☆【月刊大学への数学】学力コンテスト・宿題26

899 ：大学への名無しさん：2017/04/05(水) 00:39:18.62 ID:lbuAcnzFz

∫[0,1]|x-t|f(t)dt = ax^4+bx^3+cx^2+dx

∫[0,1]|x-t|f(t)dt =∫[0,x](x-t)f(t)dt -∫[x,1](x-t)f(t)dt
= 2∫[0,x](x-t)f(t)dt -∫[0,1](x-t)f(t)dt
= 2{x∫[0,x]f(t)dt-∫[0,x] t f(t)dt} -{x∫[0,1]f(t)dt-∫[0,1] t f(t)dt}
微分すると
2∫[0,x]f(t)dt - ∫[0,1]f(t)dt = 4ax^3 +3bx^2 +2cx+d
もういっちょ
2f(x)=12ax^2+6bx+2c
f(x)=6ax^2+3bx+c

f(x)がこの形の時
∫[0,x]f(t)dt=2ax^3+(3b/2)x^2+cx
∫[0,x]t f(t)dt=(3a/2)x^4+bx^3+(c/2)x^2より
2∫[0,x](x-t)f(t)dt = ax^4+bx^3+cx^2
∫[0,1](x-t)f(t)dt={2a+(3b/2)+c}x-{(3a/2)+b+(c/2)}
つまり∫[0,1]|x-t|f(t)dt=ax^4+bx^3+cx^2-{2a+(3b/2)+c}x+{(3a/2)+b+(c/2)}
これがax^4+bx^3+cx^2+dxに等しくなるためには
d=-{2a+(3b/2)+c}
(3a/2)+b+(c/2)=0
の2つの方程式が成り立つ事が必要十分
f(x)が2次式の時、x^2の係数が1だから
a=1/6
b=-(c/2)-(1/4)
d=-(1/4)c+(1/24)
変数が4つなのに条件となる式は3つなのでcは消えない。
f(x)が1次式の時
a=0, b=1/3, c=-2/3,d=-1/2

cが消えない理由を忘れる人も多そう?