対称式。回転してみると放物線と分かる。
物理的に考えると速度ベクトル、加速度ベクトルと見做せる。落下運動。
6。拡大→平行移動か平行移動→拡大か。
§10
1。続き。拡大と平行移動の順番。
2。拡大縮小と平行移動と点対称移動と線対称移動。
3。変換で説明する。同じ直線上の線分比を変えない。
交点→交点に移す。接点→接点に移す。
面積はk倍になる。
横a倍、縦1/a 倍の変換で、各点は動くが全体的には不動曲線になる。
接点は必ず線分の中点。面積は接点の位置によらず一定値になる。
4。√b:√a。
- 185 :名無しなのに合格:2018/05/05(土) 00:59:50.29 ID:6RvRoiqa.net
- §11
1。直線束。
2。交点を持つことを確かめておく必要がある。根軸。
3。係数の和が1になるように変形する。分点の公式。
共通接線。縦線をそのままの比に分ける。
4。曲線束。x^2とy^2の係数を等しくする。
5。 2直線の式を掛け合わせる。y^2を消去する。
パラメーターについて整理すると定点を通る事が分かる。
6。2つの極値点を通る直線の方程式。
3つの極値点を通る直線の方程式。
参考問題。全ての変曲点を通る直線の方程式。
§12
1。放物線の相似。
2。放物線の相似。内分点になることに注意。
3。カバリエリの原理。グラフの引き算。
4。類題。√3:√2。グラフの引き算。カバリエリの原理。
5。グラフの引き算。
β関数と面積。
- 186 :名無しなのに合格:2018/05/05(土) 21:46:49.57 ID:TfsrkW5N.net
- §13
1。放冪の定理。yの差の公式。
2。放冪の定理。
3。yの差の公式。
4。放物線上の三点の三角形の面積。
5。放冪の定理。方冪の定理。
別解。曲線束。
6。yの差の公式。内分比。
§14
1。ア:イ=1:2。三次関数のyの差の公式。
2。yの差の公式。β関数。
3。yの差の公式。単純な関係。
4。yの差の公式。
5。差の関数。変曲点は変曲点に移る。面積は等しい。
6。接線の傾きの絶対値。極限。
- 187 :名無しなのに合格:2018/05/05(土) 23:38:38.77 ID:TfsrkW5N.net
- §15
全て方法は同じ。類題。
1。包絡線。平方完成。2。包絡線。平方完成。
3。包絡線。平方完成。接線群。
4。包絡線。平方完成。
5。判別式。包絡線。6。包絡線。判別式。
§16
全て方法は同じ。類題。
元の曲線+変曲点における接線+漸近線+複接線
1。分割の基本。
2。凸性。答えではなく方法と確認の仕方を覚える。
3。区切って数えるだけ。慣れるまで訓練する。
4。変曲点における接線。
5。偽である。
§17
1。平方完成。式の意味を考える。
2。同値変形すると意味がはっきりする。重要。解の配置。
3。少なくともの意味。分類する。
4。言い換え。平方完成。包絡線。細かい所に注意する。
言ってみれば「定義に従って考えずに解く」
ことができるように。
5。包絡線。他の解法も試すべき。解法の幅を広げることも大事。
6。包絡線。円と直線の共有点の問題に帰着される。
- 188 :名無しなのに合格:2018/05/05(土) 23:49:07.66 ID:TfsrkW5N.net
- 準公式のまとめ
1。数直線上の距離と見做せる。
2。縦方向の距離と見做せる。
3。距離の公式。
4。方冪の値。
5。点と曲線の距離。接線までの距離。
6。曲線と曲線の距離。共通法線を考える。重要。
7。中点。分点。
8。加重重心。普通の重心。
9。傾きを表式。
10。内積と見做せる式。
11。内積と直線。反転。
12。極線。内積。接線。
13。正領域と負領域。
14。単位ベクトルと見做せる。
15。線型独立なベクトル。
16。直線や円のパラメーター表示。
- 189 :名無しなのに合格:2018/05/06(日) 00:07:58.67 ID:7az7pPyk.net
- 1。微分して増減を調べるのが基本。
2。一方を固定する。重要。一文字固定法。
3。関係式が一文字について解ける場合、解いて他の式に代入する。
4。逆手流。文字の存在条件。
5。実数xの存在条件。不等式による存在条件。
6。共有点を持つ条件。
7。線型計画法。線分上・凸多角形上では端点だけ調べればよい。
8。 2文字の存在条件は座標平面上で。
9。2解の存在条件。座標平面で。
10。実数条件のバリエーションを覚えておく。
和と差で表すか、対称式で表す。
11。文字定数の分離。
12。値域の幅。
13。最大値を辿って、最大値のグラフを描く。
14。平行移動する。帯状になる。
15。簡略化される。対称な解を持つ。
16。y=xとy=f(y)との交点。
- 190 :名無しなのに合格:2018/05/06(日) 00:45:09.08 ID:7az7pPyk.net
- 1。平行移動の式。2。線対称な図形の式。
3。点対称な図形の式。4。回転移動。鏡映変換。
5。引き伸ばし変換の公式。
6。比は変わらない。接点→接点。
交点→交点。面積はab倍。
7。曲線束。8。yの差の公式。二次関数。
9。yの差の公式。三次関数。10。放冪の定理。
1。放物線の割線の傾きと切片の公式。
2。放物線の相似。
3。三次関数のグラフの特徴。
4。包絡点。5。包絡線。6。包絡線に慣れる。
7。接線の本数。重要。
8。解の配置の図示。重要。
- 191 :名無しなのに合格:2018/05/07(月) 01:18:51.28 ID:jOgqgA+j.net
- 発展問題演習
1
a+bを固定する。
=kと置く。
kを動かす。
2
束に似た考え方で解ける。
円の方程式になるようにx^2とy^2の係数を合わせる。
3
極線。
計算要らず。
4
極線。
包絡線。
5
二文字固定。
cの一次関数と見る。
bの一次関数と見る。
aの二次関数になる。
6
格子点。
正方形の中の正方形の中の正方形。
7
(1)場合分けをしてから図示をする。
(2)パラメーターを設定する。
同値変形。
8
同値変形による言い換え。
論理構造。
9
一文字消去。
逆手流。
10
線型計画法。
原題。代入してu, vの不等式を図示して面積を求める。
- 192 :名無しなのに合格:2018/05/07(月) 01:36:35.99 ID:jOgqgA+j.net
- 11
定数aを分離する。
整数に拘らずに実数として考えると整数の条件が出てきた。出題者を信頼する。
12
(1)(2)(3)定数aを分離する。場合分け。
13
途中まではパラメーターを設定して同値変形していけばよい。包絡線の問題。相似変換。
14
値域の幅。
15
多項式の割り算。場合分け。中間値の定理。
16
線対称な図形を表す方程式の解について考える。
k>2。
別解。図形的に読み取れることを踏まえた上で、
9次方程式を解いてもよい。
17
§11の6の類題。背理法。三次関数の性質。
18
yの差の公式。場合分け。
19
yの差の公式。ゴールから戻ってくるように式を変形する。
20
引ける接線の本数と引ける領域。
変曲点で分ける。対称性の確認。
- 193 :名無しなのに合格:2018/05/08(火) 01:01:19.84 ID:a8aNvsS+.net
- 第2部 手筋・常識・落とし穴
1。limは和差積商に関して分配出来る←収束するならば。収束する項を作る。
2。収束しないあるいは収束する保証が無い場合は分配出来ない。収束する項を作る。
3。全て同時に極限を取る。自然対数の底の定義はしっかり覚える。
4。合成関数の極限の移動。f(g(x))で fが連続関数ならばOK。
logを取る場面はしばしばあるのでlogの連続性は重要。
5。自然対数の底の場合、fは連続関数ではないので移動出来ない。
6。分母分子が共に0に収束する場合、商の極限は様々である。重要。
7。発散の強さ比べ。オーダー。
8。log<ベキ<指数<階乗。埃は無視しよう。
9。n^(1/n)について。logx/xという関数に帰着する。重要。
- 194 :名無しなのに合格:2018/05/08(火) 01:16:46.01 ID:a8aNvsS+.net
- 10。9の応用。2^4=4^2。e^π>π^e。99^100>100^99。
11。二項定理と挟み撃ち。> 1と< 1で場合分け。
12。二項定理と挟み撃ち。
13。実数になっても変わらない。重要。挟み撃ち。
14。二項定理と挟み撃ち。ワンパターン。
15。二項定理と挟み撃ち。途中で切るのがポイント。
実数になっても変わらない。
16。14は12と同様の手法でも解決する。二項定理と挟み撃ち。
17。自然対数の底の定義に出てくる数列は増加数列である。微分法の利用。
18。17は二項定理だけで解ける。不等式を作る。比べる。
19。17は相加相乗平均の不等式で一発で出来る。
20。17の数列は増加列だが上に有界である。二項定理と不等式。<3であることが簡単に分かる。重要。
21。17はeに収束する。上に有界な増加数列は収束するという高校教科書には無い定理を用いる。重要。ネイピア数。
22。指数関数とベキ関数の強さ比べでも二項定理を用いる。
23。うまい関数を設定して微分法。
24。テイラー展開を念頭に置いて不等式を作り、挟み撃ち。
25。指数関数と対数関数の極限では二項定理の利用が基本である。重要。
- 195 :名無しなのに合格:2018/05/08(火) 01:36:57.11 ID:a8aNvsS+.net
- 25。23と同様にも出来る。
26。同じベキ関数同士での強さ比べ。高位の無限大。高位の無限小。
27。収束する項を作る。埃を無視する変形をする。一番強い項で括る。
28。一番強い項で括れば出来る。厳密には不等式を作って挟み撃ち。
29。三角関数は、テイラー展開で身近な関数に近似する。
30。sin<x<tanをグラフで視覚的に押さえる。
31。log≦x-1<x<x+1≦e をグラフで視覚的に押さえる。
32。31の証明。微分法で。この不等式は様々な不等式の源泉。
33。31以外のlogの有名不等式。
34。cosを放物線で近似。二次近似。曲率円は入試問題として適度な難しさ。
35。分数関数を傾きと見てグラフの概略を押さえる。
36。分数関数を傾きと見て、sin/xが 0<x≦πで減少関数であることを掴む。
37。36の類題。分数関数を傾きと見る。
38。この無限級数は収束しない。振動する。
39。この級数は無限大に発散する。
40。39の級数はlognより大きいので発散する。
41。オイラーの定数。0.5772。無理数か有理数か不明の数。
42。無限級数が収束すればa(n)は収束するが、a(n)が収束しても無限級数が収束するとは限らない。重要。
- 196 :名無しなのに合格:2018/05/08(火) 01:52:25.54 ID:a8aNvsS+.net
- 43。ζ関数。π^2/6に収束する。
44。正項級数は項の順序移動が自由。交項級数は項の順序移動をしてはならない。
45。収束発散を無視して非合法な変形しても正しい解が得られる場合がある。log2に収束する級数。
46。45と同様に非合法な変形。π/4に収束する級数。
47。連続性。左側極限。右側極限。不連続に定義する場合。
48。連続であるが微分不可能な関数。尖っている場合。グラフが滑らかな場合は大抵OKだが、滑らかであっても微分可能でない場合がある。重要。
49。連続でなければ微分不可能。微分可能であれば連続である。
50。連続関数であるが微分不可能な関数の例。折れ線以外の例。無限に振動する関数。全実数で微分可能な関数であるがその導関数は連続ではない例。
この辺は知識事項に属する。
- 197 :名無しなのに合格:2018/05/08(火) 19:19:50.66 ID:a8aNvsS+.net
- 51。ロルの定理。図形的には当たり前のこと。出発点。
52。平均値の定理。ラグランジュ。接線の傾き。
53。平均値の定理。コーシー。パラメーター表示された曲線の接線の傾き。
54。平均値の定理とは(b-a)を取り出す定理。因数分解する定理。
55。54の具体例。取り出す時は平均値の定理を使う。
56。不定形の極限に対してコーシーの平均値の定理を用いる。
57。ロピタルの定理。コーシーの平均値の定理の応用。
58。階差数列。
59。微分と階差数列。増減。凹凸。
60。微分係数の定義の応用として極限値を求める。
61。極値を取るが f'= 0とは限らない。尖っている場合。
62。f'=0であるが 極値とは限らない。停留する場合。
63。凸性と傾きと分数関数。
64。凸関数の不等式。重要。図形的把握。
65。相加相乗平均の不等式の図解。logの凸性を利用する。
66。p乗平均。まずは定義を押さえる。凸関数の利用。
67。微分は比の極限。まずは比の世界。身近に思える。
68。合成関数の微分。分数のように約分が出来る。その逆も可。
69。68の基になる公式。一般論。どんどん微分を掛けていくイメージ。
- 198 :名無しなのに合格:2018/05/08(火) 19:38:24.62 ID:a8aNvsS+.net
- 70。積の微分法。二次の無限小を無視する。重要。
71。3個以上の積に対しても同様の公式が成り立つ。3次以上の無限小を無視する。
72。導関数の記法について。場合に応じて使い分ける。
73。陰関数の微分は合成関数の微分と同じ。
74。逆関数の微分。
75。逆関数の二階微分。重要。
76。パラメーター表示の微分。二階微分のやり方に要注意。
77。サイクロイド。有名曲線。
78。逆関数のグラフはy=xに関して線対称。
79。y=xに関して線対称かつ単調増加または単調減少の時、逆関数。対称なだけでは駄目。
80。arctanのグラフと微分。重要。
81。arcsinのグラフと微分。重要。
82。多価関数。一価関数。
83。陰関数。
84。陰関数かつ多価関数の微分は積の微分法、合成関数の微分法。
85。84の応用。楕円の接線。
86。関数関係が無い等式は微分できない。重要。
87。対数微分法。
88。87の応用。分数関数は商の微分法ではなく対数微分法の方が良い場合がある。重要。
- 199 :名無しなのに合格:2018/05/08(火) 20:03:59.16 ID:a8aNvsS+.net
- 89。微分の前に概形を把握する。重要。関数の和。
90。関数の積。周期的。巻き込む感じ。
91。関数の積。傾きと見る。重要。
92。逆数にする時は点を幾つかプロットする。重要。
93。axは1/a 倍の拡大変換(x軸方向に1/a 倍する)。
x+aは平行移動(x軸方向に-aだけ移動する)。
94。x> 0の時、x座標は互いに他の逆数。y座標は等しい。x< 0の時も同様。
95。分母= 0の点とx→±∞の点を調べる。関数の和も利用する。
96。分数関数の極値を求める公式。
97。接する⇔関数値が等しい且つ導関数値が等しい。多項式の時にはf-gが(x-α)^2で割り切れる(重解条件)。二次曲線同士の場合(一方が直線でない場合)に要注意。重要。
98。接線の本数について直感的に把握する。元の曲線・変曲点における接線・漸近線・複接線の4つがポイント。
99。不等式の証明の基本。「どんどん微分」で殆ど解決する。
100。積の形にはlogが有効。重要。
101。文字定数の分離。重要。
102。完全分離「定数のみを分離)も良いが、一次式を分離しても簡単な場合もある。
103。不等式に対しても文字定数の分離は有効。
- 200 :名無しなのに合格:2018/05/09(水) 00:41:03.54 ID:cfzpgMOz.net
- 104。不定積分は微分の逆。慣れてしまいたい形。
105。一次式による変換。普通に定数倍するだけ。
106。特殊基本関数。
107。積の積分の公式。
108。107の一般化。
109。積の積分の公式。
110。難しい不定積分。図形的な意味付け。
111。置換積分の置き換え方。
112。カテナリー。2つの公式。
113。双曲線関数。逆関数に慣れておく。
114。微分は可能だが不定積分は不可能な関数を知っておく。楕円関数。
115。四分円の面積と見做せる積分。
116。半円の面積と見做せる積分。
117。対称性による等式。
118。117の具体例。重要。頻出。
119。積分値が0になる場合。慣れておく。重要でもない。
120。[-π,π] とすると全て0になる。重要。m=nならばπになる。
- 201 :名無しなのに合格:2018/05/09(水) 01:08:06.96 ID:cfzpgMOz.net
- 121。偶関数と奇関数。
122。偶±偶=偶。奇±奇=奇。偶×偶=偶。奇×奇=偶。偶×奇=奇。偶±奇はどちらでもない。重要。
123。偶関数の関数は偶関数。y軸に関して折り返した関数と元の関数の和は偶関数、差は奇関数。
124。ハイパボリックコサインは偶関数。ハイパボリックサインは奇関数。cosの関数は偶関数。x^2の関数は偶関数。
125。どんな関数でも [足して2で割る]+ [引いて2で割る]と表せるので偶関数と奇関数の和の形に表せることになる。
126。偶関数の微分は奇関数。奇関数の微分は偶関数。
偶関数の積分は奇関数+定数。奇関数の積分は偶関数。
127。-a≦x≦aの積分は、偶関数ならば半区間の値の 2倍、奇関数ならば0になる。重要。
128。偶関数と奇関数を平行移動させた時の積分。
129。128の発展形。グラフに関連付けて理解する。
130。定積分の難問の背景。対称性。
131。逆関数の積分と元の関数の積分のどちらが求めやすいか考える。
132。ヤングの不等式。増加する連続関数。
133。定積分の漸化式は部分積分法。但しtanは例外。
134。β関数。整関数の面積計算で出てくる。
135。β関数の応用。
136。134の応用。x= sintと置く。重要。
137。134の応用。x^2= Xと置く。sin^2=Xと置く。
- 202 :名無しなのに合格:2018/05/09(水) 18:34:22.78 ID:cfzpgMOz.net
- 138。定積分の漸化式の応用。結果を覚えておく。重要
139。limΣf(x)Δx→∫f(x)dx、定積分のココロ。重要。
定積分は足し算。または定積分は掛け算。
140。積分は微分の逆演算であるという真に驚くべき発見
141。区分求積法。無数の長方形の和に近似する。重要。
142。与えられた形から区分求積法を連想できるまでには一定量の練習が必要。
143。「似た形を見たら第一感は区分求積法」としておく。
144。部分和を求めるテクニック。→そのあと区分求積法。
145。一個や二個のズレは気にしない。p個飛ばし。無限積はlogで和にする。
146。近くの値は殆ど等しいのでp個飛ばしでは正確に1/p 倍になる。重要。
147。不均一な分割。リーマン積分。Δx→0ならばOK。自由な感じ。パラメーター積分の時に使う考え方。
148。sinカーブの山一個分で積分することを考える。すると平均として2/π 倍になる。重要。厳密には挟み撃ち。
149。極方程式。扇形で近似する。重要。
150。パラメーター積分。置換積分。重要。
151。パラメーター積分。1つにまとまる。重要。
152。パラメーター積分。強力な公式。重要。
パラメーター積分は普通の積分と同様、面積に正負があることに注意。
- 203 :名無しなのに合格:2018/05/09(水) 19:02:40.21 ID:cfzpgMOz.net
- 152。回転体の求積法。
153。回転軸を跨ぐ場合は折り返してから。
154。刳り抜く場合は、外側の回転体-内側の回転体。
155。バウムクーヘン。文字には全て符号がある。
157。普通に積分してもバウムクーヘンと変わらない場合。
158。パラメーターの回転体。置換積分。
159。パラメーターの回転体におけるパラメーターの意味。1つにまとまる。重要。
160。斜回転体。重要。
161。結局「斜回転体は、x軸回転の回転体のcosθ倍」という簡単な公式が得られた。重要。
162。パップス・ギュルダンの定理。
回転体の体積=面積×重心の移動距離。
163。軸と平面が平行の時。回転軸lを平面に正射影した軸l'の回りの回転体になる。
164。軸と平面が平行でない時。回転軸を平面に正射影した軸の回りの回転体の体積のcosθ倍。θは軸と平面のなす角。
165。球の体積と表面積の関係。無限に小さい錐体で近似して良いということ。
166。球帽と球の簡単で綺麗な関係。体積と表面積。
167。円錐を転がす場合の回転体は球面の一部になる。重要。
168。167は半球から球帽を除いた立体になる。
重要。体積は166から簡単に求まる。
169。円錐の側面のみを底面の中心を通る底面上の軸の回りに回す。円周の回転体は球の一部と考える。
- 204 :名無しなのに合格:2018/05/10(木) 20:47:14.28 ID:4aEU+hv+.net
- 170。y軸に垂直に切ってその断面積にΔyをかけて積分する。
171。厚みの方向。断面と軸の方向が垂直でない場合、ΔhはΔyのcos倍になる。重要。短くなる。
172。回転放物面。体積は円柱の1/2倍。
173。円柱は弓形にならないように長方形に切る。
174。カバリエリの原理。重要。
175。正射影によって面積はcos倍になる。
176。円錐の側面積のcos倍は底面積。
177。正四面体の正射影。二面角のcos=1/3。
178。円柱の側面積の一部の求め方。ΣrΔθ×f(θ)。
179。上端が変数の積分の微分。
180。上端下端とも変数の関数の時の積分の微分。
181。被積分関数の中のパラメーターに注意。置き換えで消すか、∫の外に出してから積分する。
182。定積分=定数と置く。
183。面積の微分。
184。はみ出し削り論法。
185。183は図形的にではなく数式でも表せる。
- 205 :名無しなのに合格:2018/05/10(木) 21:00:40.54 ID:4aEU+hv+.net
- 186。面積の微分。平行移動タイプと回転タイプ。前者は1:1の時、後者は1:√2の時。前者は合同、後者は相似。答えの当たりをつけるのに有効。
187。不等式の証明を微分ではなく積分でやる。
188。三角不等式の応用。重要。変位≦距離。
189。増加関数との積の不等式。
190。189の応用。
191。コーシー・シュワルツの不等式。
192。191の積分版。証明も重要。
193。積分の平均値の定理。
194。解けない漸化式。極限はグラフで目に見える。
195。解けない漸化式の極限の求め方。平均値の定理と不等式を使う。
196。反復法。無理数は有理数で近似出来る。
197。補間法。有理数で無理数を近似出来る。
198。ニュートン法。収束の速度がとても速い。
199。級数を定積分で評価する。不等式を作って挟み撃ちというパターン。
- 206 :名無しなのに合格:2018/05/10(木) 21:13:29.41 ID:4aEU+hv+.net
- 展開の話。
整関数の性質。局所と大域。
マクローリン展開。
指数関数、対数関数、三角関数のマクローリン展開。
logはlog(x+1)としておく。x=0の回りで展開するため。
マクローリン展開を途中で切ると近似になる。
一次近似。誤差。誤差も任意の厳密さで評価できる。
ロルの定理。
マクローリン展開におけるn次式の誤差。
展開の次数を上げていけばいくほど元のグラフに(局所的に)近づく。
極限値計算への応用。
不等式の背景。
オーダーの理解。
eやπ、log2などへの理解。
不思議な定積分。
- 207 :名無しなのに合格:2018/05/10(木) 21:33:14.48 ID:4aEU+hv+.net
- グラフの概形。
覚えておくべきもの。
第1象限における円、放物線、正方形。アステロイド。
和と差で増やす。差はマイナスを足すこと。
カテナリー。
積と商で増やす。sinとの積のグラフの描き方。
商では逆数をイメージする。
傾きをイメージして増やす。
グラフの移動。逆手流。平行移動。引き伸ばし変換。
逆関数。
x軸対称であることを確認する。
x軸方向の「逆数をイメージ」で増やす。
偶関数や奇関数にピンと来るようにして増やす。
線対称や点対称を利用して増やす。
sinの関数はx=π/2 に関して対称になる。
分数関数は分母=0の点とx→±∞の振る舞いを調べる。
無理関数は根号を消去すると二次曲線になる場合がある。
根号の中身のグラフを勝手に描いてそれを見ながらプロットする。微分はその後で。
三次関数のグラフの常識。二重解の場合。三重解の場合。高位の無限小を無視した近似を活用する。
パラメーター曲線のグラフ。増減表を描くのがなかなか大変。対称性がある場合が多いのであらかじめ確認する。
進行方向右曲がりや進行方向左曲がりなどがdetで分かる。
サイクロイドやカージオイドは知っておく。
グラフのカルタ取り。慣れることの重要性。
- 208 :名無しなのに合格:2018/05/10(木) 22:31:19.60 ID:4aEU+hv+.net
- ティータイム。
三角級数展開。フーリエの発想。
フーリエ展開。最良近似。直交関数系。
これを使ってζ(2)=π^2/6が分かる。重要。
- 209 :名無しなのに合格:2018/05/11(金) 00:54:24.76 ID:BLS2zncG.net
- 実戦編1
不等式の両辺は、微分は出来ないが積分は出来る。
1。積と1との大小を考える。eの定義式。
2。補助の不等式を自分で用意するのが難。挟み撃ち。
大多数は1に近いので平均は1になる。
3。平均値の定理。文字の扱い。直感的には傾き。凸不等式。
4。凸性から相加相乗平均の不等式。帰納法。
5。p乗平均の不等式。重要。logを取る。
6。面積を想起する。
7。接線と割線で近似する。
8。偶関数。引き伸ばし変換。
9。平均値の定理。e^(-x)を掛ける。重要。
10。円周の下半分についての話。
11。マクローリン展開。 x=1/nを代入。挟み撃ち。
- 210 :名無しなのに合格:2018/05/11(金) 01:22:58.75 ID:BLS2zncG.net
- 12。被積分関数を比べるだけで良い。
13。差を取ってどれか1つの文字の関数と見る。
回転体の体積と円錐の体積の比較。
14。有名問題。ε-δ論法。
15。フーリエ。(1)実際に積分する。(2)は帰納法。(3)は(1)(2)を利用して証明する。
16。ヤングの不等式の有名問題。
17。コーシー・シュワルツの不等式。
18。偶関数。部分積分法。図示すると理解し易い。
19。標準正規分布。(2)うまく代入するものを選ぶ。(3)は若干解析のセンスが必要。
20。(2)では(1)を利用するが単純にはいかない。基礎がこなれている(使いこなせる)必要がある。
21。(1)絶対値は簡単に外れる。定符号なので。(2)不等式のセンス。挟み撃ち。区分求積法。
別解。
1。logを取っても良い。
14。積分の平均値の定理。自然な感じで行ける。
20。p乗平均の不等式の積分版。場合分け。挟み撃ちで示せる。
- 211 :名無しなのに合格:2018/05/11(金) 18:28:26.53 ID:BLS2zncG.net
- 実戦編2
絶対値付きの関数を積分する。パラメーターが付いていてそれに関する関数と見做す。その関数の最大値・最小値を考える問題。
面積と見做してその最小値が簡単に求められるように考察する。
1。場合分けをして絶対値を外して積分する。平凡な解法。
2。前問と同様の考察をして場合分けを減らす。交点のx座標で表すと良い。
3。絶対値を外した後、具体化し過ぎないように気をつける解法。パラメーターに関する不定積分を放っておく。重要。
4。今までのまとめ。一般論。重要。これも前問の具体化し過ぎない解法を使う。後半は前半を公式として使ってみる問題。
5。具体的に計算する。あとは接点の条件で連立して求める。
6。(1)フーリエ。(2)多項の二乗の計算。最良近似の問題。
7。継ぎ接ぎ関数。(1)境界条件。(2)実際に積分してから微分する平凡な解法。
8。周期性を利用。平行移動して定積分の値を求める。重要。
別解。図形的に解釈出来る。
9。(1)微分法。(2)積分してから微分して増減などを調べる。
10。平均値の定理。挟み撃ち。
11。(1)平均値の定理。微分係数の定義。挟み撃ち。(2)点対称を見抜く。
12。積分区間の最小値と最大値を固定して挟む。重要。挟み撃ち。
別解。平凡に積分しても良い。
13。極限値を予想してそれを生かす変形を試みる。重要。不等式で挟み撃ち。
別解。平均値の定理。
14。(1)実際に計算する。(2)最大値と最小値を持ち出して議論する。重要。挟み撃ち。
15。(1)普通に微分する。(2)(1)の不等式を利用して挟み撃ち。
16。定積分の漸化式。(3)により、重要な関数の極限値が得られる。超重要。
17。(1)前問と同じ。(2)階差数列と同じような考え方。
18。β関数。定積分。(2)場合分け。(3)普通の解法でも難しい。
別解。華麗な解法。対称性の利用。
- 212 :名無しなのに合格:2018/05/11(金) 20:01:59.20 ID:BLS2zncG.net
- 実戦編3
原則的に「まずは視覚・感覚で、その後に数式で」。
はみ出し削り論法。
1。引ける接線の本数。頻出。(1)に帰着させる。
2。接点の定義。
3。接線と法線。一般論も成り立つ。
4。カテナリー。公式を覚えておくと良い。場合分け。
5。カテナリー。有名性質。公式を覚えておくと良い。
6。カテナリーに関連した巧妙な置換積分の方法。原理は既に見てある。
7。繰り返しの構造を生かす。場合分けをすれば簡単。
別解。場合分けが要らない。構造がよくわかる。
8。入り組んだ関数。(1)最小値を取る時のパラメーターについての関数を考える。(2)(1)と同様に考える。
9。図形的考察が重要。場合分け。曲線よりも直線が下側になる条件。
10。直角双曲線の性質。平行移動して考えても良い。
11。式を組み合わせる。近似でイメージする。
nが大きい時 nπ≦x≦(n+1)πのxをx≒nπで近似して良い。重要。
12。幾何図形。接線と法線。この程度の図形的考察は常識にしておく。
13。楕円は円を定方向に伸ばしたもの。コーシー・シュワルツの不等式。
14。面積一定の時、周は円に近いほど短くなる。極限値。
15。答えがアステロイドになる。計算が大変。
16。直角双曲線に関する面積一定問題。
17。余弦定理。円に内接する時に面積は最大となる。重要。
18。パラメーター表示してパラメーター積分する。xの増加関数であることを明示する必要がある。
別解。極座標表示された面積の公式を利用する。
- 213 :名無しなのに合格:2018/05/11(金) 22:40:38.38 ID:BLS2zncG.net
- 実戦編4
構想力。計算は余り無い。重要事項の点検になる。
1。近似だけでは間違う問題。通分。極限関係は知識も重要。
2。偶関数・奇関数。導関数の定義に従うだけ。
3。内分点と解釈できる。必要条件で絞る。ε-δ。
4。平均値の定理。
5。図形的に解釈できる。はみ出し削り論法。不等式を想起できないと難しい。
6。図形的に解釈して立式する。
7。図形的に解釈して立式するが難しい。
研究。一般化する。この形で覚えておく。
8。定積分関数。普通に不等式の問題。
9。普通に不等式の問題。微分する。回転体の体積と解釈出来る。積分の平均値の定理。
10。うまい値を代入する思い切りとセンス。
11。部分積分法。微分係数の定義。最大値を文字でおく。
全体的に「図を描いて面積で考える」といったタイプ。
実戦編5。
文字が多くなる。全てtの関数であるという事実。目標を明確にする。
例題。微分方程式。
1。加速度の定義。
2。文字が多いので並べて一覧する。目標を明確に文字消去。
3。条件式を揃えてから、目標を明確にして文字消去。
4。パラメーターで座標を表してから、弧長の公式。
5。最終的には程良い距離を保っての等速運動。微分方程式。
6。対数螺旋。有名曲線。計算は面倒。
7。船の速度と水の流れの速度。
8。万有引力。エネルギー保存の法則。第2宇宙速度。
9。ニュートンの法則。微分方程式。
10。光の屈折。ベクトルの内積と見る。フェルマーの原理。
計算が多くなって何をやっているのか分からなくならないようにする。
- 214 :名無しなのに合格:2018/05/12(土) 13:00:15.19 ID:G66ZTCsz.net
- 11
1。(1)点と直線の距離。三平方の定理。
(2)分数関数の微分法。
別解。hの関数と見た方が簡単。
別解。S= sinθ/2より、θ=90°の時。
2。(1)定数数列になる。
(2)小数部分の逆数で範囲を絞る。重要。答えは2個。
(3)互いに素で設定する。重要。割り算を実行する。分母が正の整数の減少関数になるのでいずれは1になるかその前に分子が0になる。無限降下法。重要。
3。(1)普通に。(2)かなり激しい不定積分。重要。
(3)極限値の計算。
4。文字を置いて文字消去。直角双曲線になる。軌跡の限界の議論が重要。
5。(1)具体的に考えて簡単。
(2)通過範囲の時に使うパラメーターの変域を調べる図(a-b図)を使う。超重要。場合分け。
(3)(2)をそのまま使う。素直に使えるのは珍しい。
別解。cを固定した方が簡単。
6。(1)丁寧に間違えないようにやるだけ。
(2)集合の包含。
(3)x=kの切断面を求めて積分。場合分け無し。
7。条件を式に乗せるのは易しい。後は計算するだけ。
- 215 :名無しなのに合格:2018/05/12(土) 13:18:12.17 ID:G66ZTCsz.net
- 10
1。(1)図を描いて体積公式。
(2)bを固定する。aとcを消去できた後、bを動かす。
2。(1)中身を比べる。
(2)Σ計算できない所が出てくるので上手く評価する。重要。部分分数分解出来るような評価以外は駄目。気づけば後は簡単という問題。
3。(1)図を描いて考える。場合分け。玉のやり取りの問題だから難しい筈がないと思って解く。漸化式が得られる。
(2)漸化式を解く。(3)漸化式を解く。
4。(1)普通に。(2)等積変形。
5。どれか1つを固定する。答えは全部で8個。
6。(1)ベクトルでやる。それなりの計算だが難しくはない。
(2)場合分け。断面積を求める。(3)微分法。
7。(1)普通に。(2)積の和を内積と見る手法。
8。計算するだけ。
- 216 :名無しなのに合格:2018/05/12(土) 17:11:12.35 ID:G66ZTCsz.net
- 12
1。座標幾何。θの関数として立式し微分する。極値のx座標は求められないがαと置き、後で消去すれば良いパターン。
2。補助の数列を置き過ぎないように。対等性に気をつけて式を減らす。漸化式を作る。偶数秒と奇数秒で場合分け。極限値は全て1/3になる。これは当然。
3。丁寧に計算するだけ。バウムクーヘン。
4。(1)連続する2整数は互いに素。背理法。
(2)帰納法。互いに素。
5。(1)成分計算をする。detを計算する。
(2)掛け算の意味。成分が増えたり減ったりする事を掴む。
(3)同値命題。背理法。
6。(1)計算するだけだがハード。
(2)最後は|cost|の一次関数となる。そこまで頑張れればOK。
7。逆手流。yの存在条件を考える。実数条件。
8。分数関数の微分法。または相加相乗平均の不等式。
9。(1)普通に。
(2)接点のx座標を主役にする。aの値によっては存在しない。
- 217 :名無しなのに合格:2018/05/12(土) 18:06:37.24 ID:G66ZTCsz.net
- 13
1。回転と拡大の合成変換。丁寧に論証すること。
2。定数は分離せよ。絶対値が単調に減少する事に言及する。正確なクラブを描いてそれを用いて説明する。
3。(1)実験→場合分けを頑張る。
(2)面倒な級数計算の後、極限値。
4。(1)移項して二乗というベクトルの常套手段。
(2)計算を続けるだけ。
別解。tanの加法定理を利用。
別解。余弦定理から(a-b)を掛けてa^3-b^3を導く。巧妙。
5。(1)答えは汚くなるが難しくはない。
(2)一並び問題。037×3=111に着目出来るか。
y=037を33回並べる。x=10^nとする(n≧99)。構成する。
別解。最上位の桁から連続して1が並ぶ事を示す。背理法。存在しないと仮定しているのでf(n)<…< f(n+1)を満たすnが存在する。これがポイント。
6。(1)円錐は内積で捉える。x=tの切断面。場合分け。
(2)図形的考察。対称性を存分に使う。
7。次数下げ。折れた部分も極値になる。計算は面倒。
8。双曲線の焦点。(1)√は外れる。
(2)これも焦点と双曲線上の点との距離なので√が外れる。
9。場合分けが多い。5個に分ける。個々の作業は簡単。
- 218 :名無しなのに合格:2018/05/12(土) 21:11:41.11 ID:yXj8GnZD.net
- 9
1。(1)互いに素。
(2)帰納法。(3)k=dm-1として、2≡0となる。
別解。(3)(1-1)^m=0より、dmは2の約数と分かる。
2。上三角行列。一次変換。帰納法。三角化。
3。(1)ある一色が二回、他の三色が一回ずつ。
(2)(1)と同様。
(3)2,2,2,4または2,2,3,3のいずれかである。
4。(1)切り口の断面積。
(2)挟み撃ちの原理。
5。(1)logを取る。微分する。
(2)0.01を代入して0.99倍する。後者が難しい。
-0.01を代入して0.99倍する。
6。(1)垂線を下ろす。直角三角形。
(2)二等辺三角形。(1)を利用。
(3)相対速度の考え方。三角形の内対角。(2)を利用する。3つの式からθ1以外を消去する。sinカーブと直線の上下関係。
別解。k>1の時、sinkx≦ksinxを利用する。たまに現れるが必須ではなく思い出しにくい。覚えておくと良い。
7。(1)中心と半径。(2)平方完成。
9。(1)2点を通る条件。aの値で場合分け。ちょっと面倒。
(2)相加相乗平均の不等式。
- 219 :名無しなのに合格:2018/05/13(日) 04:15:10.76 ID:e/afFKFJ.net
- 14
1。(1)座標を設定する。外積。
(2)tanの加法定理。鋭角。2次方程式の2解。
2。(1)普通に。
(2)漸化式。(3)極限。
3。(1)実数条件。(2)普通に。(3)置換積分。偶関数・奇関数。
4。(1)一個一個丁寧に論証する。
(2)帰納法。上手い値を代入する。等比数列。挟み撃ちの原理。(3)置き換え。ε-δ。連続関数。
5。(1)漸化式。代入。(2)実際に計算する。
(3)modpで考える。(4)剰余。繰り返しの構造。
6。条件を式にする。qを消去する。最大値・最小値の候補。線分を、直線のうち他の直線との交点を利用して捉える。
7。(1)平方完成。
(2)三次関数の極値問題。
9。条件を式にする。点が領域に含まれる条件は代入して成り立つ事。最大値・最小値の候補でよい。
- 220 :名無しなのに合格:2018/05/13(日) 05:29:25.38 ID:e/afFKFJ.net
- 15
1。aの存在条件から通過範囲を求める。除外点や境界に注意
2。(1)2つのAを区別する。漸化式が得られる。
(2)(1)と同様に解ける。
別解。初手で場合分けする。三項間漸化式が得られる。
3。(1)微分法。(2)回転体の体積公式を用いて積分するだけ。(3)付け足しのような問題。
別解。(1)文字定数を分離しても良い。
4。(1)n+1の時もnの時と同じになる。(2)普通に。
(3)帰納法が安全。
5。割り切れる最大数。文字で置く定石。場合分け。
6。(1)不等式で評価する。
(2)(1)と途中まで同じ流れ。単調増加関数より、導関数についての不等式が得られる。挟み撃ちの原理。
7。A。微分法。反例が作れるので偽。
B。等号成立条件が矛盾するので等号は成立しない。従って命題Bは真である。
A Bとも勘で当たりにくい。
8。2点を通る放物線の問題。xを固定してaを動かす。
9。tanの加法定理。頻出。相加相乗平均の不等式。
直線の傾きではなく、円の中心と半径が大事。
10。2つのAを区別すると上手く解ける。2の類題。
- 221 :名無しなのに合格:2018/05/13(日) 14:33:03.57 ID:e/afFKFJ.net
- 16
1。対数微分法。平均値の定理。
2。巴戦。場合分け。条件付き確率。
3。Sを求めて微分法。
4。鋭角三角形。余弦定理。三平方の定理の不等式。
5。九並び。互いに素。
6。断面積を求めて積分する。
7。ベクトルの内積。鋭角三角形。
8。遷移図を描けば状況は一通りに決まる。
9。連立する。1/6公式。
10。(1)周期性。(2)周期性。(3)(1)(2)を利用。mod。
- 222 :名無しなのに合格:2018/05/13(日) 16:16:31.31 ID:+qjY2h+c.net
- 17
1。(1)3倍角。2倍角。(2)平方完成。
2。(1)直線群。(2)回数は決定される。独立なので(1)の掛け算で求まる。
3。(1)二等分線。反転。(2)円の一部。
別解。(2)は(1)を使わずとも解ける、
4。(1)普通に。(2)普通に。(3)帰納法。(4)互除法。
5。(1)重解条件。(2)式を使うのが安全。3本あるのは明らか。
6。(1)実数条件。内積。
(2)円錐の側面。二次曲面が普通に出てくる。重要。切り口の断面積。
別解。結果的には球面から円錐を2個引く。
7。積分する。重解条件。判別式。
8。ベクトルの活用。平行四辺形の面積。
9。(1)y-xの値の変化に着目せよというヒント。
- 223 :名無しなのに合格:2018/05/13(日) 17:36:39.94 ID:+qjY2h+c.net
- 18
1。微分して増減表を書く。
2。互いに素。1,2を確認した後、減少数列であることを示す
別解。分子が全て奇数で分母が偶数である。
3。二段階で動かす。場合分け。極限は付け足し。
4。微分法。グラフで解を捉える。
5。(1)回転移動。軌跡。(2)w=x+yiと置く。wを消去。偏角の議論から軌跡の限界を求める。
複素数のままやるのが難しい場合は成分を置く。
6。(1)共有点を持つ範囲。図を描く。(2)図を描く。
(3)集合。(4)断面積は前問を利用。Tは積分で出す。
7。(1)接する条件。重解条件。点と直線の距離。場合分け。
(2)論理の問題。
8。増減に着目する。重要。
10。まず点Qの軌跡を求める。つぎにそれを平行移動する。
- 224 :名無しなのに合格:2018/05/14(月) 00:19:39.67 ID:I50XiLox.net
- 8
1。(1)連立漸化式。(2)(1)を解く。含む部分と含まれない部分の見極めに注意。
2。(1)繰り返しの構造。(2)繰り返しの構造。偶奇性。
3。(1)見取り図。
(2)座標系を設定する。六角形。断面積を求めて積分する。
4。(1)普通に。(2)Lの値で場合分け。
5。一並び。(1)帰納法。(2)9の倍数は27k, 27k+9, 27k+18のいずれかで表される。場合分け。
6。自己交差は難しい。長い計算になるが上と下で同じ積分値になることを知っておくと心強い。
7。βを消去。微分法。
9。余弦定理。答えは綺麗だが途中計算は大変。対称性に着目して見通しよく。
10。帰納法。p^3の倍数。
- 225 :名無しなのに合格:2018/05/15(火) 19:00:03.16 ID:YpFE0sQ7.net
- 7
1。具体的に係数を設定する。意味をなさない二項係数は0と見做す。帰納的に示される。
2。図を描く。相似を見抜く。等比数列。余弦定理。極限。
3。文字で置いて文字を消す。ap図を描く。重要。対称性。Pを中心とした相似縮小(拡大)変換である。
4。直和分解。スペクトル分解。射影行列に分解する。
5。場合分け。(3)2回ともmの場合は重複しているので注意。
6。接線と割線。√2でやると上手くいく。
別解。3/2で切っても良い。
7。(1)場合分けして図示。(2)区切って積分する。
8。規則性。不変量。求積。
9。00〜99までだが0〜9てめOKになる。手を動かしてみると楽。腕組みしているだけでは難しく見える。
- 226 :名無しなのに合格:2018/05/15(火) 19:10:24.80 ID:YpFE0sQ7.net
- 6
1。条件を式に乗せるだけ。
別解。一般化出来る。背理法。角の二等分線。
2。具体的に書く。全てを調べる。
3。図形的にアプローチする。任意のαに対して等式が成り立つこと。必要条件から絞る。
4。不等式で絞る。普通に。無限降下法的に。次々と作られる。
5。(1)普通に。(2)面積で評価する。(3)混合形。
別解。帰納法。挟み撃ちの原理。
6。ヤングの不等式。普通に。
7。正弦定理。余弦定理。
8。具体的に調べる。
9。(1)不等式で評価する。(2)不等式で評価する。
10。枝分かれの関数。それぞれの範囲における最小値は全体の際の候補。後で比べる。予選決勝法。
- 227 :名無しなのに合格:2018/05/15(火) 19:23:12.80 ID:YpFE0sQ7.net
- 5
1。(1)帰納法。(2)漸化式を解く。
2。論証力。等号成立条件を考える。少なくとも1つではなく、両方ともに。
3。不等式を導く。平均値の定理を利用する。
4。連続する2整数は互いに素。素因数は分離される。答えは1つに決まる。
5。例の図(cd図)を描く。重要。場合分け。格子点の個数。
6。軸に垂直に切る。はみ出す場合と収まる場合で場合分け。その後積分して終わり。
7。具体化し過ぎない。実際に積分する場面は殆どないのがポイント。
8。図を描いて視覚化する。実数条件。Xの取り得る値の範囲から xの取り得る値の範囲へ。X Y平面で考える。
- 228 :名無しなのに合格:2018/05/16(水) 01:55:27.00 ID:XzQxZL1L.net
- 4
1。回転を複素数で。後は条件を立式するだけ。
2。(1)全部調べる。実際には0〜9まで。
(2)(1)を利用すると2個に絞れる。
3。動点をパラメーター表示するまでは定石。後はガウス・グリーンの定理を使うと計算量が劇的に減る。
4。(1)普通に。これが以後の基礎となる。
(2)区間を分ける。(3)帰納的に考えると3倍になるから3^n個
5。場合分け。近似値。
6。対等性。漸化式。偶奇で場合分け。
7。線型計画法。場合分けが鍵。上手くなくていいから着実に解くこと。
- 229 :名無しなのに合格:2018/05/16(水) 22:47:08.61 ID:XzQxZL1L.net
- 3
1。代入する。文字定数を分離する。微分法。
別解。完全分離しないで放物線同士を比べる。
2。角度が分かる。円の一部と分かる。正弦定理。
中心を通す。
別解。軌跡。逆手流。存在条件。
3。図示して幾何図形の面積公式を使う。(2)積分する。
4。解と係数の関係。小数部分の冪乗は小数。重要。繰り返しの構造。
5。(1)余事象。(2)余事象。(1)よりも複雑。(3)論理を使って確認しないと間違える可能性がある問題。(1)と(2)は独立ではないから。
6。余弦定理。正八角形を使う。
別解。96角形でもOK。アルキメデスの方法。
7。場合分けが要らない。文字定数を分離する必要は無い。判別式。
8。図示して考えるのは意外と大変なので純粋に数式のみでやる。同値変形。答えは4つに分かれる。
9。(1)実際に計算する。(2)帰納法。(3)小数部分の冪乗は小数。重要。
- 230 :名無しなのに合格:2018/05/16(水) 22:59:31.59 ID:XzQxZL1L.net
- 10。(1)書き出す。(2)普通に。(3)漸化式を解く。
2
1。連立する。一般角であることに注意する。
2。割り算の原理。数学的帰納法。対偶を取る。
3。空間座標。点と直線の距離。領域。
4。法線の方程式。取り得る値の範囲。極限。
5。丁寧に計算する。挟み撃ちの原理か区分求積法で、区分求積法から半円の面積。
6。シャッフル。mod(2N+1)で考える。重要。
8。丁寧に計算するのみ。平行移動すると楽。
9。表現力が問われる問題。
グループの数=弧の数=両端の色が異なる弧の数。言い換えが出来ることが重要。
- 231 :名無しなのに合格:2018/05/17(木) 22:35:47.72 ID:lfbwqPeF.net
- 1
1。対称性に注意しながら組み立てて行く。
2。定数は∫の外に出す。定積分=定数と置く。後は積分するだけ。
3。まずは普通に。その後微分する。また微分する。また微分する。式が簡単になって行く見通しが立てば何度も微分すれば良い。
4。bnの漸化式にすると良い。帰納法。反転と実軸対称移動と平行移動。
5。(1)背理法。(2)勘違いしていても出来てしまう(答えは当然間違いになる)危険な問題だが論証力を見る問題なので仕方ない。
6。和の期待値=期待値の和を使う。(1)漸化式が立式できる。(2)それを解く。(3)対等性。
7。かなり簡単な問題。面積を求めて微分する。
9。離散的な中間値の定理を使う定型問題。あるいは最小のkを設定して最小性の矛盾を導くパターン。
- 232 :名無しなのに合格:2018/05/17(木) 22:51:19.27 ID:lfbwqPeF.net
- 0
1。座標を設定して重解条件。正三角形の場合は面積最大の楕円は円になる。
2。垂線。円周上の点。逆に円周上にある点の場合、垂線の足になる。
別解。垂直を純虚数で。
3。関数列。(1)漸化式を解く。(2)極限を取る。(3)グラフを描くための手続きを踏むだけ。
別解。微分方程式が得られるのでそれを解く。
4。共有点を持たないための条件。(2)は「図から明らかに」とでもしないと大変(その後多少細かい議論が可能)。この判断は勘に頼るしか無い。
5。(1)4桁を数える。(2)3桁、2桁、1桁と数えて行く。後は4桁を詰めて行って終わり。
6。a+c= tと置く。場合分けして切り口の断面積を求める。その後積分する。
7。計算するだけだが、展開しないで微分したいところ。
8。一文字固定法。楽勝。
9。漸化式を立てる。対等性を利用する。漸化式を解く。
- 233 :名無しなのに合格:2018/05/17(木) 23:09:59.15 ID:lfbwqPeF.net
- 99
1。(1)一般角を定義する。(2)ベクトルの和を利用する。2通りに表す定石。
2。複素数列。三角不等式。漸化式を解く。範囲を確認して数える。最後は極限を取る。
3。場合分けを的確にやりにくい、論理が難しい問題。場合分けが出来れば突破。
4。対等性。余弦定理。図形的考察が必要。
5。マスターオブ整数。二項係数の基本公式。偶奇性。帰納法。偶奇に着目したパスカルの三角形を考える。
6。定積分は平凡。接線で一次近似する。
7。場合分けをしっかりする。図は点の有限個の集合。
8。目で見ながら解けば良い。接線と点との距離。
- 234 :名無しなのに合格:2018/05/17(木) 23:22:49.88 ID:lfbwqPeF.net
- 98
1。3次関数の極値の差の公式。
2。z=kで切ると長方形。格子点を数える。極限を取る。
3。反転。フィボナッチ数列。互いに素。有理数≠無理数。不等式→挟み撃ちの原理。
4。平均値の定理。連続して全て出る場合とダブりなく出る場合に分かれる。繋ぎ目で誤差なく数えられるかどうか。
5。垂線の足。収束条件。場合分け3通り。
6。対称性から8等分してから求める。工夫して積分する。
7。(1)数式を幾何的に見る。円。(2)(1)を利用。aの一次関数と見る。
8。(1)場合分け。(2)合成関数の振る舞いを見てグラフを描く問題。類題経験済み。
9。重心。求まる問題しか出ないので見方を工夫するとかすると良い。
- 235 :名無しなのに合格:2018/05/18(金) 22:13:32.28 ID:5zgyWrh0.net
- 97
1。複素数で回転する。取り得る値の範囲。
2。文字定数を分離する。完全分離ではなく一次式で分離する。たまたま接点になるが、ならない場合には一番近くの格子点を探す。
3。存在条件。アポロニウスの円。
4。反射の問題。丁寧に図を描いて考える。
5。バウムクーヘンではなくて普通に円板で。
6。共通接線。重解条件。
7。基本対称式。実数条件。帰納法。
8。存在条件。
9。一文字固定法。包絡線。
- 236 :名無しなのに合格:2018/05/18(金) 22:26:18.99 ID:5zgyWrh0.net
- 96
1。回転○拡大の一次変換。
2。解の配置。E-Aの一次変換で、Aが-1〜1の範囲に2つの固有値を持つ。
3。場合分け。高々1頂点しか見えないことの必要十分条件。座標で機械的に解こうとするのは難しい。
4。(1)普通に。(2)確率変数Xkを設定する。
5。体積が等しい。代入する。
6。原点とC上の点の距離が 1以下である。場合分け。
7。ケイリー・ハミルトンの定理。スカラー行列か否かで場合分け。
8。場合分け。
9。錯覚しないように式でやる。積分する。
- 237 :名無しなのに合格:2018/05/18(金) 22:34:22.34 ID:5zgyWrh0.net
- 95
1。コーシー・シュワルツの不等式。微分法。
2。凸性。どこまで示すのかが問題。手堅くやっておく。
3。漸化式を立てる。漸化式を解く。
4。グラフを描く。偶奇で場合分け。
5。二進法。余事象。
6。双曲線の有名性質。漸近線。
7。条件を視覚化する。
8。角の二等分線にはtanの加法定理がベスト。
9。水の問題。置き換えて微分法。
- 238 :名無しなのに合格:2018/05/18(金) 22:47:01.04 ID:5zgyWrh0.net
- 94
1。(1)微分法。(2)微分法。
2。sin^2についての2次方程式。解と係数の関係。帰納法。
3。断面積を求める。置き換える。積分する。
4。関数列。定積分は定数と置く。微分方程式。
5。(1)普通に。(2)一文字固定法。
6。距離の問題。場合分け。絶対値⇔数直線での距離。
7。対数計算。場合分け。
8。距離の問題。この程度ならば簡単と言える。
9。作用素ノルムの問題。直交性。単位円は楕円に移る。
10。積分。漸化式。微分法。
- 239 :名無しなのに合格:2018/05/19(土) 21:10:24.67 ID:hrw2I91j.net
- 93
1。等面四面体に対して補助の直方体を用意する。
2。漸化式。mod。繰り返しの構造。
3。場合分けが全て。コツコツやるのみ。双曲線。
4。偶奇で場合分け。丁寧に計算するだけ。
5。困難を分割する。漸化式。場合分け。
6。速度。増減表。パラメーター。魚の絵。x軸対称。
7。微分法。領域の図示。
8。偶奇性。帰納法。
9。極射影。逆手流。円になる。
10。差は対称軸までの距離の2倍を表す。
- 240 :名無しなのに合格:2018/05/19(土) 21:23:18.52 ID:hrw2I91j.net
- 92
1。凸性。接線。log logxの収束。
2。格子点の幾何学。平行移動して原点にする。基本事項を使いこなせるか。
3。対称式。相加相乗平均の不等式。普通にできる。
4。円柱と楕円柱の交わり。図形的に行かないで数式でやる。
5。速度。道のり。
6。確率を文字で設定する。存在条件。
7。場合分け。後で合わさるという巧妙な問題。
8。場合分け。増減表。定義域に注意。
9。(1)漸化式を作る。(2)補助数列を導き(1)に代入すると答えが出る。フィボナッチ数列。
- 241 :名無しなのに合格:2018/05/19(土) 21:37:14.81 ID:hrw2I91j.net
- 91
1。普通に漸化式。
2。図形的に考える。
3。(1)場合分け。(2)場合分け。
4。(1)(2)帰納法。チェビシェフ多項式。複素数の微分。
5。点と直線の距離。互いに素。整数論の基本定理。
6。グラフを描いて把握する。幾何的な問題。(2)は一手間かかる。腕組みをしないで手を動かす。うまい値を代入する。
極限。fの微分可能性は保証されていないことに注意。
7。意外に手強い計算になる。
8。放物線の影が双曲線になるという問題。存在条件。
9。図を描いて場合分け。グラフを描く。
10。対称性。幾何。積分。
- 242 :名無しなのに合格:2018/05/19(土) 21:51:27.75 ID:hrw2I91j.net
- 90
1。和は求まらないので評価する。図を描いて積分で評価。
2。普通に。チェビシェフ多項式。3次。有名性質。
3。図を描く。「不可能性」の証明は難しいので「可能」ではないかと当たりをつけて構成する。
4。回転○拡大。こればっかり。級数。
5。円に外接する平行四辺形は菱形になる。存在条件。
楕円と準円の関係が、円と楕円の関係になる。一次変換。
6。循環小数。場合分け。(2)場合分け。十面体のサイコロの一様分布。6進数。
7。(1)普通に。解と係数の関係。(2)普通にやると答えが出る。ガロア拡大。
8。微分法。4が求まって芋蔓式に。
9。パップス・ギュルダンの定理。場合分け。
- 243 :名無しなのに合格:2018/05/21(月) 02:03:59.32 ID:rq+imSRs.net
- 89
1。和と差で同値変形。
別解。3次方程式でも可能。
2。軽い問題。
3。一次分数変換は行列で扱える。
4。評価する。整数部分。等比数列の和の形を想起する。
5。バウムクーヘン分割の説明。
6。円順列。固定する。
7。接線。重解条件。平行四辺形。中点連結定理。
8。帰納法。
別解。行列式の性質を使う。
9。どう説明をしたら良いか。実験すると様子が分かる。
- 244 :名無しなのに合格:2018/05/21(月) 02:17:57.74 ID:rq+imSRs.net
- 88
1。正則な一次変換。
2。最大値:正三角形/正射影の2本の対角線が直交している場合。
最小値:Aの正射影が△BCDの正射影の内部/周上にある時と外部にある時、に場合分け。
3。点対称性に注意する。対称の中心で接する。場合分け。
4。等比数列。類題有り。
5。射影の問題。存在条件。
6。手順通りの基本問題。
7。楕円。対称性。
8。断面積を求めて積分する。文字の存在条件。
9。面積。異本に忠実にやるだけ。
- 245 :名無しなのに合格:2018/05/21(月) 02:28:36.91 ID:rq+imSRs.net
- 87
1。回転○拡大の一次変換。またこのパターン。
2。パラメーター表示曲線の図示。増減表を丁寧に描く。
3。球面極座標。接平面。点と平面の距離。
4。文字で設定する。回転体の体積。
5。並べ替え不等式。
6。余事象に着目する。
7。実数条件。ケイリー・ハミルトンの定理。
8。微分法。積分法。普通に。
9。場合分け。一文字固定法。
10。文字の対等性に注意して6等分する。
別解。実は式から幾何図形が見える。
- 246 :名無しなのに合格:2018/05/21(月) 02:39:26.11 ID:rq+imSRs.net
- 86
1。一文字固定法。
2。楕円を円に変換する一次変換。
3。空間における回転の意味。円柱型ではなく円錐型。
4。自然流。順手流。存在条件は消去によって得られる。
5。場合分け。
6。座標を設定する。楕円。正射影。
7。2次関数の最大最小問題。場合分け。
8。対称性に注意するのみ。
9。普通に計算するだけ。
10。回転の積は回転。垂直二等分線。
- 247 :名無しなのに合格:2018/05/21(月) 21:14:49.64 ID:iXueqVAs.net
- 07
1。(1)普通に。(2)普通に。(3)普通に。(4)普通に。
2。trAとdetA。行列の相似。(1)成分計算。(2)引くだけ。(3)漸化式。不等式。挟み撃ちの原理。
3。場合分け。不等式評価。帰納法。2次関数の最大最小。
06
1。回転。微分法。一次変換。
2。円錐面。場合分け。断面積。
3。冪乗和。階差数列。恒等式。帰納法。偶関数。微分法。辺々加える。
05
1。(1)幾何。(2)余弦定理。場合分け。微分可能性。連続性。増減表。
2。期待値で戦略を決める。
3。場合分け。微分法。単調増加性。置き換えで4次方程式を解く。単調性。
- 248 :名無しなのに合格:2018/05/23(水) 03:15:45.52 ID:kEK8o4gK.net
- 4
1。場合分け。帰納法。相似。収束条件。回転拡大。微分法。
2。数列。写像の個数。二進法。規則性。剰余。帰納的。
3。円の接線。通過範囲。場合分け。幾何的に把握できる。
3
1。微分法。不等式の証明。積分。挟み撃ちの原理。円板で近似出来る。円錐と見做せる。
2。偶奇で場合分け。二項定理。点と直線の距離。不等式評価。ペル方程式。
3。帰納法。無限降下法。増加数列。不等式評価。
2
1。微分法。凹凸。グラフ。回転体の体積。バウムクーヘン分割。円板分割。
2。三角形の面積。図形感覚。四面体の体積。分割して後で8倍する。更に4分割する。微分法。最大値。
3。定義に従って代入すると出てくる。(2)普通に。(3)帰納法。(4)二進法。場合分け。大局的に捉える。(5)場合分け。収束条件。
- 249 :名無しなのに合格:2018/05/24(木) 02:38:36.13 ID:soLP+57V.net
- 1
1。減少数列。Σを面積で評価する。
2。対等性。場合分け。問題の条件を利用する。
3。同値変形。存在条件。放物線を直線と見做す。
0
1。階乗関数。割り算。次数。
2。不等式。挟み撃ちの原理。円筒分割。
3。二項分布。微分法。和の期待値の公式。
99
1。極限値。3倍角の公式。一定値ではないかと当たりをつける。加法定理。積和変換。
2。連立する。パラメーターで表して有理数であることを示す。増加列。有理数。
3。回転拡大。直角二等辺三角形。相似。接する。
- 250 :名無しなのに合格:2018/05/24(木) 03:53:38.95 ID:soLP+57V.net
- 98
1。1個固定。回転拡大。場合分け。
2。周期関数。切り口は線分。積分。
3。(1)アルゴリズム。可能グラフ。
(2)帰納法。全て列挙する。変化量を調べる。偶奇で場合分け
3で割った余りは変化しない。答え n≡0,1 (mod3)。
97
1。大局観。三角形に分割する。表にする。挟み撃ちの原理。
2。引き伸ばし変換。対称性。面積の取り得る値の範囲。不等式。
3。分析力。書いてみる。ざっくり評価する。式の意味を捉える。減少数列。
96
1。重複順列。重複組合せ。スターリング数。分割数。
2。等面四面体。直方体を補助とする。
別解。中線定理。幾何的にやる。
3。積分。微分方程式。
- 251 :名無しなのに合格:2018/05/24(木) 22:23:38.64 ID:rzGnLO8m.net
- 95
1。実験して予測する。6推移状態。代入する。
2。(1)(2)共に明らか。しかし書きづらい。不等式。微分法。
3。戦争。ババ抜き。ブラックジャック。期待値の最大値。定義域から外れている二項係数のチェックもしておく。
94
1。定義に従って代入する。帰納法。mod 5で考える。場合分け。一意性の証明は背理法が定石。
2。図を描いて考える。パラメーターで表す。周期関数の積分。対称性。
3。普通に場合分けして二項分布。余事象。場合分け。
別解。Σを使う。
93
1。頂点は頂点に移るだけではなく、辺は辺に移るまで使えると見通しが良い。総和はベクトルと対称性を使う。0になる。
2。平行移動と回転移動で重心を原点に移し、一点をx軸上に移す。重要。点と直線の距離。ひたすら計算する。偏角は2π必要なく、πで十分である。超重要。
3。円錐だと頻出。放物面だと難しい。場合分け。
- 252 :名無しなのに合格:2018/05/24(木) 22:33:44.80 ID:rzGnLO8m.net
- 92
1。同値変形すると2次不等式に帰着される。積分。極限。
2。座標設定。ベクトル。内積。場合分け。不等式。
3。実験してみる。帰納法。次数の比較。代入する。十分性の確認をする。
91
1。凸関数。微分法。2^4=4^2。背理法。
2。(1)知らないと難問。(2)方冪の定理。別解。幾何で。
3。変数を2つにしてバランスよくやると上手くいく。場合分け。微分法。
90
1。対称性。場合分け。積分。はみ出し削り論法。
2。回転行列。幾何図形への応用。不等式。
3。フラクタル図形。漸化式。場合分け。
- 253 :名無しなのに合格:2018/05/24(木) 23:23:15.60 ID:rzGnLO8m.net
- 1。不等式。帰納法。同次式。
2。転換法。円周角の定理。グラフの変換。集合の包含関係。場合分け。なす角の取り扱いは内積かtanの加法定理。
3。数学的帰納法。どの文字についての帰納法かを考える。具体的に設定する。
4。余りの扱い方。倍数であることの証明。場合分け。
5。背理法。Σはバラすと分かりやすくなる場合がある。
6。成分で計算すれば後は命題の問題になる。連立には不等式条件も用いる。
7。特別な点であるPを代入する。場合分け。対称性。余弦定理よりも正弦定理。必要性から考える。
8。0と≠0で場合分け。置き換え。代入する特別な値の候補。
9。恒等式。微分法。係数比較法。「右辺が微分可能だから左辺も微分可能である」という議論。微分方程式。整式の割り算は剰余定理や因数定理を用いる。
10。文字定数の分離。離散変数では連続変数に直す、階差を考える、比を考える。
11。どの文字について考えるのか、出題者が誘導している場合は乗る方が良い場合が多い。場合分け。解の配置。漸化式の立式と帰納法。
- 254 :名無しなのに合格:2018/05/26(土) 00:25:55.86 ID:u0XUrkB7.net
- 1。ディリクレの部屋割り論法。奇素数。背理法。
2。パラメーターで表現する。対称点の求め方。円の方程式になる条件。虚円にはなり得ない。文字の存在条件。図形の存在命題の問題。
3。実数解条件。中間値の定理。単調性との合わせ技。独立小問の可能性は低い。方程式を変更させるための誘導。中間値の定理。ある範囲における同値性。
4。ガウス記号。存在証明において勘を働かせて題意を満たすものを見つけてしまうのは立派な解法の1つ。背理法。
ケイリー・ハミルトンの定理。正則性。
5。約数・倍数関係。不等式で絞る。具体的に構成する。最大性を仮定して矛盾を導く。最小性の場合も結構多い。無限降下法。
6。対称軸を持つ場合の解法。グラフの変換。対称軸がy軸になるように平行移動する。全称か特称か。
7。背理法。矛盾を導く。
8。同次式なので次数下げが出来る。2文字ならば包含もあるが4文字ではキツい。
カテゴライズ力・別解力・行き詰まっても諦めない・計算ミスは命取り。
- 255 :名無しなのに合格:2018/05/26(土) 01:09:29.57 ID:u0XUrkB7.net
- 順像法(1文字固定法)・逆像法(実数解条件)・包絡線。
平面を2枚用意するイメージ。解の配置。通過する回数の違い。「パラメーター2種類」が出来るかどうかが鍵。
1。順像法、逆像法どちらでも出来る。
2。何気なく取り組むその第一歩が失敗の元凶。逆について解いて代入する。
3。解と係数の関係。対称になる問題は殆ど無い。
4。変換前に固定するか変換後に固定するか。aを固定する。pq平面とpa平面という2つの平面。後は普通の最大最小。逆像法はシンドい。
5。直線・線分・半直線三角形の周及び内部。ベクトルの終点の軌跡。対等性を崩すか崩さないか。
6。複数の文字を扱う→一文字固定法。対称性が使えるようにbを固定する。2枚の平面を使う。
- 256 :名無しなのに合格:2018/05/26(土) 20:28:24.92 ID:2BPWW+4P.net
- 全称命題の証明
不等式は大-小≧0。連続
2変数は領域の包含。連続
帰納法。離散
剰余系で全てを尽くす。離散
背理法。
特称命題の求値問題
係数比較。
必要条件で絞り、十分性を確認する。
恒等式は微分しても恒等式。積分方程式や整式の割り算。
領域による視覚化。
特称命題の証明
ディリクレの部屋割り論法
パラメーターの実数解条件
具体的に見つける・構成する
背理法
帰納法(全称との融合)
- 257 :名無しなのに合格:2018/05/26(土) 20:45:51.94 ID:2BPWW+4P.net
- 1。どの文字に関する帰納法か。偶奇性。不等式まで視野に入れて立式する。有効範囲をケアする。
2。有理数と設定する。文字kを設定してkの存在証明と見る。整数=分数の形を作って分母=1を導く。余りを設定する。奇素数の利用。
3。分数関数にする。2次/3次なのでx→∞としてみる。重要。
4。n=1は別扱いになる。ケアする。困難の分割。
5。(1)は簡単に解けるがどう(2)と結びつけるかが問題。片側だけは簡単に示せてしまうので嵌る。
不自然な眺め方が必要とされる。漸化式に取り組む時の覚悟→定型的な処理で接して解けなければ撤退する。
- 258 :名無しなのに合格:2018/05/26(土) 21:02:25.13 ID:2BPWW+4P.net
- 1。パラメーターが唯一つの実数解を持つことに帰着させる。
一意性を組み込んだ帰納法。
2通りあると仮定して矛盾を導く定石。
集合の一致に帰着させる。
定積分の計算は偶関数・奇関数、冪級数展開。
nは定数扱いする。最小二乗法。最良近似。偶奇で場合分け。
2。誘導の意味は、結果を利用する・方針を利用する。マクローリン展開に帰着できないか→逆数置換すればOK。狭義単調増加関数。中間値の定理。
(1)と(2)の繋がりが見えないが独立小問でも無さそう。不等式の証明では次数を揃えることが大事→使える手が増える。
3。どの文字に関する帰納法か。題意を正確に掴む。余りについての問題。
別解。存在の証明と一意性の証明。有効範囲をケア。
「大きな差が生まれてしまった場合は後で小さな努力で埋めることはできない」というテーマで結構類題が出ているので注意を喚起する。
4。格子点の問題。定義に従う。背理法。偶奇性。
- 259 :名無しなのに合格:2018/05/28(月) 01:27:22.10 ID:9yHQzYYh.net
- 正弦定理・余弦定理。ベクトル。座標。平面幾何。空間幾何。立体幾何→よりも題意に沿った絵が正確に描けるか。一意に定まるか。自由度は?絵にしていく順番に頭の良さが反映される。
座標でやる。ベクトルの内積。直角は座標との相性が良い。
パラメーターの設定。実数解条件。
余弦定理。必要十分条件。
対等性が高い設定。どれかを始点に取る。移項して2乗する。
幾何的な考察。
1。一次独立性。動点を始点に取ることはありえない。
2。必要性と十分性を分ける。共線条件。共面条件。三角形の内部条件。存在証明。具体的に見つける。
3。題意の把握。方向ベクトルの大きさは1にしておく。平面ではなく4点を追求する。平行四辺形の条件。
4。外接球の存在証明。定数か変数か。2乗すると処理不能。行列を使う。平行移動などで新しい座標系を作り計算を楽にすること。対称性を生かすこと。
道具の選択と座標の設定が問題を解く時の困難。存在証明の手のつけ方。多数の文字の定数・変数の区別。
論理的に問題を言い換えて問題を易しくしてから解く。
5。三角形の成立条件。三角形から四面体を特定することはできない→条件が足りない。同値変形を繰り返し命題を証明する。連立形の扱い方。
6。覚えておくべき公式。内角に関する不等式。凸不等式。積和と和積を駆使する。面積や正弦定理、余弦定理を使う。
7。対称性の活用。これは例外的。大小の設定。定図形ならばベクトルが有効。そうでなければ幾何か座標。平面幾何に強くなっておく。
- 260 :名無しなのに合格:2018/05/28(月) 01:53:38.71 ID:9yHQzYYh.net
- 座標は一般性・対称性・なるべく0を多く・直交条件・平行移動。
図形量の最大最小は変数の設定・長さ・角度・変域に注意・自由度・独立性。
1。座標系の変換。ゴリ押しも可。場合分けに注意する。書きづらい問題の場合は多少誤魔化しても良い。考えやすいように、計算しやすいように図形を動かす。
2。相対的な位置→座標。最も変化を捉えやすい基準を考える。最初の直感がマズイことは日常茶飯事と考えておく。
3。抽象的な一次変換。線型独立な2本のベクトル。線型性の利用。基底の選び方。恒等変換を示すには。楕円などの一次変換ならば最終的に成分計算になる。
全称と特称の合わせ技。
4。中間値の定理を使う。動的に変化する状況の方こそが重要。計算が爆発しそうな時。眺め方の高度化。素朴な眺め方は忘れずに。座標計算でも時間を度外視すれば解ける。考察する力。突破口を見出す。処理能力。
- 261 :名無しなのに合格:2018/05/28(月) 02:44:34.89 ID:9yHQzYYh.net
- 誘導に乗る。その場の賢さ。別の文字を挟む。別の関数を考察する。後ろから決定していく。誘導を活用する姿勢。結果を利用する。方針を利用する。
1。2本の等式から次数下げの流れ。対等性を崩している。実際に計算してみないと分からないようになっている。筋が悪いと思っても誘導を利用するために敢えて試してみる。
解と係数の関係。漸化式。帰納法。
2。文字消去。求めたい文字を残す。条件のある文字を残す。一文字ではなく一組でも同様。両辺を2乗する。有理数≠無理数。泥臭い式変形でも見通しが良ければそれで通す。
共役無理数を両辺に掛ける。誘導のヒントが小出しである場合があるので踏み込んでよく考える。
3。Σを具体的に書き出す。最大最小問題は平方完成・微分法・階差数列・一文字固定法・逆像法・実数解の存在条件・有名不等式・必要性で絞って十分性を確認する・文字の置換・代入する。
何を固定するか。グラフをイメージする。図形的に考察することを忘れない。誘導は方針の利用だった。
パターン問題を覚えておく。
4。関数方程式の問題。整式の条件。微分可能性。恒等式。分かるまで実験する。帰納的に示す。最大数と最小数の設定。誘導を疑って強引に乗る。
5。フェルマーの小定理。全称命題の求値問題と捉える。奇素数を素因数に持たないことの証明。背理法。困難の分割。素因数は2とそれ以外の奇数という感覚。
強化帰納法。ディリクレの部屋割り論法。変域のケアもできるように。
6。n乗計算はケイリーハミルトンの定理・整式の割り算・予想して帰納法・三角行列・二項定理・スペクトル分解・対角化・三角化・
手順ミスすると解けなくなる。軽快なフットワークを要求する。(1)→(2)→(3)ではなく(1)+(2)→(3)の上級パターン。
(1)→(2)、(1)→(3)のパターンもある。誘導に乗る練習。
- 262 :名無しなのに合格:2018/05/29(火) 21:51:39.00 ID:e2GU/B5A.net
- 1。左辺-右辺。分母を払う・logを取る。
2。接線の本数。集合の包含関係に持ち込む。必要から十分に行くか、場合分けをして集合の包含関係に持ち込むか。
3。凸関数。不等式の証明。帰納法。強引に固まりを作ることがポイント。
4。合同式を使わないでやってみる。定理を使うか帰納法。剰余系。フェルマーの小定理。
5。素数の問題。場合分け。
6。割り切れることの表現。
7。背理法。最初に注目して設定する。強化帰納法。
8。パラメーター表示する。なす角を捉える。
9。座標設定する。外積と内積。必要性から絞る。十分性の確認をどうするか。
10。安直に決めつけない。必要性から絞る。
11。素朴な発想で。両辺微分する。
12。関数列の問題。予想して帰納法。係数に関する漸化式を立てる。添字の有効範囲をケアする。
13。グラフを書いてイメージする。偶奇で場合分け。
14。漸化式の立式。少し頭を使う。
- 263 :名無しなのに合格:2018/05/29(火) 22:17:43.56 ID:e2GU/B5A.net
- 15。小数部分のみに着目する。ディリクレの部屋割り論法。
16。図形の存在問題。変数と定数の区別。
17。加法定理で展開するのは必然。割り切って進むしかない。文字の存在に帰着させる。
18。途中までは普通に。接線の方程式。微分法。単調増加性。中間値の定理。分子だけ切り取って微分する。
19。離散変数の中間値の定理。
20。全称と特称の合わせ技問題。与えられた文字を具体化してイメージしやすくする。グラフを描いて中間値の定理を使う。本質的な部分を分かっていることをアピールする。
図をたくさん描く。自分の言葉で説明しようとする。有名問題のバリエーションだった。帰納法では無理。
21。ケーリーハミルトンの定理。繰り返し用いると式が得られる。無限個の整数解を持つことの証明。十分性だけで十分な場合。
22。ガウス記号の問題。実験して状況を掴んだら一般的に解いてしまう。
23。普通に展開すればOK。うまい値を代入する。帰納法。
24。整式の問題は下の方だけ丁寧に見て例外を潰し、上の方は帰納的に同じパターンで進むことが多い。帰納法を使うときは仮定を最大限に利用するとともに
仮定されていないことを非合法に使ってしまわないように注意する。割り切れるかどうかの「余りの問題」。知識に頼らずとも素朴に考えて解けることは解ける。
25。有理数・無理数問題。加法定理。帰納法。背理法。
必要条件と十分条件は集合の包含で理解しておく。
帰納法の仕組み。具体的に実現してから。
漸化式の立式。帰納法を使おうとするのはお門違い。漸化式と帰納法は同じもの。
漸化式+帰納法。では使っていい条件と使えない条件の区別をしっかりする。
- 264 :名無しなのに合格:2018/05/31(木) 19:37:59.22 ID:S4SW6+67.net
- 26。場合分け。aについて解く。
別解。xを固定する。2枚の平面を考える。場合分け。
27。置き方。直線の通過範囲を考えてから端点の軌跡を考える。
28。反転。変換問題。2パラ→2パラ。
29。数式に一人歩きさせられるように。点の集合と考える。3パラ→2パラ。一文字消去。斜円錐。
30。解の配置。
31。基本対称式。実数解条件。除外点。
32。誘導に乗る。定数と変数の区別。図形と数式の対応。円周角の定理。
別解。座標設定。パラメーター消去。
- 265 :名無しなのに合格:2018/05/31(木) 20:17:48.68 ID:S4SW6+67.net
- 33。設定する。必要性と十分性を分ける。
34。ケイリーハミルトンの定理。全称特称合わせ技。係数比較。帰納法。
35。加法定理。整式の存在証明。微分法。帰納法。チェビシェフの多項式。
36。逆行列の存在証明。任意の○に対して△が存在する。場合分け。スカラー行列か非スカラー行列か。
37。帰納法。漸化式の解法。
38。漸化式を解く。nを動かす。等号の付き方に注意が必要。
39。ガウス記号。迷子にならないように。必要性から十分性への流れ。場合分け。帰納法。割り算の原理。ユークリッドの互除法。存在を直接示すか背理法で示すか。
40。「任意の」と「ある」を意識的につけて読んでみる。面積を求める→体積を求める。
41。存在証明。三角不等式。恒等式。素朴な発想で誘導に乗る。オーダーの感覚が重要。場合分けが多い。十分大きなnに対して〜という考え方。
42。離散全称系。帰納法では不可能。背理法。対称性の利用。
43。部分積分法。漸化式+挟み撃ちの原理の合わせ技。
44。漸化式。素数。帰納法。ケイリーハミルトンの定理。成分比較。アルゴリズム。Trではなくてdetだと簡単になる。
45。定型的ではない問題。帰納法ではなく整式の割り算の問題。漸化式。逆の組について解く問題。背理法。相加相乗平均の不等式の証明と同じ発想。
- 266 :名無しなのに合格:2018/05/31(木) 20:23:40.94 ID:S4SW6+67.net
- 46。関数列の問題。予想して帰納法。次数が不変の時に限っては係数に関する漸化式。微分法。
47。背理法。狭義単調増加関数。視覚に訴える。具体性による妨げを見抜いて捨象してから解く。
- 267 :名無しなのに合格:2018/05/31(木) 21:08:06.14 ID:1ejlB1v7.net
- 1。実験する。大小関係を設定する。
2。共通解問題。最高次または定数項を消去する。終結式。シルベスターの消去法。
3。交角は傾きで捉える。tanの加法定理。条件式は何度でも使う。使えるし使わなければならない。
定義されない数が出てくるが答えは出せる変な問題。
4。解と係数の関係。解の配置。グラフで考える。
整数解条件でも問題は解ける。場合分け。
5。軸の位置で場合分け。解と係数の関係。
6。補間多項式。必要性で絞る。三角不等式。マルコフの不等式。
7。不等式の証明。定石。相加相乗平均の不等式。
8。置き換えで見やすくする。アーベルの総和公式。
9。群論。3次関数のグラフの特徴。
10。実際に割り算してみることが大事。次数に着目。解は4個。
別解。複素数の導入。
- 268 :名無しなのに合格:2018/05/31(木) 22:11:10.17 ID:1ejlB1v7.net
- 11。因数分解。大小関係。剰余。
単位分数を作る。場合分け。
nについての数学的帰納法で証明する。階差を考える。
12。剰余。mod 3ではなくてmod 9が良い。
13。パズル的。因数分解。場合分け。
14。倍数関係。表を作って虱潰し。mod7。
15。有理数を分数で置く。分子の次数<分母の次数にする変形。
16。格子点の個数。場合分け。
17。素数と合成数。ルジャンドル。倍数関係。背理法。
18。実験してみる。切り上げ。シーリングファンクション。天井関数。
19。文字定数の分離。不完全分離で直線にする。たまたま接する。
別解。2次方程式にして解く。綺麗な値に設定されている。
20。整数論の基本定理。
- 269 :名無しなのに合格:2018/06/01(金) 00:54:07.18 ID:2jWhXmGt.net
- 21。対角線の交点の個数。3点が一直線に並ぶもの。
凸四角形1個⇔対角線の交点1個⇔潰れた三角形2個。
22。うまい具合にキャンセルされて漸化式が作れる。
23。分割数。漸化式を作る。+を計算するかしないかで場合分けして足す。
kがどこで出るかで場合分け。仕切りと分割方式でも出来る。
24。直感が大事。直感を鍛える。条件付き確率。
25。事象の分割。加法定理の一般化。包除原理。
解なし。kの値は存在しない。求めよ→存在しないという問題。
26。目の組合せで分類する。
27。事象の解析能力。視覚化する。漸化式を立てる。
28。期待値。確率変数。
29。漸化式の名作。期待値固有の解法。Σ計算に習熟する。
部分積分して(1)に結び付ける。対等性。分岐。
30。平均で考える。出題者の解答。対称性。中央が最大。パスカルの三角形から明らか。最大値は平均以上。帰納法。
31。期待値。1回:3.5で決める。2回:4.25で決める。
456。1234→123。
32。ベン図で考える。ダブりに注意する。事象の分割。
- 270 :名無しなのに合格:2018/06/01(金) 01:12:27.75 ID:2jWhXmGt.net
- 33。不等式の解の存在条件。図では際どくて答えが出ない。
34。偶奇性。文字で置く。2の冪乗が偏るのがポイント。3以上の奇数の約数を持つこと。
35。座標でやる。状況を掴むまでが大事。
36。ガウス記号。切り捨て。フロアーファンクション。床関数。背景が分かれば簡単。
37。格子点の個数。2次元でも3次元でも同じように解ける。
38。和と一般項の関係。2乗-2乗の形を作る。
39。法を自力で探して後はmod7。
40。群数列。差分。帰納法か漸化式。
41。とにかく調べる。予想して帰納法。偶奇性。不動点。二進法。
42。連続する2整数は互いに素。帰納法。分割可能。
43。領域の分割数。漸化式を立てる。試行回数と交点の個数による公式。
- 271 :名無しなのに合格:2018/06/01(金) 18:12:53.17 ID:2jWhXmGt.net
- 48。対称性を保存してベクトルでやる。集合としての一致。重心の位置ベクトル。
49。連続変数の全称命題。座標設定が妥当。場合分け。平行六面体の体積。外接球の存在の保証。
50。移項して2乗する。長方形の成立条件。一度平行四辺形を挟む。四辺形→平行四辺形→長方形の流れ。
51。対等性。対等性の保存。帰納法。Pnを始点にしなければならない。
52。移項して 2乗する。平行四辺形の条件を満たす。長方形条件を満たす。捻れの位置に注意する。同一平面上にあることを示しておく。誘導の有無の違いだけで同じ問題。線型独立な3つのベクトル。
53。三角形の内角に関する等式。準公式。文字消去と和積変換と2倍角の公式。同値変形。解の配置。中間値の定理。必要性と十分性。
54。対等性を使わずに対等性を崩して線型独立な2つのベクトルでやる。場合分け。相似。
55。座標。直感ではなく式で示す。対称性を崩す。同値変形。グラフの利用。単位円で考える。
56。正弦定理。与式に代入する。和積変換。場合分け。一文字固定法。積和変換。等号成立条件。不等式の証明。 2点間の距離の公式。対称性。初めからsin、cosと置かなくても良い。
57。ベクトルで。対称性を崩す。Oを始点にとる。Aを始点にとる。Bを始点にとる。全て別の条件式になる。
- 272 :名無しなのに合格:2018/06/01(金) 19:14:55.65 ID:2jWhXmGt.net
- 58。面積2通り。正弦定理。2倍角の公式を和積変換。内角に関する等式。
角の二等分線定理。対称性を崩す。移項して2乗する。
59。移項して 2乗するのは通用しない。始点が外心でないため。どれか1つの頂点を始点にとる。内心=重心になる。角の二等分線定理。正弦定理。
60。対等性を崩すか崩さないか。辺々2乗する。辺々足す。別解。対称性を崩してベクトルでやる。辺々2乗する。内積。三角形の形状決定問題。
別解。座標。
61。ベクトルか座標か→ベクトル。単位方向ベクトルを使う。相加相乗平均の不等式が使える。
62。余弦定理からの2次方程式は良くない。図形的考察をすべき。鋭角・直角・鈍角と三平方の定理。転換法か余弦定理。正弦定理。加法定理。十分性の確認。問題文を良く読むと対等でないことが読み取れる。
xだけを残す。微分法。
63。直交する弦を座標軸に設定する。対称性。両辺を2乗する。相加相乗平均の不等式。逆像法。文字消去。
64。座標。加法定理。一般角。結局A(1, 0) として良い。正射影ベクトル。
65。直線lをx軸に設定する。半角公式と和積変換。
正六角形を固定して直線を動かしても良い。
66。原点を通らない非平行二直線なので原点以外のある点で交わる。恒等変換。線型独立な2つのベクトル。
67。行列の漸化式。線型独立性の証明。0ベクトルの否定→線型従属の否定→とやっていく。偶奇性。場合分け。恒等変換。
68。射影変換。正射影ベクトル。固有ベクトルを座標系にとる。平面の線型変換は線型独立な2つのベクトルで決まる。全称と特称の合わせ技。係数比較。題意を満たすものを見つける。
- 273 :名無しなのに合格:2018/06/01(金) 19:51:11.69 ID:2jWhXmGt.net
- 69。実験してみる。変数が有限なので全部書き出すことが可能。1つのベクトルを設定する。正八面体の各頂点は文字で設定する。最大値は1つだけであると分かる。一意性の証明。一般の八面体でもOK。平面上の4点の問題。
70。計算するだけ。弧長。極座標変換。部分積分法。扱いづらい誘導。問も部分積分法+(1)の利用。
71。計算するだけ。関数と見て、平方完成・微分法・差分法・一文字固定法。逆像法。実数解条件。存在条件。有名不等式。必要性から十分性へ。文字の置換。具体的に代入する。
置換→有名不等式の流れ。存在条件の定式化。三角形の成立条件。三角不等式。相加相乗平均の不等式。単調増加。微分法。ゴリ押しでも行ける。文字の存在条件。
72。nの全称命題。帰納法。正の偶数は m=2^p×q (pは自然数、qは1以上の奇数) と置ける。これは重要。因数分解に気付くこと。一度も2で割り切れないことの証明。場合分け。二項定理。
73。不等式を作って当て嵌まる数値を探す。答えは何個もあるが一般論は要らない。
最高位の数字の数列。一般項。全て求める。
74。有限集合を定めて最大数と最小数を設定する定石。帰納法。狭義単調増加数列から正の単調増加数列となる。同値変形してからlogを取る。辺々加える。l=2を代入してから挟み撃ちの原理。
添字の有効範囲のケア。不等式条件も視野に入れる。
75。帰納法。挟み撃ちの原理。面積による評価。差分。誘導の利用のために式を部分利用すること。
座標系の変換。正射影ベクトル。符号付長さ。相加相乗平均の不等式の使い方。等号成立条件の確認。定数で抑える。最小値は求まっても値域は分からない。
- 274 :名無しなのに合格:2018/06/02(土) 03:46:26.53 ID:cQ9Ui9UW.net
- 有理数係数の素数生成多項式は、定数以外には存在しない。ルジャンドル(1752)。オイラー。
44。方針は幾何・座標・三角・ベクトル。
45。一文字固定法。余弦定理。相加相乗平均の不等式。
46。三角関数。場合分け。常に注意する。
√の中身は正とは限らない。
47。円弧を消せ。台形=直角三角形+長方形。
48。幾何の定理。正弦定理。
49。位置による場合分け。等号成立条件。
相加相乗平均の不等式。三角形の成立条件。
50。正弦定理。半角の公式。増加関数。減少関数。
51。反射は折り返して直進させる。
52。合同・相似・余弦定理・正弦定理。
メネラウス。チェバ。
53。余弦定理。折り目は線分の垂直二等分線。
座標。鋭角・直角・鈍角三角形の違い。
54。対称性。回転させる。重複するものは省略する。
55。対称点。文字の存在条件。tanθ/2 を利用する。
56。消去。実際に写す。解と係数の関係。
判別式。実数条件。基本対称式。X-Yを固定する。
57。反転。シュタイナーの定理。最高次の係数。
58。座標がベスト。座標軸の設定の仕方が問題。
対称性の活用。上手く設定出来れば良い。
三角関数。ベクトル。
59。根軸。束。文字の存在条件。
60。凹凸が同種の場合の上下関係。
円と放物線が接する問題。凹凸が同種のものはグラフからは判断出来ない。文字定数は分離せよ。変数を積(商)の形で集めよ。直感を排除するために式で書く。
0<a<e^(-e)の時、3個。e^(-e)≦a<1の時、1個。
1<a<e^(1/e)の時、2個。a=e^(1/e)の時、1個。
e^(1/e)<aの時、0個。変形が極小さければ単調性や凸性を変えない。驚異的に便利。
- 275 :名無しなのに合格:2018/06/02(土) 14:11:45.19 ID:IsPC+5ql.net
- 61。ベン図を書いて考える。カルノー図を書いて考える。
文字をたくさん使っても構わない。
62。帰納的に考える。両端の関係性を考察する。
63。ガウス記号の扱い方。等式扱いと不等式扱い。必要性で条件を絞れ。
64。対偶。背理法。
65。数学的帰納法。部屋割り論法。引き出し論法。鳩の巣原理。ディリクレ。組合せ論。2の冪乗×奇数。奇数の因数の個数。
66。基底。線型結合。基底をうまく選ぶ。幾何的な解法。
67。内積。線分長。ノルム。交角。座標。線型代数。ノルムにおける中線定理。ヨルダン・ノイマンの定理。内積を影と見る。位置による場合分け。
68。中点が出てくる軌跡。相似変換。相似の位置。面積比。何を止めて残りを動かす。拡大縮小変換。
69。正領域と負領域。最大値は1個だけ。
70。基底の変更。線型変換。ノルムの2乗。
- 276 :名無しなのに合格:2018/06/02(土) 14:38:10.75 ID:IsPC+5ql.net
- 71。相加相乗平均の不等式。座標。ベクトル。内積。
72。虚数解も含めた複素数解。実数解。三角不等式。複素数でも成り立つ。背理法。判別式。
73。基本対称式。相加相乗平均の不等式。複素数の問題。bを消去する。平方完成。
74。共役複素数。複素数特有の解法。複素関数論。点、ベクトル、変換。平行移動、回転・拡大。点としてのベクトル、矢線としてのベクトル。パラメーター表示。十分性。幾何+ベクトル+複素平面。
75。等比数列の和の公式。ド・モアブルの定理。対称性。2次方程式を解く。図形的に実部、虚部を判断する。中点。
76。積について閉じている。群論。実験する。正n角形。
77。符号付面積。Im の公式。三角形の面積。四角形の面積。左回りならば正、右回りならば負とする。実数なので虚部には影響しない。
虚数単位。実部と虚部。ガウス。共役複素数。絶対値。極形式。動径。偏角。回転。ド・モアブルの定理。正n角形の頂点。
78。対称な面。対称面で切る。答えを出すのが大事。
79。真横から見る。中間値の定理。
正96角形。アルキメデス。面積または周長で考える。例えばn=12としてみると失敗する。n=24としてみると成功する。
80。一般性を失わない、うまい設定を目指す。動ける範囲を考える。
- 277 :名無しなのに合格:2018/06/02(土) 16:38:34.25 ID:IsPC+5ql.net
- 81。ベクトル解析。ベクトルと微積分の融合。接線の方向ベクトル。速度ベクトル。回転。行列。複素数。ベクトルの長さの調節。単位ベクトルを作る。
82。極値点と端点。数値計算が大変。
83。対称性。場合分け。
84。無限等比級数。
85。十進法。指数対数。桁数。挟み撃ちの原理。
86。空間座標。一般性を失わない置き方。相加相乗平均の不等式。
87。双曲線の片方の枝。高木貞治の解法。見通しが立てば二回、三回と微分していくのも良い。導関数を因数分解する。
88。判別式。微分法。置き換え。相加相乗平均の不等式。分数関数の極値に関する定理。安田の定理。分母=0になるかならないか。ならない場合には極値が2つある。
89。部分積分による漸化式。減少数列。挟み撃ちの原理。tan^nだけは例外で、三角関数の基本公式から足し算の形を作る。
90。線型変換と空間座標の豪華絢爛な問題。空間の曲面。回転放物面、回転1葉双曲面、円錐面、円柱面の方程式。円錐台ではなく、回転一葉双曲面ができることに注意。
切り口はドーナツ型。三平方の定理。極め尽くされた。正射影する。
- 278 :名無しなのに合格:2018/06/02(土) 17:13:01.38 ID:IsPC+5ql.net
- 91。切り口を数式で把握する。最も多く出てくるものを固定する。場合分け。
92。領域の図示。傾き積分。解と係数の関係。文字定数は分離せよ。単調増加関数。置き換えは式を雄弁にする。
93。ミニマックス原理。チェビシェフ。交代定理。
94。チェビシェフ。積分の不等式。絶対値を外して積分するだけ。
95。成分を置いて連立方程式。Aを右から掛けたり左から掛けて、より簡単な式を導く。整数条件。detAの性質。
96。TrAの性質。相棒の存在条件。相棒を求める方針で行く。
97。ペル方程式。少しだけ教えない意地悪。誘導がそのままでは誘導になっていない。「+αの自分のアイディア」が必要とされる。双曲線上の格子点。無限降下法。
枝を飛び越えないための条件。同値変形。
98。線型性。不変と不動。不動点の存在条件。原点を通らない不変直線が存在する⇔原点以外の不動点が存在する。
メイトリックス。行列。可換な場合は片方は他方の線型結合で表される。これは2次正方行列に特有の性質で、他の次数では成り立たないことに注意。ハミルトン・ケイリーの定理。
99。正弦定理。余弦定理。tanの加法定理。内積。x軸に垂直だったり直交する場合には使えない。接点を主役にする。余分な解が得られてしまう可能性に注意。
100。準円。二次曲線における代入と式変形の基本を学ぶ。解と係数の関係。除外点。垂線の足を三角関数で表示する。長方形をなす。楕円の中心の座標。円弧の一部。
(1)全て可能グラフである。(2)x軸対称移動をb, -120°回転をwとすると b^2=w^3=E(恒等変換)。3で割って2余ることは無い。答え「nは3の倍数または3で割って1余る自然数」。群論。グラフ理論。正三角形の変換。
- 279 :名無しなのに合格:2018/06/02(土) 23:01:55.83 ID:yjbBzGCO.net
- 1。割り算の式を立てる。係数比較。帰納法。フィボナッチ数列。
2。1の立方根。zに上手い値を代入して必要条件で絞る。
3。(1)mod 3で考える。(2)連続二整数は互いに素なので2と5は分離する。(3)奇素数。6m±1と置ける。
4。割り算の式を立てる。イデアル。帰納法。
1。実際に設定して立式する。係数比較。差分と見なす。ラグランジュの補間。
2。二項定理。(1)の利用。偶奇で場合分け。両辺を微分する。
3。n=2で必要性から攻める。
4。うまく条件を取り入れて立式する。
5。相加相乗平均の不等式。三角関数の合成。ベクトルの内積。グラフの利用。微分法。必要性から攻める。
6。同値変形。不等式で絞る。
7。ディリクレの引き出し論法。鳩の巣原理。部屋割り論法。
8。面積てま評価する。項ずつを評価する。背理法。設定して矛盾を導く。
9。鳩の巣原理。面積の公式。
10。互いに素。背理法。同値変形。ピックの定理。
- 280 :名無しなのに合格:2018/06/03(日) 16:46:24.97 ID:UmtliZT0.net
- 5。平方完成。立方完成。
6。差分。具体的に構成する。置換。
11。数直線の利用。
12。相加相乗平均の不等式。三角形の成立条件。
13。背理法。
14。判別式。解の定義。
15。判別式の値で場合分け。不等式。単調増加。背理法。一般論。
16。次数を設定する。因数定理。
17。一文字固定法。座標平面で図形の共有点。
18。微分法。(1)の利用。帰納法。3^n個。1個。(3^n+1)/2。
- 281 :名無しなのに合格:2018/06/04(月) 22:46:41.63 ID:0Jt7CtZ7.net
- 7。対称点。合同。三平方の定理。直角三角形。中線定理。座標。ベクトルの内積。
8。中点連結定理。直角三角形の斜辺の中点。外心。9点円の定理。ベクトル。中点。平行四辺形。
9。相似。大円。接線。接平面。方冪の定理。
19。角度設定。円の軌跡。
20。垂線の足。共円点。相似。垂線。
21。円の中心に着目する。場合分け。
22。接線。垂直に二等分する。共円点。平行四辺形。
23。メネラウス。面積。面積比。ベクトル。
24。面積。等積変形。
25。展開図。対称点。余弦定理。相似。体積の公式。
26。球面の内部。外接円。対称性。
- 282 :名無しなのに合格:2018/06/04(月) 23:00:29.25 ID:0Jt7CtZ7.net
- 10。余弦定理。除外点。正弦定理。幾何的考察。第1余弦定理。第2余弦定理。
11。通過範囲。一文字固定法。逆手流。実数解条件。包絡線。幾何的考察。放物線の準線。
12。tanの加法定理。ベクトルの内積。余弦定理。座標。方冪の定理。
27。平行四辺形。交点は連立する。代入する。
28。円の外部にある条件。場合分け。幾何的考察。垂線の足。垂直二等分線。
29。余弦定理。ヘロンの公式。三角形の成立条件。二等辺三角形。
30。対称点。折れ線の最小値。円の軌跡。除外点。幾何的考察。アポロニウスの円。
31。中点をとる。パップスの定理。中線定理。余弦定理。
32。角度を設定する。正弦定理。重心を設定する。
33。球面。円の方程式。点と平面の距離。
34。球面。直線。ベクトル。幾何的考察。
- 283 :名無しなのに合格:2018/06/05(火) 00:59:22.30 ID:m+i8xCJB.net
- 13。指数を整数にする。両辺をn乗する。具体的な数値から抽象的な関数を思いつく。通分する。上に凸。和積変換の公式。内接正9角形。3倍角の公式。
14。三角関数。対称性。正弦定理。位置ベクトル。余弦定理。
35。因数分解。場合分け。置換。
36。三角関数の合成。不等式。単調減少。グラフ。偶関数。周期関数。
37。和積変換。上に凸。相加相乗平均の不等式。
38。正弦定理。合成。
39。背理法。有理数を設定する。互いに素。
40。因数分解。倍数を設定する。不等式で挟む。
41。グラフ。相加相乗平均の不等式。連続関数。中間値の定理。
- 284 :名無しなのに合格:2018/06/05(火) 01:09:06.94 ID:m+i8xCJB.net
- 15。奇関数。端点と中点。高々2個。背理法。チェビシェフの多項式。
16。文字を設定する。因数分解型で設定。場合分け。
17。回転体の体積。最近と最遠。放物線。
42。普通に。増減表。
43。普通に。文字消去して微分法。定義域にはいつも注意する。
44。設定して立式。文字の存在条件。方程式論。接線法線。複法線。
45。微分法。極小値。偶奇で場合分け。三角不等式で切っていく。
46。解と係数の関係。グラフ。絶対値。
47。微分法。関数列。帰納法。増減表。
- 285 :名無しなのに合格:2018/06/05(火) 01:22:25.21 ID:m+i8xCJB.net
- 18。条件をなるべく多く含むように立式する。係数比較。面積公式。B関数。平行移動して計算の省略化。
19。関数の増減。微分積分学の基本定理。積分法の平均値の定理。背理法。
20。関数の内積。直交性。ルジャンドルの多項式。不等式。
21。対称性。切り口の面積。垂線の足。単位ベクトル。正射影。楕円。斜回転体。
48。定積分=定数と置く。後は計算。
49。設定する。係数比較。
50。極値の差。テクニック。
51。物理的な問題。速度。加速度。
52。関数方程式。計算するだけ。凸関数。背理法。
53。ベクトルの利用。パラメーター。文字消去。断面積。相似縮小。半円錐。
54。直円錐面の方程式。切り口は双曲線。余弦定理。直角三角形。対称性。球帽。
55。相似。断面積。幾何。場合分け。
- 286 :名無しなのに合格:2018/06/06(水) 00:27:03.14 ID:HCxZYHBf.net
- 22。差分。2か3で割る。等比数列になるように適当に変形する。または等差数列になるように適当に変形する。和分。
差の形を作る。帰納法。
23。実験して法則を掴んだら帰納法。偶奇で場合分け。
24。幾何的な問題。実験して法則を掴む。
57。処理するだけ。
58。1の立方根。漸化式。二項係数。
59。帰納法。
60。三角形の成立条件。格子点の個数の数え方。
61。共役無理数。解と係数の関係。偶奇で場合分け。漸化式の構造。
62。ガウス記号。不等式。数え上げる。
63。群数列。二重構造を掴む。
64。組合せ論。ガウス記号。数え上げる。
65。関数列。帰納法。
66。フィボナッチ数列。特性方程式。漸化式。普通に立てる。
- 287 :名無しなのに合格:2018/06/06(水) 00:27:18.06 ID:HCxZYHBf.net
- 22。差分。2か3で割る。等比数列になるように適当に変形する。または等差数列になるように適当に変形する。和分。
差の形を作る。帰納法。
23。実験して法則を掴んだら帰納法。偶奇で場合分け。
24。幾何的な問題。実験して法則を掴む。
57。処理するだけ。
58。1の立方根。漸化式。二項係数。
59。帰納法。
60。三角形の成立条件。格子点の個数の数え方。
61。共役無理数。解と係数の関係。偶奇で場合分け。漸化式の構造。
62。ガウス記号。不等式。数え上げる。
63。群数列。二重構造を掴む。
64。組合せ論。ガウス記号。数え上げる。
65。関数列。帰納法。
66。フィボナッチ数列。特性方程式。漸化式。普通に立てる。
- 288 :名無しなのに合格:2018/06/06(水) 00:40:04.52 ID:HCxZYHBf.net
- 25。内分点。加重重心。位置ベクトル。同値変形。
26。幾何。合同。平行四辺形。座標。回転行列。ベクトル。
27。空間ベクトル。対称性。変域。
67。重心。外心。相似拡大。不動点。相似変換。
68。ベクトルの読み書き。通過範囲。一文字固定法。
69。パラメーターの処理。文字消去の問題。係数比較。立体に一般化する。
70。条件整理の問題。線型独立。
71。前問の3次元化。処理の問題。幾何。共線条件。共面条件。
72。図示して考える。ベクトル。切り口の断面積。積分。
73。円のベクトル表示。2乗して扱う。内積も普通の式と殆ど同じ。座標。角度をパラメーターにとる。
74。等面四面体。ベクトルで。補助の直方体を用意する。
75。座標をうまくとる。接平面。見える部分と見える時間。図示して考える。パップスの定理。中線定理。
- 289 :名無しなのに合格:2018/06/06(水) 00:53:16.49 ID:HCxZYHBf.net
- 28。一対一に対応させることがポイント。最大数で場合分け。文字に置いてΣ。組合せ。
29。写像の個数。置換。恒等変換。逆写像。包除原理。
30。余事象。論理の活用。独立試行。二項定理。排反。原因の確率。条件付き確率。
31。期待値。独立事象。
76。円周上の三角形。鋭角直角鈍角。
77。二項分布。論理。
78。余事象。排反。直接。排反。論理。
79。文字で置く。文字消去の問題。mod。場合分け。
80。排反に場合分け。論理。漸化式を立式する。
81。論理。場合分け。漸化式。
82。排反。等比数列。2次方程式。2項間漸化式が作れる。
83。図示して考える。論理。条件付き確率の定義に従う。
84。破産の確率。排反。漸化式を作る。
85。枝分かれの状況を追跡する。Σ。漸化式を立てる。
- 290 :名無しなのに合格:2018/06/06(水) 01:06:19.65 ID:HCxZYHBf.net
- 32。同次式。対称式。微分法。増減表。極座標に変換する。
33。楕円。場合分け。相加相乗平均の不等式。楕円を円に変換して考える。準円。対称性。
86。微分法。安田の定理。解と係数の関係。
87。文字で設定。普通に。
88。円と接線。極と極線。楕円のパラメーター表示。(1)の利用。文字の存在条件。内積。コーシー・シュワルツの不等式。
89。漸化式の解法。等比数列型。
90。楕円と双曲線は同じ式で表される。同じ焦点の場合、共焦点直交2次曲線群。
91。2次曲面。円錐面。楕円。ベクトルの内積の利用。楕円錐。
92。二次曲線の定義。和が一定。差が一定。直線と点までの距離が等しい。離心率。接線の方程式。対称点。双曲線。
- 291 :名無しなのに合格:2018/06/06(水) 01:33:40.48 ID:HCxZYHBf.net
- 34。挟み撃ちの原理。ガウス記号の等式処理。連続性。特に合成関数に関してlogの連続性。部分和をとってlimit。場合分け。平均値の定理の利用。不等式評価。
35。幾何的な問題。下に凸。ロルの定理。コーシーの平均値の定理。ロピタルの定理。シュバルツの二回微分係数。
93。偶奇で場合分け。ペル方程式。帰納法。近似計算に使える。
94。帰納法。ニュートン法。
95。幾何的な問題。共通垂線に近付く。
96。グラフの利用。定石的変形。等比数列的。三角関数の処理能力。
97。漸化式を立式する。2進法の利用。偶奇で場合分け。
98。焦らずにケアしてから。グラフの利用。
99。確率と期待値の極限。偶奇で場合分け。Σ。対称性。対等性を最大限活用するように。極限の期待値方程式。
- 292 :名無しなのに合格:2018/06/06(水) 02:19:48.51 ID:HCxZYHBf.net
- 48。成分計算。3項間漸化式風に。等差数列風に。整式の割り算。微分法。スペクトル分解。直和分解。ケイリー・ハミルトンの定理。固有方程式。
49。0以外の固有ベクトルが存在する条件。固有方程式。線型独立。固有値。回転。折り返し。鏡映。正射影。対称行列の固有値。固有ベクトル。平行射影。斜射影。正射影。線型独立。線型従属。線型性。
不動直線。不動点。不変直線。
50。成分計算。ベクトルの内積。直交変換。合同変換。
122。ケイリー・ハミルトンの定理。逆行列。
123。うまい行列を右から掛ける。背理法。
124。冪零行列。二項定理。冪零行列。
125。対角化。級数に対してI-Aを掛ける。
126。回転行列。線型変換。mod 2πに注意。
127。正則か否か。平面→平面、直線、原点。ベクトルで表された領域の意味の取り方。簡単な図形の像。三角形。単位円。直線。曲線。
128。正射影の行列。成分計算。線型独立な2本のベクトルで考える。内積で。スペクトルを考える。
129。不動直線に着目する。成分計算。ベクトル・線型変換で。相似拡大。平行四辺形。
130。原点を通らない不変直線⇔原点以外の不動点。直線を設定してうまく計算する。ベクトルで。
- 293 :名無しなのに合格:2018/06/06(水) 20:16:43.00 ID:HCxZYHBf.net
- 36。微分法。増減表。対称性。パラメーターによる場合分け。三葉線。
37。単調増加関数。平均値の定理の形。中間値の定理。挟み撃ちの原理。積分する。単調減少。
38。関数方程式。微分係数の定義。有限確定値。微分可能性。連続性。奇関数。増加関数。
39。ロルの定理。連続で微分可能。文字定数を分離する。テイラーの定理。マクローリンの定理。剰余項。オイラーの公式。ド・モアブルの定理。
100。有名曲線。グラフの利用。2^4=4^2。
101。微分法。グラフを描く。
102。
- 294 :名無しなのに合格:2018/06/06(水) 20:37:55.33 ID:HCxZYHBf.net
- 102。外接円の半径。微分法。減少関数。増加関数。傾き。
103。微分可能性。ε‐δ論法。近似的な考え方。偶関数。挟み撃ちの原理。振動する。
104。高階微分と幾何的な問題。傾き。計算するだけ。
105。物理的な問題。幾何。二次曲線の定義。焦点と準線。ベクトル。計算の処理能力。
106。幾何的な問題。図形的考察はあまり要らない。式に乗せた後の計算処理能力が大事。曲率。曲率半径。曲率円。曲率円の中心。
40。定石を少し離れた不定積分。区分求積法。連続性。グラフの利用。面積による評価。単調減少。陰関数。原点の回りの回転。楕円の面積。
41。交点は連立する。図を描いて面積の足し引きをして求める(円・扇型・多角形の面積公式を利用する)。単に左から積分することはしない。
42。対称性。平均化すると、ある長方形と同じ面積になる。区分求積法。2式を足す。
43。パラメーター表示された曲線の図示と求積。偶関数。奇関数。周期性。対称性。初めにチェックしておく。増減表。 は手間が掛かる。カーディオイド。心臓形。外サイクロイド。極座標表示。
44。円柱の共通部分。断面積を求めて積分する。場合分け。正方形と円板の大小。体積は頻出。表面積は聞かれない。
対等性から分割して求めて良い。
45。微分方程式。変数分離形。積分方程式。幾何的な問題。積分因子は誘導に乗る。特異解については聞かれない。曲線群。定数変化法。
46。水の問題。公式の利用。微小体積と表面積と微小高さの関係。微分方程式。
47。微分方程式。幾何的な問題。接線の方程式。アステロイド。包絡線。特異解。存在領域の問題。
- 295 :名無しなのに合格:2018/06/06(水) 20:56:13.81 ID:HCxZYHBf.net
- 107。ヤングの不等式。
108。絶対値が付いているので場合分けして外す。y軸対称。微分法。バウムクーヘン分割。円筒分割。
109。級数の収束と発散。公式通り。
110。ベクトルを利用して動点Pをパラメーター表示する。極座標表示の求積公式が使える。
111。カテナリー。微分公式。弧長の公式。
112。動点の問題。物理的な問題。
113。微分して増減表を描いてパラメーター積分する。最終的にいつも1つの式にまとまるのがポイント。
114。物理的な問題。余弦定理。積分。
115。回転体の体積。パップス・ギュルダンの定理。
116。面積による評価。挟み撃ちの原理。
117。帰納法。連続関数。最大値を持つ。不等式評価。背理法。連続関数。
118。斜回転体の求積。回転してパラメーター積分。回転軸に垂直な断面で切って断面積を求めて積分することも出来る。
119。図を描いて求積する。展開図で考える。三角関数のグラフになる定番問題。
120。速さに関する文章題は、題意を掴んで立式するまでが勝負。あとは積分するだけ。微小時間内の移動距離を正確に把握するようにする。
121。関数方程式の微分可能性。連続関数。右辺が微分可能だから左辺も微分可能という論法。よくある。一意性の証明は要求されない。
- 296 :名無しなのに合格:2018/06/08(金) 02:40:14.44 ID:n71Gdaxe.net
- 1。因数定理。素因数分解。素数。不等式で絞る。剰余の定理。二項定理。微分法。
2。イデアル。整数論の基本定理。互いに素。剰余系。書き出す。場合分け。
3。剰余系。書き出す。場合分け。背理法。ピタゴラス数。
4。単調減少数列。中間値の定理。不等式。
1。割り算の式。剰余の定理。ラグランジュの補間式。
2。共役複素解。因数定理。
4。多項式を設定する。次数を決める。一致の定理。
5。相加相乗平均の不等式。凸関数。内積。三角関数。微分法。
6。不等式評価。不定方程式。場合分け。
7。偶奇性。不等式評価。場合分け。
8。有理数を設定する。背理法。
9。論理の問題。実験して状況を掴む。場合分け。
10。写像の個数。帰納法。背理法。集合の利用。
- 297 :名無しなのに合格:2018/06/08(金) 02:50:40.14 ID:n71Gdaxe.net
- 5。解と係数の関係。解の公式。場合分け。
6。相加相乗平均の不等式。微分法。楕円のパラメーター表示。
7。有理数の設定。互いに素。対偶。因数定理。
11。交点は連立する。判別式。グラフの利用。
12。文字消去。相加相乗平均の不等式。
13。解と係数の関係。不定方程式。
14。相異なる3実解を持つことを示す。解を三角関数で設定できると楽。
15。数直線上の2点間の距離と見做せる。
16。abに関する線型計画法。逆像法。
17。文字消去。関数の利用。内積。
18。対称性。場合分け。0, 1, 2, 4個となる。
離れている。1点で接する。1点で接し、1点で交わる。4点で交わる。
- 298 :名無しなのに合格:2018/06/09(土) 02:04:53.28 ID:qKnG8nhW.net
- 8。垂線の足。平行線。面積比。メネラウス。チェバ。
9。接弦定理。共円点。
10。展開図。相似。三平方の定理。面積比。余弦定理。体積比。
19。余弦定理。正弦定理。内接四角形の定理。角の二等分定理。面積比。
20。中点連結定理。ベクトル。
21。座標。幾何。
22。垂線の足。面積比。
23。垂線の足。メネラウス。面積比。
24。正弦定理。余弦定理。円周角の定理。
25。切断面。正四面体の幾何学。方冪の定理。
26。図を描く。場合分け。幾何。
- 299 :名無しなのに合格:2018/06/09(土) 02:13:49.44 ID:qKnG8nhW.net
- 11。点と直線の距離の公式。実数条件。傾き。ベクトル。内積。
12。ベクトルの内積。除外点に注意。
13。球面の方程式。不等式。ベクトル。直線。垂線の足。
27。線型計画法。値域を求める。一文字固定法。逆手流。実数解条件。
28。三平方の定理。平方完成。角度をパラメーターにとる。三角関数の公式を用いる。
29。置換。存在条件。一文字固定法。包絡線の利用。
30。場合分け。パラメーター付き最大最小。円と放物線の位置関係。
31。面積比。文字で置く。平方完成。有名不等式の利用。
32。直線束。例外に注意。文字の処理。実数解条件。
33。2次方程式の理論。実数解条件。軌跡。
34。設定する。内積。場合分け。三角関数で置いても同じ。
- 300 :名無しなのに合格:2018/06/09(土) 02:23:00.29 ID:qKnG8nhW.net
- 14。底の条件。真数条件。同値変形。場合分け。置き換え。グラフの利用。三角関数の処理能力。2乗して加える。文字消去。
15。三角関数の合成。場合分け。微分法。重心。外心。正三角形。
35。底を揃える。
36。条件を整理する。手際よくやる。
37。対数関数のグラフ。平行移動。上に凸。逆関数。
38。置き換え。実数解条件。解の配置。
39。和積変換。三角形の内角の和=π。場合分け。
40。場合分け。幾何。正弦定理。正三角形。
41。円と直線の問題に言い換える。式を読む。傾き。角度θの存在条件。単調増加。存在条件を考える。
- 301 :名無しなのに合格:2018/06/09(土) 02:32:02.62 ID:qKnG8nhW.net
- 16。3次関数の接線の本数。定石。
17。接線と法線。文字処理。実数解条件。軌跡。
18。二項定理。微分法。点対称。降冪。平行移動。テイラー展開。超越関数。
42。極値の条件。文字処理の問題になる。基本対称式。割り算の原理。極値を通る直線の扱い方。
43。共通接線。重解条件。
44。傾きtan。単調増加。係数比較。
45。複接線。重解条件。
46。微分すると等比級数の形が出てくる。場合分け。偶奇で場合分け。中間値の定理。
47。3次関数のグラフの利用。絶対値の大小。箱を作る。
- 302 :名無しなのに合格:2018/06/09(土) 08:32:32.87 ID:qKnG8nhW.net
- 19。線対称。文字で置いて計算するだけ。初めからなるべく条件を組み込んで立式できると楽になる。
20。積分の内積。直交性。計算するだけ。割り算の原理を利用する。
21。接する=重解条件。係数比較。計算するだけ。
22。図示して考える。断面積を求めて積分。正射影。
23。カバリエリの原理。β関数。
48。両辺を微分して良い。積分方程式。代入する。
49。計算するだけ。恒等的に正または負に成り得ない事の証明。少なくとも1つの実数解を持つ。
50。計算するだけ。β関数の利用。平行移動。平均値の定理。
51。カバリエリの原理。共通接線。係数比較。重解条件。
52。最良二乗近似。計算するだけ。
53。文字で置いて処理する。計算して文字間の関係を導く。放物線になる。
54。不等式。端点の値。場合分け。円を平行移動したものになる。すなわち半円+長方形+半円。
55。共通接線。対称性。場合分け。
56。動点の問題。パラメーター表示。通過領域。断面積を求めて積分。
57。対称性。図示して考える。幾何。垂線の足。体積は積分する。
- 303 :名無しなのに合格:2018/06/09(土) 08:54:21.39 ID:qKnG8nhW.net
- 48。ケイリー・ハミルトンの定理。スカラー行列。線型結合。行列式。トレース。場合分け。
49。直和分解。スペクトル分解。射影行列。解と係数の関係。
50。固有値。固有ベクトル。行列のn乗。固有方程式。回転行列。対角化。
122。回転行列。鏡映変換。
123。成分計算。対角行列のn乗。
124。線分のパラメーター表示。線型変換。不変である条件。線分の像。
125。恒等式。成分計算。不変。内積を保つ変換。直交変換。ただしノルムは変化しても構わないので、直交変換よりも緩い。
126。行列のランクの問題。像の次元を考える。平面→原点を通る直線→原点。原点は原点に写る。
127。ベクトル表示して線型性で終わる。不動点の存在。重心。不動点の集合としての不動直線が存在する。
128。垂線の足。射影変換。円弧になる。正射影ベクトル。2点の像で決まる。
129。条件を文字で置いて式に乗せる。円になる。変域を求める。
130。スカラー行列か非スカラー行列かで場合分け。ベクトル表示して線型性。ケイリー・ハミルトンの定理。3点が一致しても題意を満たすので問題ない。共線条件。
成分計算すると計算するだけで答えは出るが意味が分からないので、出来るだけベクトル表示して線型性を使う方が良い。
- 304 :名無しなのに合格:2018/06/09(土) 09:27:01.69 ID:qKnG8nhW.net
- 24。漸化式の解法。特性根。等比数列型と等差数列型。差分と和分。帰納法。
25。群数列。二重構造。
26。格子点の個数。
58。表の形の問題。規則性を発見する。
59。二項係数の有名等式。微分法。
60。表の形の問題。有名解法がある。
61。偶奇性。帰納法。
62。強化帰納法。解が想像出来る。
63。実験→予想→帰納法。Σ計算。
64。小さい順に並べる問題。等式を作ると解けることがポイント。
65。偶奇性。実験→予想。きれいに解ける。
66。二進法の群数列。規則性。
- 305 :名無しなのに合格:2018/06/09(土) 09:38:35.58 ID:qKnG8nhW.net
- 27。共線条件。面積比。面積公式。
28。線型結合。終点の移動範囲。一文字固定法。
29。空間バージョン。一文字固定法。平行四辺形。四面体。
67。線型結合。内積。
68。始点をどこに定めるか。ベクトルの式を読む。内分点。軌跡。
69。重心。内積。軌跡。
70。円のベクトル表示。直線のパラメーター表示。メネラウス。
71。ベクトルの式を読む。内分点。幾何的に最大最小が分かる。座標でも出来る。
72。式を読む。論証問題。対称性から解答が得られる。必要性で絞って十分性を確認するパターン。
73。正四面体の幾何的性質。外心と重心は一致する。中点連結定理。正四面体の重心の利用。
74。直線と平面の交点の座標。体積比。中点連結定理。
75。直線と点で張られる平面。ベクトル表示して連立する。共線条件。
- 306 :名無しなのに合格:2018/06/09(土) 09:52:33.84 ID:qKnG8nhW.net
- 30。重複組合せ。単純な公式適用問題ではない。一捻り。
31。確率漸化式。漸化式無しで二項定理+Σ計算。
32。ランダムウォーク。漸化式。偶奇で場合分け。他の漸化式も立つ。等比級数を作って計算する。
33。確率変数。二項分布。期待値と分散の公式がある。独立な場合の公式が使える。
76。ランダムウォーク。全部調べる。力技。
77。論理の活用。排反。余事象。和事象。
78。整数問題。場合分け。余事象。
79。ゲームの期待値。座標平面上に図示する。
80。双六。対等性。整数問題。mod。等比級数。n回で終了しない場合もある。
81。ジャンケンの確率。出る手の種類で場合分け。余事象。
82。論理の問題。一致するかしないか。対等性。
83。題意を掴む。場合分け。
84。推移を追い掛ける。一本道で簡単。
85。二項分布。確率変数。期待値。分散。XとYは独立なので公式が最大限使える。
- 307 :名無しなのに合格:2018/06/09(土) 12:37:33.45 ID:qKnG8nhW.net
- 34。一次分数関数。逆関数。規則性。極と極線。接線公式。
35。定義。離心率。焦点と準線。角の二等分線。対称点。中点連結定理。楕円。極方程式。
86。絶対値を外す。対称性。逆関数。係数比較。
87。逆関数。解を持つ条件。判別式。面積。
88。直角双曲線の一定値問題。
89。直交する円と円。接ベクトル。存在条件。
90。3次元から2次元への写像。軌跡の方程式。場合分け。
楕円・放物線・双曲線。
91。相加相乗平均の不等式。微分法。三角関数でパラメーター表示。
92。ベクトルを使ってパラメーター表示する。有理数条件。場合分け。楕円。線分。
- 308 :名無しなのに合格:2018/06/09(土) 12:50:57.46 ID:qKnG8nhW.net
- 36。eの定義式。有理化。二項定理。収束する項を作る。場合分け。大きい方が支配する。挟み撃ちの原理。関数の連続性。発散する級数。級数の公式。
37。連続性。
38。帰納法。挟み撃ちの原理。グラフを利用すると極限値が見える。
93。整級数による近似。一次近似。
94。マクローリン展開。帰納法。剰余項の分だけe^xの方が大きい。logでも同じ。置き換え。
95。収束する項を作らないと論理的に不正確。対等性から結局予想通りの極限値にはなる。
96。フラクタル幾何学。相似な図形の無限等比級数。
97。関数方程式。抽象的な問題では基本的な定理を利用する。連続関数。中間値の定理。グラフの概形から直感的な説明もあり。
98。座標平面上の問題に読み換える。ベクトルを使っても良い。無限等比級数。
99。内接正多角形。1つの内角を設定する。円の伸開線。インボリュート。極座標表示の面積公式で掃く面積が求まる。
- 309 :名無しなのに合格:2018/06/09(土) 13:08:30.71 ID:qKnG8nhW.net
- 39。分数関数のグラフ。パラメーター曲線のグラフ。増減表が細かくなる。点をいくつかプロットしてみる。リサージュ曲線。
40。連続性。微分係数。増加関数。
41。単調増加関数。連続関数。微分可能。平均値の定理。グラフによる視覚化。挟み撃ちの原理。
100。差を取る。微分法。凸性。平均値の定理。面積の比較。
101。共通接線。場合分け4通り。
102。文字で置いて後でその値を求める。
103。動点の問題。速度ベクトル。微分法。
104。連続性。微分可能性。ロルの定理。相加相乗平均の不等式の証明。凸性。重心の位置。
105。接線間の距離。法線ベクトルで考える。
106。マクローリン展開。eの無理数性の証明。背理法。分母を払うと整数になる矛盾。
- 310 :名無しなのに合格:2018/06/09(土) 13:23:10.87 ID:qKnG8nhW.net
- 42。不定積分と定積分。等式(対称性)を利用した定積分。半円の面積。区分求積法。ウォリスの公式。β関数。
43。関数の増減を考える。中点の時に最小になるのが分かる。
44。バウムクーヘン分割。円筒分割。円環。
45。アステロイド。パラメーター表示。弧長。面積。回転体の体積。どちらもウォリスの公式が使える。
46。微分方程式。積分方程式。関数方程式。変数分離形。定積分を定数と置く。不定積分は微分する。
片方の辺で微分可能ならば両辺微分可能。比例の式。一次関数。指数関数。対数関数の性質に注意。
47。水の問題。微小体積=表面積×微小高さ。
107。fの単調増加性を使う。gも単調増加であることが示せる。積分法の平均値の定理。
108。交点を取り敢えずαと置いて進める。後で消去出来る。
109。弧長=線分長として求める。偏角を設定するのがポイント。ベクトルによるパラメーター表示。
110。図示して求積する。極限値。
- 311 :名無しなのに合格:2018/06/09(土) 13:37:43.26 ID:qKnG8nhW.net
- 111。減衰振動。ブロックを作って足していく。無限等比級数になることに気付く。
112。絶対値を外して区間を半分にする公式を使う。積分可能。部分分数分解出来る式が現れて極限値を求めて終了。
113。複雑な見た目、誘導に従うと面倒ではない。流れに乗ること。
114。半減期。物理。微分方程式。
115。幾何的な微分方程式。解くのは容易。回転すると見易くなる。
116。関数不等式。代入する。微分係数の定義。導関数の存在。実はf(x)は先に求まる。求めてしまえば速い。
117。両辺を微分する。逆関数を使う。
118。同次形なので文字で置く。代入する。両辺を微分する。面積に着目する。
119。図示して面積を求める。積分して体積を求める。断面は直角三角形。
120。積分する。切り口は円板。その切り口は線分。これを寄せ集めて面積を求める。
121。断面積を求めて積分する。断面は図示して正確に把握すること。極座標表示の面積公式が使える。
- 312 :名無しなのに合格:2018/06/10(日) 12:56:43.40 ID:ED4BrVu/.net
- 90
1。a≦1990×9<18000、b ≦9999、c≦36、d=9。
2。√を消去するとうまく進む。解と係数の関係。
3。∀n^2≡1,4,9,6,5,0 (mod 10)、
a000,a111,a444,a999。1444。38。
4。1/8 +1/64 =9/64。
5。相似。面積比。
6。2,3,5,6,15,10。14+9+5-4-1-2+0=21。22×3=66
7。共通因数を引き抜いて平方完成。972。
8。周期性。 999。
9。ユークリッドの互除法。
10。相加相乗平均の不等式。コーシー・シュワルツの不等式。
11。文字で置いて三平方の定理。
12。両辺を2乗してΣ。不等式評価。
- 313 :名無しなのに合格:2018/06/11(月) 01:07:11.84 ID:SFWwjzF/.net
- 91
1。(100-1)^2→9×80+8+1=729。
2。Σxi^199=199×5= 995。
3。ヘロンの公式。3/4 16+8√6、-16+8√6 = 6√2。
4。分母を払って双曲型。
5。点には関係せず216-36=180、
6。二進法。
7。不等式で絞って候補を探すだけの問題。
8。不等式で絞る問題。
9。偶奇性。かなり沢山書かないと規則性が見えない。
10。4点が同一平面上にあるもの。6点が同一平面上にあるもの。
11。ABとBAを先に作る。どちらでも良いが方針を決めてどちらかを先に数えること。
12。題意を満たす多面体の全ての頂点間の距離の2乗はn^2となる。
- 314 :名無しなのに合格:2018/06/11(月) 19:40:43.86 ID:cxcLPy9j.net
- 92
1。mod。順番にやっていくと周期10で繰り返す。5。
2。1の立方根。67個。
3。3次方程式の解と係数の関係。1929。
4。通分する。分子が因数分解される。
5。7以上のカードの中で7が最初に出る確率。
6。面積比。因数分解出来る。
7。不等式で絞る。
8。不等式で絞る。当て嵌めてみる。
9。題意を掴んで計算するだけ。
10。実験する。規則性を掴むまでがポイント。
11。文字で置いても出来るが辛いところ。三角関数の方が良い。
12。実験する、サイクリックな写像。最小公倍数。円順列。
- 315 :名無しなのに合格:2018/06/11(月) 19:56:56.85 ID:cxcLPy9j.net
- 93
1。中国剰余定理。書き出しても出来る。
2。同じものを含む順列。
3。24等分。
4。面積公式。ユークリッドの互除法。
5。石鹸膜の原理。
6。軌道。合成写像。有限集合。巡回置換。直和に分解。場合分けして数える。
7。勝つと右に負けると上に動くような図を描いて考える。書き込み方式と同じ。
8。図形的に解釈すると直円錐となる。
9。漸化式。逆に辿っていく。かなり沢山書くことになる。
10。係数の連立方程式を作る。
11。一筆書きにおいて始点と終点は3本の線分の出会った点である。対称性。漸化式を作って辿っていく。
12。文字で置く。百の位が不等式評価により決定される。あとはかなり長いが虱潰しをやっていけばOK。
- 316 :名無しなのに合格:2018/06/13(水) 01:03:23.16 ID:eteQLftB.net
- 94
1。点と直線の距離。整数論の基本定理。互いに素。
2。ガウスの補題。3乗する。
3。ベクトルの線型結合。内積。
4。mod 4で考える。推移を表にしてみる。
5。文字で置いて面積比。
6。場合分け。円順列。
7。回転して同じになるものを場合分けして数える。
8。和が一定になるように集合を分割する。
9。不等式評価。極限。
10。存在しない。背理法。偶奇性。
11。斉次式かつ交代式で割り切れる。6次式になる。
12。最小性を幾何的に見出す。格子点または支店の所在地であることが必要条件となる。
- 317 :名無しなのに合格:2018/06/13(水) 01:14:02.26 ID:eteQLftB.net
- 95
1。分母を払って2乗する。
2。偶数点と奇数点。一筆書き。
3。角の移動。二等辺三角形。
4。ド・モアブルの定理。係数比較。
5。確率漸化式。
6。4の分割数になる。対等性。書き出す。
7。場合分け。4通り。
8。因数分解=素因数分解の形。答えは2個。
9。全部で16通り。最大値は17。十分性の確認。
10。正射影した図形は円になる。内積の逆を考える。
11。図形をイメージして、一面を固定して考える。 4通りしかない。
12。交代式。差積で割り切れる。うまく当て嵌めながら進める。因数定理。対称式。不変。
- 318 :名無しなのに合格:2018/06/13(水) 20:48:35.17 ID:/IVjTMwF.net
- 96
1。体積を2通りに表す。
2。対を作って並べる。
3。平方完成して不等式で挟む。
4。解と係数の関係。
5。場合分け。6個恒等写像。3個サイクリック+3個恒等写像。3個サイクリック+3個サイクリック。
6。(1)と(3)。(1)と(2)。(1)と(3)。
7。定石の置き換え。単位分数を作る。
8。ガウス記号の処理。
9。凸集合の体積。半円+長方形+半円。
10。場合分け。二進法。
11。オイラー関数。約数の個数。
12。回転移動。対称移動。調べ上げる。場合分け。漸化式。
- 319 :名無しなのに合格:2018/06/13(水) 20:58:35.49 ID:opfQWeA7.net
- ひえっこれ全部手打ちしたんか
- 320 :名無しなのに合格:2018/06/13(水) 21:02:11.89 ID:/IVjTMwF.net
- 97
1。基本的な問題。
2。多角形の辺と対角線にする。
3。法線ベクトル。正射影。
4。恒等写像。巡回的に並べる。円順列。
5。幾何。動点の問題。余弦定理。
6。共役。解と係数の関係。
7。下の方は殆ど0。途中に1が入る。
8。係数比較。微分法。重解問題。
9。有限体の理論。素体。ユークリッドの互除法。逆元。原始根。
10。規則性。4進法で解ける。
11。平行六面体。直方体。対角線の長さの半分。
12。題意に沿うように座標系を取る。全て書き出せればよい。
- 321 :名無しなのに合格:2018/06/14(木) 02:08:34.37 ID:iU7Gg/ml.net
- 11
1。置き換え+虱潰し。書き出す。
2。計算するだけ。
3。素数条件から2組の分け方が決まる。
4。縁全体で考える。重要。方冪の定理。
5。文字で置いてmod 100で。
6。合同+三平方の定理。
7。5に印が付けばそれは必ず2番目に大きな数となる。
8。文字で置いてmod101で。
9。対等性を考慮して漸化式を立てる。
10。相加相乗平均の不等式。1を代入する。2aを代入する。
11。図を描く。相似。中点を取る。
12。相加相乗平均の不等式が使えるように補助の定数を考える。凸包。幾何的考察。
- 322 :名無しなのに合格:2018/06/14(木) 02:26:02.64 ID:iU7Gg/ml.net
- 12
1。文字で設定して三平方の定理。
2。平行線。円周角の定理。内角の和。
3。71以上であることを示し、72を構成する。
4。前問と同様、満たすものを見つけ、それ以下では満たさないことを示せば良い。
5。約数の逆数で割ったものも約数である。約数の個数の公式。一文字消去出来て解決する。
6。簡単なグラフ理論。図を描いて考える。
7。方冪の定理。中線定理。方冪の定理。
8。順番に書くだけではなく全体を見通して書いていく。
9。2次方程式。平方数。偶奇性。結構プロセスが長い。
10。数字が大きいが、計算して場合分けしないと駄目。
11。ブロックに分けて考える。
12。合同、相似、図形感覚。立体感覚。直角を見付けて三平方の定理に持ち込む。
- 323 :名無しなのに合格:2018/06/14(木) 02:42:46.93 ID:iU7Gg/ml.net
- 14
1。方冪の定理。直径。
2。場合分け。偶奇性。
3。不自然な設定にはヒントが隠されている。前と後ろを合わせると定数になるように作られている。
4。円周角の定理。相似。線分比。
5。直接計算は出来ないと見切って、意味付けに向かう。
6。発見し、「それ以上では満たさない」ことを示す定番パターン。発見の部分が難しい。
7。グラフ理論の初歩。
8。発見し、それ以下では満たさないことを示すパターン。補題を作って証明する。
9。メネラウスの定理。相似。
10。発見も論証も難しいが、論証のパターンとしては基本的。
11。小さい公式や定理だけでは足りず、補題を作って繋げて行くパターン。
12。同じく補題を作って繋げて行くパターン。構想力が問われる。
- 324 :名無しなのに合格:2018/06/15(金) 00:58:21.93 ID:AUfkek21.net
- 98
1。一次方程式の簡単な文章題。
2。mod2とmod5に分けて考える。
3。円の直径。直角二等辺三角形。
4。フィボナッチ数列の漸化式。
5。直角三角形の面積を求める。
6。一般化も可能。この場合であれば直接求めるのは簡単。
7。難しい規則性を使わなくても、ざっくりした不等式評価でOK。
8。発見の問題。焦らず構成していく。最小性の確認。
9。角度の1次方程式の問題。
10。相加相乗平均の不等式。
11。段階を2つに分けて丁寧に考察する。
12。互除法。単項イデアル環ではない。互いに素。中国剰余定理。
- 325 :名無しなのに合格:2018/06/15(金) 01:43:08.63 ID:AUfkek21.net
- 99
1。場合分けして数えるだけ。
2。1パラメーターで表示出来る。
3。桁数の問題。繰り上がり。
4。文字で置いて解析的にやる。
5。規則に則って立式する。
6。円に内接する四辺形。正弦定理。比例。
7。ガウス記号。何回割れるかの問題。5だけ消す解法。
8。補助点を取る。正三角形が出来る。角の二等分線定理。
9。大小を設定する。逆数を取る。場合分け。
10。正五角形の対角線の長さ。
11。等比数列の和の公式。nで割り切れるか割り切れないかで場合分け。
12。グラフ理論。路線図の組合せを考える。
- 326 :名無しなのに合格:2018/06/15(金) 23:00:04.98 ID:AUfkek21.net
- 0
1。三角形の相似に着目する。内接円も同じ相似比。
2。小さい数から当て嵌めて行く。定番問題。
3。中線が垂線になる時。
4。フィボナッチ数列を1つ増やしたもの。
5。対称性。垂直になるので楽。
6。解と係数の関係。実部と虚部。
7。組合せの数に帰着する。
8。分母を払ってmod41。結構パターン問題。
9。格子点の個数に帰着させる。対称性を使う。
10。対等性。漸化式を作る。
11。図を描く。二等辺三角形。相似。角の移動はそんなにパターンは無い。
12。mod。周期。並べ替え。中国剰余定理。
- 327 :名無しなのに合格:2018/06/15(金) 23:12:26.46 ID:AUfkek21.net
- 1
1。割り算の式を立てる。素因数分解。
2。ベクトルの利用。連立方程式が得られる。
3。場合分け。1を含むかどうか。
4。三角形の相似。合同な三角形を探す。面積を求める。
5。組み合わせる。剰余の周期性。
6。最大値を予測して、それ以上にならないことを示すパターン。最大値は垂直の時。定点を通ることが分かる。
7。より小さい2×2のブロックで考える。それを組み合わせる。
8。共通解は遺伝する。互除法的に。
9。外接円。角の二等分線定理。平行線と角。円周角の定理。三角形の内角の和。
10。一枚増える毎の差を考えて漸化式を立てる。
11。補題。互いに素。等号が成立する。素因数分解。
12。8つの区画に分ける。構成する。構想力と試行錯誤。
- 328 :名無しなのに合格:2018/06/15(金) 23:27:55.00 ID:AUfkek21.net
- 2
1。普通に。
2。不等式を作って組合せの公式に帰着させる。
3。mod 3の特殊性でうまくいく。最後で辻褄が合ってしまうパターン。
4。埋め込みを考える。補助の立方体。
5。文字で置く。不等式で絞る。
6。相加相乗平均の不等式。うまくバラして組み立ててから使用する。
7。部分分数分解。互いに素。ウィルソンの定理。
8。対称点を取る。合同。折れ線を伸ばすことが出来る。
9。整数=見かけの無理数と設定する。不等式で絞る。
10。勝敗のパターンで場合分け。三竦み。構成する。
11。漸化式を立てる。4色をm色に一般化しても出来る。
12。有理数を設定する。実験して候補を1つに絞り、その他が存在しないことを示す。
- 329 :名無しなのに合格:2018/06/16(土) 00:49:01.80 ID:BaxTQkAp.net
- 3
1。大きい方から取って行く。
2。下から虱潰し。
3。辺々引いて因数分解=素因数分解のパターン。後は全部調べる。
4。漸化式を立てる。基本対称式を使う。
5。中点連結定理。角の移動。相似。
6。最小値を発見する。後はその最小性を示す。
7。回転不変。重複を後で割って調節する。
8。漸化式を立てる。二進法。
9。余弦定理。正弦定理。より強い証明が可能。
10。グラフ理論。
11。対称性。
12。最小性。発見してそれより小さいものが無いことを示す。
- 330 :名無しなのに合格:2018/06/16(土) 22:42:59.03 ID:ptT5y09v.net
- 4
1。普通に。
2。垂線の足。角の二等分線定理。三平方の定理。
3。余事象。独立試行。余事象。
4。素因数分解=因数分解パターン。
5。一つ発見する。それの最小性を示す。
6。上手い文字を代入する。綺麗な形にはならない。
7。図を描いて考える。余弦定理。扇形。
8。不等式評価。等号成立条件。
9。補題を考えつくのがポイント。
10。判別式。
11。補助点を取る。共円点。正弦定理。
12。山と谷。
- 331 :名無しなのに合格:2018/06/18(月) 10:13:27.96 ID:xuag7jGt.net
- 15
1。約数の個数。非平方数⇔約数が偶数個。
2。接弦定理。相似。
3。適当な文字を評価する。一文字について変域が分かる。
4。mod 3。場合分け。
5。抽象化する。上手くキャンセルされる。
6。最大公約数を設定する。順に互いに素である事が分かる。
7。格子点の幾何学。互いに素。等間隔。
8。方冪の定理。中線定理。
9。規則性を掴んで構成する。
10。漸化式を立てる。不等式を作る。mod 39。
11。円周角の定理。合同。面積比。
12。たくさん書いて実験し、規則性を掴む。場合分け。
- 332 :名無しなのに合格:2018/06/18(月) 10:29:34.73 ID:xuag7jGt.net
- 16
1。文字で置いて因数分解。
2。80で割った余りで考える。
3。円周角の定理。内接四角形の定理。共円点。
4。外周を外して組合せを考える。
5。二等辺三角形。相似。合同。面積の足し引き。
6。多項式の符号の問題。
7。文字の置き換え。文字消去の逆の操作。
8。方冪の定理。内接円。面積公式。垂線の足。相似。
9。オイラー関数の問題に帰着される。
10。場合分け。グラフ理論。鳩の巣原理。
11。偶奇性。互いに素。ベクトル。余りの問題。
12。写像を定義してその個数を数える。
- 333 :名無しなのに合格:2018/06/18(月) 10:43:46.52 ID:xuag7jGt.net
- 17
1。特別角の直角三角形。面積の足し引き。
2。素数。素因数分解。
3。因数分解に帰着する。
4。接線の長さ。方冪の定理。相似。接弦定理。
5。条件を置き換えて行く。場合分け。
6。幾何的な意味を考えながら進めて行ける。場合分け。
7。ガウス記号の問題。素数と合成数。
8。接弦定理。相似。面積比。
9。置換。符号。不動点。補題。
10。正弦定理。外接円。円周角の定理。相似。周の長さ。
11。集合の元の個数。部分に分けて数える。
12。規則性、法則性を掴むのが最大のポイント。動きを把握する。
- 334 :名無しなのに合格:2018/06/18(月) 10:55:16.34 ID:xuag7jGt.net
- 18
1。ペアを作る。
2。等差数列を為す三項。場合分け。
3。長方形。直角二等辺三角形。三平方の定理。
4。最小の単位(底)を割る数で割っておく。
5。実験し、構成する。
6。相似。三平方の定理。
7。組の作り方を把握して構成する。
8。並べ替えの不等式。
9。対称性。共円点。正弦定理。
10。場合分け。仮定して矛盾を導き、進めて行く。
11。n進法。三角不等式。補題。
12。補題。ある程度数が大きくなると動きが止まる。
- 335 :名無しなのに合格:2018/06/19(火) 00:49:59.07 ID:YZE1udgk.net
- 5
1。普通に。
2。格子点の幾何学。点と直線の距離。
3。円周角の定理。垂線の足。方冪の定理。
4。漸化式を立てる。
5。不等式で絞る。場合分け。
6。相加相乗平均の不等式。
7。偶奇性。因数分解。
8。場合分け。数え上げる。
9。正三角形。二等辺三角形。一直線上。二等辺三角形。
10。数え上げる。並び替え。
11。中点。対称点。鋭角三角形。三角錐。
12。グラフ理論。辺と頂点。連結グラフ。完全グラフ。サイクル。
- 336 :名無しなのに合格:2018/06/19(火) 01:24:35.63 ID:YZE1udgk.net
- A
1。互いに素。オイラー関数。
2。分子= 0または分母|分子。
3。2と同様。
4。2と同様。
5。必要条件で絞って十分性を確認する。
6。途中までは式で追うが最後までは行けないので当て嵌めで行く。
7。既約分数。互いに素。ユークリッドの互除法。
8。約数の個数。約数の総和。
9。約数の個数。素因数分解。
10。完全数の形。偶数の完全数。メルセンヌ数。
11。必要条件。十分性には反例がある。
12。等号成立条件。互いに素。
13。使いやすい条件を探す。
14。偶数であることを示す。
15。互除法。平方数。
- 337 :名無しなのに合格:2018/06/19(火) 04:46:24.85 ID:YZE1udgk.net
- A
16。因数分解。奇数を代入する。偶数を代入する。
17。差を取って連続3整数の積。
18。文字で置いて基本性質を使う。互いに素。
19。基本事項の証明。
20。文字で置いて因数分解。(1)を使う。
21。文字で置く。不等式で絞る。
22。条件式が使える形に変形する。不等式で絞る。
23。互いに素。
24。因数分解。代入する。場合分け。
25。行列式=1の場合。ファレー数列。
26。最大公約数。互いに素。
27。整数値多項式。
28。27と同様。
29。27と同様。
30。平方数。場合分け。有理数と仮定すると矛盾が生じる。
- 338 :名無しなのに合格:2018/06/19(火) 21:39:03.32 ID:YZE1udgk.net
- 6
1。普通に。
2。面積を2通りで表す。
3。実際に書いてみる。対称性。
4。立式し、逆に解く。大小を設定する。偶奇性。奇数の個数で場合分け。
5。辺々足すと綺麗に纏まる。
6。対称性。赤の個数で場合分け。
7。文字で置く。11の倍数の特徴。
8。最小性を示す。存在を示すために最小値を構成する。
9。外接円。菱形。平行四辺形。合同。余弦定理。正弦定理。
10。グラフ理論。平面上にグラフが描ける。
11。半円。加法定理。面積。幾何的考察。
12。単調増加。直積。カタラン数。一対一の対応。漸化式。
- 339 :名無しなのに合格:2018/06/19(火) 21:50:25.50 ID:YZE1udgk.net
- 7
1。普通に。
2。二項定理。mod100。
3。半円。垂直。最小値。
4。2桁ずつ分解する。
5。一般論を展開出来る。
6。題意を掴んで漸化式を立てる。フィボナッチ数列になる。
7。漸化式を作る。
8。論理的に、排反に場合分けする。丁寧に数える。
9。場合分け。「最大公約数×互いに素」と置く。約数倍数関係から絞り込む。
10。下から確定させていく。
11。ガウス記号の問題。必要性で絞って十分性を確認する。
12。小さいスケールで実験して意味を掴む。後はそれを大きな数に広げる。
- 340 :名無しなのに合格:2018/06/19(火) 22:40:34.06 ID:a//2TGJG.net
- 全部マスターオブ整数の問題なの?
- 341 :名無しなのに合格:2018/06/19(火) 23:20:45.77 ID:YZE1udgk.net
- >>340
違います。「マスターオブ整数」は終わりました。
- 342 :名無しなのに合格:2018/06/19(火) 23:30:19.67 ID:YZE1udgk.net
- B
1。双曲型不定方程式。
2。1と同様。
3。1と同様。
4。不等式で絞る。
5。xの2次方程式と見て判別式。
6。大小を設定して不等式で絞る。
7。大小を設定する。少なくとも1つ存在すること→構成する。有限個しかないこと→最大値に上限があることを示す。
8。特殊解+方向ベクトル。
9。ユークリッドの互除法で捌く。
10。偶数≠奇数。整数論の基本定理。
11。前二項を括る。オイラーの解法。
12。分母を払って双曲型の不定方程式に帰着させる。
13。12と同様。
14。不等式で絞る。
15。14と同様。かなりの手間。
- 343 :名無しなのに合格:2018/06/19(火) 23:50:24.65 ID:YZE1udgk.net
- B
16。「解を持たない、あるいは持つとしても有限個」を示す問題。「更に解が多いが示しやすい状況」で示す。
17。行列式の問題。平方剰余。
18。17と同様。
19。因数分解。虱潰し。正とは限らないことに注意。
20。不等式評価。(1)の利用。
21。両辺を展開するだけ。(1)に当て嵌めるが嵌りにくい。
22。連続2整数の積。必要性から絞っていって十分性を確認する。
23。定義に従って代入するだけ。「絶対値が大きい他の解を持つこと」を示す。
24。無限降下法。
25。mod3。背理法。平方剰余。有理数を文字で置く。互いに素に反する。
26。無限降下法。
27。合同式を解く。特殊解を探す。問題8と同様。
28。ユークリッドの互除法。連分数展開。
29。代入してみる。普通の高次方程式の解法と同様。
30。75=3×5^2とする。互いに素な法に分解する。
- 344 :名無しなのに合格:2018/06/20(水) 04:08:35.31 ID:HWSmpT4v.net
- 8
1。必要条件で絞ると答えが出てしまう。
2。合同。相似。合同。
3。場合分け。釣り銭の存在。
4。丁度2で1回だけ割り切れる。構成する。
5。普通に。
6。仮定して進めて行く。場合分け。
7。平方数。文字で置く。
8。期待値。裏返される確率。
9。和と平方和を考える。偶奇性。写像を考察する。
10。題意を掴む。規則性が分かれば後は一本道。
11。平行四辺形になるように補助点を取る。中点。直角三角形。余弦定理。同じ側か逆側かで場合分け。凸四辺形。
12。補題を作って解く。一回では最大値は求まらない。場合分け。
- 345 :名無しなのに合格:2018/06/20(水) 04:20:04.49 ID:HWSmpT4v.net
- 9
1。平方数の差の形。
2。一直線上。二等辺三角形。相似。
3。和差。
4。対称点を取る。合同。角の最大値。円を描く。
5。隣り合うか隣り合わないかで場合分け。
6。直交する。垂線の足。
7。両辺に平方を加える。2次方程式。判別式。解と係数の関係。
8。割り切れる。因数分解。
9。共通。場合分け。
10。二重根号の外し方。Σ計算。
11。ガウス記号の問題。整数。場合分け。
12。半空間。補題を解く。構成する。
- 346 :名無しなのに合格:2018/06/20(水) 04:30:42.85 ID:HWSmpT4v.net
- 10
1。文字で置く。組合せの数。
2。確率的に考える。
3。取り得る最大値が決まり実際にその値が取れる事を示す。
4。内接正六角形。平行線。
5。円周角の定理。約数。
6。橋のかけ方。場合分けをして小さいブロックに分割する。
7。十分に大きな値を代入してみる。
8。相似を作る点を取る。三平方の定理。面積。
9。置き方の場合分け。一対一の対応を考える。
10。補題を作って解く。繰り上がりの公式。
11。相似。角の二等分線。相似。折り返し。二等辺三角形。
12。題意を掴んだら場合分けをして解く。可能か不可能か。
- 347 :名無しなのに合格:2018/06/20(水) 04:41:53.24 ID:HWSmpT4v.net
- 13
1。素因数分解。最小公倍数。
2。文字で置いて不定方程式を解く。
3。円周角の定理。直径。
4。上手い値を代入する。
5。接弦定理。相似。外接円。
6。重複組合せ。対等性で場合分け。
7。差の2乗の和に変形出来る。0か1か2に決まる。
8。反転を使う。変換。座標。
9。フェルマーの小定理。素数限定。素因数分解。
10。ガウス記号の問題。補題。中国剰余定理。
11。場合分け。向き付け。格子点。補題。
12。三角関数で置き換える。重要。帰納的。鳩の巣原理。mod 2π。
- 348 :名無しなのに合格:2018/06/20(水) 21:09:35.49 ID:+3IejGCq.net
- >>341
またお邪魔して申し訳ないんだけど、イッチは数オリとかの問題集でもやってるの?複素関数論なり写像なり微分方程式なりと大学数学範囲の文言が見られるわりに
三平方の定理だとかの中学数学レベルの文言も見られてどんな問題解いてるのか知りたいんだけど、何の問題集をやってるの?
- 349 :名無しなのに合格:2018/06/21(木) 01:16:36.74 ID:uEbFLyZC.net
- >>348
マスターオブ整数が終了した後は色々な問題をやってます。
数オリの問題とかマスターオブ第2章やその他の「大学入試から逸脱する問題や解法」もあります。
「純粋に大学範囲の問題」はこのスレではやってないです。
今やってるのは「整数の理論と演習」という本で、大体は高校範囲ですがところどころ逸脱してます。
- 350 :名無しなのに合格:2018/06/21(木) 01:27:07.98 ID:uEbFLyZC.net
- C
1。mod 3での平方剰余を考える。
2。文字で置いて計算する。そのあとは虱潰し。
3。中国剰余定理。105減算。
4。中国剰余定理。
5。nを偶奇それぞれ文字で置く。二項定理。
6。5と同様。二項定理。
7。二項定理。mod11。
8。因数分解。
9。合同式の基本。
10。合同式。場合分け。
11。平方剰余。
12。ピタゴラス数。mod 3。
13。mod 4だとうまくいく。
modの設定は試行錯誤もやむを得ない。
14。場合分け。mod 3。mod 4で上手くいく。
15。平方剰余。場合分け。対偶でも良い。
- 351 :名無しなのに合格:2018/06/21(木) 01:41:42.95 ID:uEbFLyZC.net
- C
16。割り算の原理。商が決まるので後は芋づる式に進む。
17。mod 8。互いに素。
18。偶奇で場合分け。mod 4。(1)を利用する。逆に解く。
19。下からコツコツと調べて行く。
20。19と同様。
21。整数係数の整数値多項式。有理数解を設定して互いに素。
22。21と同様。周期性。
23。22と同様。周期性。
24。ガウス記号。周期性。
「同じものがある」と仮定して矛盾を導く。
25。シャッフル。置換の問題。mod(2N+1)に気づくこと。
26。フェルマーの小定理。下からコツコツと調べても良い。
27。重要問題。mod pで全て異なる。
これもフェルマーの小定理。
28。フェルマーの小定理を使う。
29。「素因数分解=因数分解」のパターン。素数。
フェルマーの小定理。殆ど自明と言える。
30。鳩の巣原理。有名問題。このスレでも、これで3回目。
- 352 :名無しなのに合格:2018/06/22(金) 01:43:46.29 ID:3gtO6D5G.net
- D
1。ガウス記号の問題。定義に当て嵌める。
2。冪乗で割って行く。ルジャンドル関数。
3。不等式で評価する。因数分解。100+1-1.5=99.5よって一の位は9。
4。床関数。問題2と同様。ルジャンドルの公式。
5。エルミートの恒等式の証明。場合分けして示す。
6。ヴィノグラドフの定理またはビーティの定理の一部。定義にのせる。背理法で示す。
7。定義にのせる。有理数を分数で設定する。
8。全て異なる。
9。帰納法で示す。
10。オイラー関数。縦のものを横に数えるパターン。
11。mod100。互いに素。集合を考える。
12。連続3整数の積。
13。オイラー関数。偶奇で場合分け。
14。オイラー関数に関する公式の証明。
15。整数論の基本定理。ベズーの恒等式。
- 353 :名無しなのに合格:2018/06/22(金) 02:09:39.75 ID:3gtO6D5G.net
- D
16。互いに素。ピックの定理。
17。逆順にして加える。あとで2で割る。
18。ペル方程式。
19。ペル方程式を解く。アルキメデスの牧牛問題。
20。mod4で考える。場合分け。ピタゴラス数。
21。ピタゴラス数。有理数。オイラー。フェルマーとオイラー。ルジャンドル。ラーメ。互いに素。偶奇が異なる。mod4での平方非剰余。原始的。
22。ベズーの恒等式。
23。パスカルの三角形。偶奇性。母関数。
24。modと素因数分解。場合分け。
25。mod4。場合分け。周期3で繰り返す。
26。周期性がポイント。(1)3|n。(2)12|n。
27。互いに素。帰納的に。背理法でも良い。
双子素数。ゴールドバッハの問題。チェビシェフ。フィボナッチ数列。
28。対偶を取る。順序対の問題。
29。鳩の巣原理。任意のmodkで必ず繰り返す。周期性。
目標は任意のmodkに対してa(n+2)≡a(n+1)を示し、a(n)≡0を導くこと。
30。漸化式。フェルマーの小定理。modの周期性。鳩の巣原理。最小性。互いに素。
- 354 :名無しなのに合格:2018/06/23(土) 02:31:32.51 ID:VegWxehi.net
- E
1。5進数、9進数共に十進法にして式を作る。不定方程式を解く。
2。ピタゴラス数。不等式評価。
3。mod3での平方剰余。
4。最高位の数字の問題。規則性を掴む。場合分け。4の時はあと2ステップ、それ以外の時はあと3ステップなので、その 2パターンに場合分け出来る。
5。2進数の問題。
6。ガウス記号。偶奇で場合分け。挟み撃ちの原理。
7。分割数の問題。漸化式を作る。
8。整数論の基本定理。互いに素。
9。ガウスの整数。代数的整数。単数。
10。具体的に調べる。2人減ってそれらの分だけ1人が増える。単調減少数列。十分大きなrを取る。
- 355 :名無しなのに合格:2018/06/23(土) 02:54:17.65 ID:VegWxehi.net
- E
11。背理法。1, 1, k。元に戻る。奇数。背理法。
オイラーが証明した有名な定理。平方剰余。
12。帰納法で示せる。n乗和まで全てpの倍数ならばそれぞれの項がpの倍数ということ。
13。合同式。f(m+kN)≡0 mod Nとなる。
14。三角不等式。有限個の正の整数に対してのみ正になり、題意を満たさない。
15。13を法とする原始根は2, 6, 7, 11。定義に従って表を作ってみれば分かる。それ以外は途中で1になってしまうので駄目。3→2。5→2, 3。7→3, 5。11→2, 6, 7, 8。
16。原始根を全てかけると≡1になる。
17。因数分解。冪乗和≡0。
18。ウィルソンの定理。原始根を用いる。
19。原始根を用いる。
- 356 :名無しなのに合格:2018/06/24(日) 02:39:16.81 ID:YdRr9IVo.net
- 1。1×28, 2×14, 4×7 いきなりトリッキーな問題 1×6, 2×3
2。素数。合成数。エラトステネスの篩。実際にやってみる。90〜96。7個。素数砂漠。
3。5円と6円。互いに素ならば表せる。
4。2005=5×401。4通り。
5。周期性。
6。中国剰余定理。
7。三平方の定理。2つの平方数で表す問題。
8。ルジャンドルの定理。ルジャンドルの公式。
9。1089×9=9801。2178×4=8712。2個だけ。
10。全部の素数を掛けて1を加えておく。
素因数分解の一意性は初等整数論の基本定理とも呼ばれる。
- 357 :名無しなのに合格:2018/06/24(日) 03:46:45.36 ID:YdRr9IVo.net
- 11。Q=q1×…×qnと置き、M=4Q-1と置く。
M=3Q-1と置く。M=6Q-1と置く。
12。双子素数。3の倍数。
13。9!+i。素数砂漠。
14。代入する。
15。代入する。素数生成多項式。
16。背理法。a>11が分かる。dが2310の倍数となって矛盾する。
17。mod3で、0, 2, 4。1, 3, 5。2, 4, 6。どれも0を含む。
18。ユークリッドの互除法。
19。ユークリッドの互除法。
20。10001の倍数。ユークリッドの互除法。
- 358 :名無しなのに合格:2018/06/25(月) 04:33:14.27 ID:947Bgiqw.net
- 知り合いから聞いた情報では、「大学受験誰でも成功秘密のガイダンス」というブログが役に立ったらしいです。検索すればすぐにわかるらしいです。
W76CF
- 359 :名無しなのに合格:2018/06/27(水) 02:14:04.80 ID:kbSLopHQ.net
- 1。差の2乗の和。3次の因数分解公式。差の2乗×他の文字。差の2乗×和。相加相乗平均。
2。和の2乗-3×積和。 3×平方和-和の2乗。
3。コーシー・シュワルツの証明。絶対不等式。
4。差を取る。
5。三角不等式。
6。因数分解→加法定理→和積公式。部分的平方完成。
7。シュールの不等式。対称性を崩して大小関係を設定する。真ん中の項を前と後ろに組み込めるように分解する。
1。不等式の帰納法では不等式評価が必要。
2。等号成立は1個以下が1であること。
3。普通に。
4。因数分解。帰納法。
5。相加相乗平均。二項展開。
6。非負を作る。
7。2の冪から下がってくる。
- 360 :名無しなのに合格:2018/06/27(水) 02:36:00.25 ID:kbSLopHQ.net
- 1。増加関数→微分法。
2。減少関数。
3。分数関数を傾きと見る。接線の傾き。
4。増加関数。直線の傾き。
5。y=√x。増加関数。傾きは減少する。
6。周の長さと面積。一文字消去。端点だけ調べれば良い。対称性。
7。場合分けして端点だけ調べる。
8。場合分けして端点だけ調べる。
1。帰納法。平均値の定理。
2。凸不等式。上に凸。
3。相加相乗平均。上に凸。普通には和積と積和で変形する。
4。y=xlogxは下に凸。
5。y=e^xは下に凸。→相加相乗平均。
6。y=x^2は下に凸。→コーシー・シュワルツ。
7。下に凸。偶数番目の和>奇数番目の和。イェンセン。
- 361 :名無しなのに合格:2018/06/27(水) 05:28:23.46 ID:AzHkfxsy.net
- 1。非負整数。互いに素。書き出す。
2。共役。ペル方程式。帰納法。
3。書き出す。帰納法。偶奇で場合分け。
4。代入する。対数を取る。
5。偏角はmod 2π。繰り返しに気付く。
1。予想してから不等式を解く。
2。実験して規則性を掴む。漸化式を立てる。
3。組合せの応用公式の問題。偶奇性。
4。実験あるのみ。場合分け。詰めを丁寧にする。
5。実験して帰納法。
6。周期数列。周期8。
7。ガウス記号の問題。書き出してみる。帰納法。
8。帰納法。前問と似た問題。
9。図を描いて概要を掴む。鋭角三角形になることはない。
- 362 :名無しなのに合格:2018/06/27(水) 05:41:22.20 ID:AzHkfxsy.net
- 1。 「2乗して√の中身が正」が元の式と同値。
2。見易く置き換える。場合分け。図示。
3。必要条件で絞り、十分性を確認するパターン。
4。変数変換で楕円→円にしてから考える。
5。適切な言い換え。場合分け。グラフの利用。
1。同値変形の基本、無理方程式。
2。同値性の練習にいい問題。
3。和と差に分けることがポイント。同値変形。円と双曲線。
4。領域の問題。重要。
5。θとtの対応関係を忘れないように。
6。必要条件で絞って十分性を確認する。
7。これも必要性→十分性の確認パターン。
8。類題。上手い値を代入して必要性、その後十分性の確認。
9。必要性だけで良いパターン。
10。対称性の利用。場合分け。
- 363 :名無しなのに合格:2018/06/28(木) 03:34:17.75 ID:zXF6ibdQ.net
- 1。(1)それぞれに使って等号成立条件を確認する。(2)展開して逆数同士を組ませる。それぞれに使って等号成立条件を確認する。
2。(1)三角形の置き換えの基本を覚える。(2)も同様。こちらは正で成り立つ。
3。ヘロンの公式。周の長さが一定の三角形ならば正三角形の時。
4。2と同じ置き換え。
5。(1)コーシー・シュワルツ。(2)1つだけ移項してから辺々掛ける。
6。戻して対等性。
7。1つを除いて全部1にする。
8。微分法で(1)を示せば(2)は自動的に従う。
9。相加≧相乗≧調和。
10。y=xlogx。
1。展開して相加相乗じゃなくてそのままコーシー・シュワルツ。積和と商和。√積+√積/√積和。平方和と積和。
2。コーシー・シュワルツのあとのa 5だけ取り外す。
3。ネスビット。コーシー・シュワルツ。
4。コーシー・シュワルツと相加相乗平均。
5。コーシー・シュワルツの後の両辺を割る。
6。帰納法。場合分け。
- 364 :名無しなのに合格:2018/06/28(木) 03:55:52.59 ID:zXF6ibdQ.net
- 1。帰納法。順番が違っているところに不等式を適用する。有限回の操作で終了する。
2。アーベルの変形法。縦で数えるか横で数えるか。
3。アーベルの変形法。
4。アーベルの変形法。
5。チェビシェフ。
6。(1)前問の不等式に与式を代入しただけ。(2)チェビシェフ。
7。★をそのまま使うだけ。
8。相加相乗平均が示せた。
1。ネズビット。対称性。並べ替え。
2。正規化する。
3。一部分だけ次数を下げる。
4。相加相乗の利用。三角形の成立条件。
5。次数を揃える。同次式にする。展開する前に置き換えに気付く。
6。t倍しても不変。イェンセン。
7。等号成立条件を調べるのは重要。
8。判別式を取る。
9。置き換え。自分で置き換えをしてより難しい問題にしてみれば置き換えの使い方が分かる。
- 365 :名無しなのに合格:2018/06/28(木) 04:52:16.31 ID:h860eRjl.net
- 1。正五角形の対称性。角の二等分線。線型独立。
2。軸に関する対称性。
3。加法定理。対称性。
4。対称性。斉次性。微分法。必要条件で絞って十分性を確認する。
5。差分方程式。増加数列。場合分け。
1。基本対称式。
2。2文字ではなく3文字と考えるとうまい。
3。線対称。
4。正六角形の対称性。
5。置き換えが複雑に思えるが和差算。
6。斉次式の考え方。端点に着目する別解もある。
7。コーシー・シュワルツの不等式。
8。dで割って正規化する。
9。分母にΣxiが出てくるように不等式評価する。
- 366 :名無しなのに合格:2018/06/28(木) 06:10:51.88 ID:h860eRjl.net
- 1。割り算の式を設定する。
2。小数部分の問題。勇気を持って自分で設定する。
3。座標の導入。機械的に上手くいった。
4。複素平面の導入。実数条件。
5。ベクトルで一本道。
1。=kと置く。場合分けに注意。
2。割り算の式を設定する。
3。1の立方根。簡単に求まる。
4。等差数列を想起する。
5。接点のx座標を設定すると良い。
6。座標を設定して機械的に進める。
7。これも座標が良い。ベクトルに見えるが仕方ない。
8。逆に座標のまま行かずにベクトルにすべき問題。
これも難しい発想。
9。複素平面の導入。回転○拡大に強いだけではなく
距離の積にも複素平面は強い。
- 367 :名無しなのに合格:2018/06/30(土) 00:13:57.03 ID:GjCGC3Vy.net
- 1。チェビシェフ。大きい順の積和の平均≧aの平均×bの平均。重み付きチェビシェフ。
2。コーシー・シュワルツ。イェンセンからの流れ。x^2をx^3に変えたもの。
3。相加相乗平均。
4。全て取り得る事の説明は難しいので答案にはなりにくい。
5。並べ替え。アーベルの変形を使う。行列式の考え方。帰納法。
1。相加相乗平均・積分。区分求積法。
2。前問と同様。
3。チェビシェフ・積分。
4。コーシー・シュワルツ・積分。
5。n乗平均・積分。
イェンセン・積分。
6。ヘルダー。イェンセン。コーシー・シュワルツの一般形。
- 368 :名無しなのに合格:2018/06/30(土) 00:35:45.88 ID:GjCGC3Vy.net
- 1。三角。2。三角。3。三角。
4。傾き。分数=kと置いてから処理する。
5。分母を払ってからの処理。
負になる場合もある事に注意。
6。一般形まで辿り着く。
7。和の2乗を展開する。
8。対称性を生かした式変形をする。
1。余弦定理。減少関数。垂線の足。
2。角度の三角不等式。補助の平面を持ち出す。
3。(1)普通に。(2)工夫が必要。
4。球面上の最短距離。大円。角度の三角不等式。
球面上の距離の三角不等式。
5。トレミーの定理。相似。
6。フラウカ。
7。中線定理。平行四辺形。
1。対になるものを自分で作る。それぞれ1個ずつ。
2。自分で不等式を持ち込むので難し目。
3。相加相乗平均。4。次数を揃える。
5。相加相乗平均。6。同次式。相加相乗平均。
7。バランスを取る。
8。相加相乗平均。一捻り。
9。相加相乗平均。一捻り。
10。コーシー・シュワルツ。
11。eの定義式に出てくる数列を想起する。
12。調和平均の拡張。相加平均。左辺-右辺>0。
意味を考えると一発。相加≧相乗≧調和。
13。イェンセン。下に凸。相加相乗平均。
14。周=一定の直方体の体積は立方体に近づくほど大きくなる。大小関係を設定する。平均値の定理。
- 369 :名無しなのに合格:2018/06/30(土) 03:05:18.33 ID:GjCGC3Vy.net
- 1。基本対称式で置き換えて判別式。自然流。図形的逆手流。
2。相似拡大。自然流。存在条件。逆手流。
3。基本対称式。実数条件。逆手流。
4。一文字固定法。自然流。文字の存在条件。逆手流。
5。平方完成。包絡線。自然流。逆手流は面倒。
1。文字の存在条件。逆手流。
2。文字の存在条件。固定法。逆手流。
3。回転。読み取る。自然流。
4。反転。逆手流。
5。直線の通過領域。傾きを目で見ながら。自然流。
6。実数aの存在条件。逆手流。
7。一文字固定法。自然流。tの存在条件。逆手流。
8。一文字固定法。自然流。実数aの存在条件。逆手流。
9。ベクトル表示して読み取る。自然流。
10。一文字固定法の自然流では大変。文字の存在条件。解の配置。逆手流。
- 370 :名無しなのに合格:2018/06/30(土) 03:18:12.51 ID:GjCGC3Vy.net
- 1。x+yiと置いてしまう。不等式評価。
2。項を作り出す。
3。並べ替え不等式。求めることが出来ない和を不等式評価する。数3まで飛び出る解法もある。
4。部分積分法。積分の三角不等式を使うとsinを無視出来る。
5。格子点の個数。挟み撃ちの原理。個数≒面積に注意する。
1。大小を設定→必要条件で絞る。
2。大小を設定して必要条件で絞る。整数条件。
3。思い切ってザックリ不等式評価する。
4。具体化する。
5。帰納法。挟み撃ちの原理。1≦an≦2では駄目。
1≦an≦1+1/nとかを見つける。
6。10進法で不等式評価する。挟み撃ちの原理。
7。中身と外身との比較。柔軟な思考。見抜く力。
積分の上端か下端で評価する。
8。場合分け→不等式評価で計算しない。
9。Σ→積分→面積で評価する。漸化式の解法。
- 371 :名無しなのに合格:2018/06/30(土) 03:31:52.48 ID:GjCGC3Vy.net
- 1。グラフを描く。平行線の距離。
2。グラフを描く。
3。グラフを描く。反射は折り返して直進させる。
4。グラフを描く。
5。矩形と曲線。Σと∫。厳密に。
6。グラフを描く。ヤングの不等式。単調性。
1。解の配置。定数不完全分離。傾きとしてパラメーターが入る。
2。不等式を図示。直線の傾き。
3。置き換えて図形的意味を与える。楕円と見るのも良い。
4。線対称。共有点の個数。
5。平行線を引いて考える。
6。反射は折り返して直進させる。
7。グラフを描く。不等式を作る。
8。凸性を利用する。(2)上手い値を代入する。辺々加える。
9。長方形の面積と見る。その和。Σと∫。
- 372 :名無しなのに合格:2018/06/30(土) 04:42:14.37 ID:GjCGC3Vy.net
- 1。全て列挙する。余事象。
2。制約の強いところから。
3。カバリエリの原理。
4。積の和を内積と見る。
5。正弦定理。
6。関数的見方。単調増加。
1。余事象。
2。男子同士、女子同士は区別しない。
3。カバリエリの原理。4。カバリエリの原理。
5。ベクトルの利用。内積と見る。
6。共役複素解。解と係数の関係。bの関数と見ると良い。
7。正弦定理に見えてくればラッキー。
8。どちらを動かすのか。動点を逆に固定してみる。
9。ベクトルではなくて1次関数の問題。
一文字固定法ということ。
10。aで微分する。aの恒等式と見る。
- 373 :名無しなのに合格:2018/06/30(土) 04:55:52.12 ID:GjCGC3Vy.net
- 1。対等性。集合として全体が一致する。
2。正領域・負領域の考え方。
3。複素平面上の回転。重心。ド・モアブルの定理。
4。平均値の定理。
近い所は全ての整数値を取る。ダブる場合有り。
遠い所は全て異なる整数値を取る。飛ばす場合有り。
5。tanの2倍角の公式。不要な文字を消去する。
1。強い条件から使う。
2。円の直径である。
3。極表示。帰納法。
4。絶対値に着目する。
5。実際に計算するつもりで行く。等比数列の和の公式の逆。
6。背理法。図示してポイントを掴む。
7。置き換えてしまう。和差算。
8。単位ベクトルの問題。1個移項して両辺を2乗する。
9。直感に頼った議論は禁物。鋭角三角形または直角三角形。背理法。外接円の半径→正弦定理。対称性。
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