☆【月刊大学への数学】 学力コンテスト・宿題31

477 ：大学への名無しさん：2018/07/11(水) 02:38:56.84 ID:5eAognB5W

>>471
送った解答はもっと詳細なんですが・・・このくらいでいいですか？

%pi=180°として・・・は
(tan(k+%pi/90)-tan(k+%pi/180))/(tan(k+%pi/180)-tan(k))・・・・・・(1)ここで
tan(k+%pi/90)=(tan(k)+2*tan(%pi/180)/(1-tan(%pi/180)^2))/(1-2*tan(k)*tan(%pi/180)/(1-tan(%pi/180)^2))
=(tan(%pi/180)^2*tan(k)-tan(k)-2*tan(%pi/180))/(2*tan(%pi/180)*tan(k)+tan(%pi/180)^2-1) と
tan(k+%pi/180)=(tan(k)+tan(%pi/180))/(1-tan(%pi/180)*tan(k))　から(1)の分母は
(tan(k)+tan(%pi/180))/(1-tan(%pi/180)*tan(k))-tan(k)=tan(%pi/180)*(tan(k)^2+1)/(1-tan(%pi/180)*tan(k))
(1)の分子は-tan(%pi/180)*(tan(%pi/180)^2+1)*(tan(k)^2+1)/((1-tan(%pi/180)*tan(k))*(2*tan(%pi/180)*tan(k)+tan(%pi/180)^2-1))
より(1)=(1)の分子/(1)の分母=-(tan(%pi/180)^2+1)/(2*tan(%pi/180)*tan(k)+tan(%pi/180)^2-1))・・・・・・(2)
ここでtan(%pi/180)^2+1=1/cos(%pi/180)^2より-1/(2*sin(%pi)*cos(%pi/180)*tan(k)+sin(%pi/180)^2-cos(%pi/180)^2)
=-1/(2*sin(%pi/180)*cos(%pi/180)*tan(k)+1-2*cos(%pi/180)^2)・・・・・・(3)
ここでsinの2倍角で2*sin(%pi/180)*cos(%pi/180)=sin(%pi/90)と
cosの2倍角でcos(%pi/90)=2*cos(%pi/180)^2-1で(3)は
-1/(sin(%pi/90)*tan(k)-cos(%pi/90)) ここでtan(k)=sin(k)/cos(k)として
-cos(k)/(sin(%pi/90)*sin(k)-cos(%pi/90)*cos(k))
=cos(k)/(cos(%pi/90)*cos(k)-sin(%pi/90)*sin(k))・・・・・・(4)
ここでcosの加法定理はcos(a+b)=cos(a)*cos(b)-sin(a)*sin(b)なので
%pi/90=a,k=bで(4)はcos(k)/cos(%pi/90+k)=cos(k)/cos(k+%pi/90)
でcos(k°)/cos(k°+2°)と変形できました。