☆【月刊大学への数学】学力コンテスト・宿題26

1 ：大学への名無しさん：2016/11/27(日) 20:40:32.98 ID:9gNuE/7cU

★次スレは、>>980 を踏んだ人が立ててください

学コンや宿題のネタバレ・問題分析等は大数本誌のスレなどではやらず、こちらでお願いします。
演習書等は関連スレを参考にしてください。

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★【月刊大学への数学】学力コンテスト・宿題25
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691 ：大学への名無しさん：2017/03/11(土) 00:41:54.02 ID:MSxWqg+N7

2×2016のマス目にある黒マスの個数をXとすると
問題の条件から1008＜X＜4032ですが
このXに対し 2×2017のマス目における2×2のマス目で1つだけ黒マス
であるものの最大個数をYとすると
X≡0,1,2(mod.3)に応じてそれぞれ
Y＝(−2X)/3+2687,
Y＝(−2X)/3+2687−(1/3),
Y＝(−2X)/3+2687＋(1/3)
となります。
X≡2(mod.3)のときが最も大きくなるので
2016個ある2×2016マスの各Xがすべて
X≡2(mod.3)であるような例を作ればよい
と考えました。

692 ：大学への名無しさん：2017/03/11(土) 02:06:59.49 ID:JsnYfDFpy

えーと。Yの式まではいいのですがその先がよくわからない。
「X≡2(mod.3)のときが最も大きくなる」とは？Yは基本的にXの広義減少関数のはずだし。

693 ：大学への名無しさん：2017/03/11(土) 08:27:49.12 ID:MSxWqg+N7

2016個あるXの値を
X(1),X(2),・・・,V(2016)
としそれに対するYの値を
Y(1),Y(2),・・・,Y(2016)
とすると
ΣX(i)＝2016×2016×0.5×2
であり
X(i)のうち0,1,2(mod.3)であるものの
個数をそれぞれl,m,n とすると
ΣY(i)＝(−2/3)ΣX(i)＋2687×2016−(1/3)m＋(1/3)n
となり l＝0,m＝0,n＝2016 のとき
ΣY(i)が最大になるという意味で書いたのですが・・・

694 ：大学への名無しさん：2017/03/11(土) 08:30:43.75 ID:MSxWqg+N7

失礼　2行目のV(2016)は
X(2016) の書き間違えでした。

695 ：大学への名無しさん：2017/03/11(土) 10:26:32.06 ID:JsnYfDFpy

>>693 うーむ。
>ΣY(i)＝(−2/3)ΣX(i)＋2687×2016−(1/3)m＋(1/3)n まではいいですが。その先は？です。
いま簡単に6×6の場合を考え、
　1行目+2行目の黒個数をX(1), 2行目+3行目の黒個数をX(2), 3行目+4行目の黒個数をX(3),…,6+7行目の黒個数をX(6)とします。
貴方の議論では X(1),…,X(6) が例えば順不同で5,5,5,5,8,8 のとき�悩(i)が最大になるとのことですが
まずこれは実現できるのでしょう。
つまり, X(1)とX(3)ならお互い勝手に決めれますがX(2)はX(1)とX(3)と連動しますので
X(1)とX(3)は独立に最大化を図れてもX(2)はもはや独立に決めれなくなります。
6×6の場合、あなたの議論では最大値は20になりますが、実例を作れるでしょうか。

696 ：大学への名無しさん：2017/03/11(土) 11:45:37.42 ID:MSxWqg+N7

それが作れるんですね。黒をBとして
7×7 まで書くと
　BBB___B
_B__B__
BBB___B
_B__B__
　BBB___B
BBBB_BB
　BBB___B
と作れます。
これはそのまま
2016×2016まで拡張することが可能です。

697 ：大学への名無しさん：2017/03/11(土) 11:49:04.69 ID:MSxWqg+N7

左の列がそろわずずれてしまったのでもう一度
BBB___B
_B__B__
BBB___B
_B__B__
BBB___B
BBBB_BB
BBB___B

698 ：大学への名無しさん：2017/03/11(土) 11:54:23.20 ID:MSxWqg+N7

見にくいのでもう一度
白をWとします。

BBBWWWB
WBWWBWW
BBBWWWB
WBWWBWW
BBBWWWB
BBBBWBB
BBBWWWB
奇数行目はすべて同じ
BBBWWWB
です

699 ：大学への名無しさん：2017/03/11(土) 12:04:19.50 ID:MSxWqg+N7

BとWで微妙にフォントの幅が
違っているので○と×で書いてみます。
○○○×××○
×○××○××
○○○×××○
×○××○××
○○○×××○
○○○○×○○
○○○×××○

700 ：大学への名無しさん：2017/03/11(土) 12:08:02.14 ID:MSxWqg+N7

宿題の答えは
2708160
ですか。
6K×6Kの場合は
4K(6K-1)
でK＝336とすると
2708160になるかな。