☆【月刊大学への数学】 学力コンテスト・宿題33

590 ：大学への名無しさん：2019/07/12(金) 13:59:39.73 ID:VMsu40HF0

�@円の半径をrとし，中心と接点を結ぶ半径のなす角を，
　Xと向かい合う角から反時計回りに順にそれぞれ
　2θ_0，2θ_1，2θ_2，2θ_3，2θ_4とする。

�A与えられた条件からr，tan(θ_0+θ_1)
　〜tan(θ_4+θ_0)についての連立方程式を作る。
　ついでにXY=r(tanθ_0+θ_1)も導いておく。

�B�Aを解くことにより，tan(θ_0+θ_1)
　〜tan(θ_4+θ_0)をrを用いて表す。

�Cθ_0 = π-(θ_1+θ_2+θ_3+θ_4)，
　θ_0 = (θ_0+θ_1+θ_2+θ_3+θ_4+θ_0)-π，
　およびtanの加法定理と�Bから
　tanθ_0をrを用いて２通りに表す。

�D�Cで得られる等式からrとtanθ_0の値を求める。
　このとき複数の値が得られるが，r>0かつtanθ_0>0
　となるものは１組しかないので，それを採用する。

�Etan(θ_1)をtan(θ_0+θ_1-θ_0)と変形し，
　tanの加法定理と�B,�Dを用いて計算する。

�F�D,�Eを�Aに代入してXYを求める。

という流れです。�C以降は結構面倒な計算になったので，
あまりエレガントな解法とは言えないかもしれません。
模範解答は初等幾何のみによる解法だと思われますが，
ワイはいくら考えても思いつきませんでした。
もし知ってる方がいらっしゃったら，
教えていただけるとうれしいです。