☆【月刊大学への数学】 学力コンテスト・宿題33

264 ：大学への名無しさん：2019/06/01(土) 18:47:20.05 ID:gYDQUGLQQ

(1)より
f(1) <e < f(1)+(e/(n+1)!)
f(1) n! < e n! < f(1) n! + (e/(n+1))
ここで 3を法として
f(1)n!=n!+ +(n-2)(n-1)n+(n-1)n + n +1
≡ n^2 +1 ≡1or2

3の倍数の項n!+ +(n-2)(n-1)nは2π/3倍すると2πの整数倍だから
cosの中では消えて、残りのn^2+1の部分は
2π/3か4π/3になる
(e/(n+1))の2π/3倍は、nが十分大きくなれば、0に収束していくので
nが十分大きい時、cos(2πe n!/3) は

cos((2π/3)+(2π/3)(3/(n+1))) < x < cos(2π/3)
cos(4π/3) < x < cos((4π/3)+(2π/3)(3/(n+1)))
のいずれかの区間にあり、どちらの区間にあっても
cos(2πe n!/3) →-1/2
となる