☆【月刊大学への数学】 学力コンテスト・宿題33

440 ：大学への名無しさん：2019/06/28(金) 00:21:08.85 ID:0lNtHDa3l

v[k]=(cos(πk/3), sin(πk/3))
Aの位置ベクトルをv[1]+v[2]とする
6秒間でv[1],v[2],v[3]の正方向にa,b,c回、逆方向にd,e,f回移動したとすると
(a-d)v[1]+(b-e)v[2]+(c-f)(v[2]-v[1]) = v[1]+v[2]
{(a-d)-(c-f)}v[1] +{(c-f)+(b-e)}v[2]=v[1]+v[2]
(a-d)=(c-f)+1
(b-e)=(f-c)+1
a+b+c+d+e+f=6
(c-f)=mとするとc=m+f≧m, a=m+1+d≧m+1
2m+1≦a+c≦6なのでm≦2
対称性から-2≦m≦2

(a-d)=m+1
(b-e)=-m+1
2(a+b+c)=m+8だからmは偶数

i)(c-f)=2の時
(a,b,c,d,e,f)=(3,0,2,0,1,0)
ii)(c-f)=0の時
(a,b,c,d,e,f)=(d+1,e+1,f,d,e,f)
d+e+f=2だから
(a,b,c,d,e,f)=(3,1,0,2,0,0),(1,3,0,0,2,0),(1,1,2,0,0,2),(2,2,0,1,1,0),(1,2,1,0,1,1),(2,1,1,1,0,1)
iii)(c-f)=-2の時
(a,b,c,d,e,f)=(0,3,0,1,0,2)
1,2,3,0,0,0の組に対応する経路数は(6C1)(5C2)=60通り
1,1,2,2,0,0の並に対応する経路数は(6C1)(5C1)(4C2)=6*5*6=180通り
1,1,1,1,2,0の並に対応する経路数は(6C2)*4!= 360通り
求める確率は
(4*60+2*180+2*360)/6^6 = 55/1944