【月刊大学への数学】学力コンテスト・宿題22

896 ：大学への名無しさん：2016/01/04(月) 06:46:00.65

x^(3k-3)-x^(3k-1)=(1-x^2)(x^3)^(k-1)
Σ(1-x^2)(x^3)^(k-1)=(1-x^2)(1-(x^3)^n)/(1-x^3)
=(1+x)(1-(x^3)^n)/(1+x+x^2)
0≦x≦1で積分
∫x^(3k-3)-x^(3k-1)dx=(1/(3k-2))-(1/(3k))
(1+x)/(1+x+x^2)=(1/2)((1+2x)/(1+x+x^2))+(2/(3+(1+2x)^2))
t=(1+2x)/√3
dt/dx=2/√3
∫(1+x)/(1+x+x^2)dx=(1/2)log(3)+(1/(6√3))π
|∫(1+x)(x^3)^n/(1+x+x^2)dx|≦2∫x^ndx=2/(n+1)→0
∴Σ(1/(3k-2))-(1/(3k))→(1/2)log(3)+(1/(6√3))π