大学入試の数学の問題を解くゲイ2023

1 ：陽気な名無しさん ：2023/02/10(金) 16:33:42.62 0.net

慈恵医大
https://pbs.twimg.com/media/FogO43XaYAAcaBK.jpg:large

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2 ：陽気な名無しさん：2023/02/10(金) 16:34:56.39 0.net

なぜいきなりdat落ちした？


前スレ
大学入試の数学の問題を解くゲイ2022
https://medaka.5ch.net/test/read.cgi/gaysaloon/1645759201/

3 ：陽気な名無しさん：2023/02/10(金) 17:00:41.77 .net

>>1
ID無しのスレを乱立させてる奴は何なの？
https://medaka.5ch.net/test/read.cgi/gaysaloon/1632209309/

※IDなしスレ乱立「K-POPホモガイジ」のスレに注意
https://medaka.5ch.net/test/read.cgi/gaysaloon/1635557165/

その神経がわからん＠同サロ
https://medaka.5ch.net/test/read.cgi/gaysaloon/1646803417/

IDなしスレ乱立「KPOPホモガイジ」のスレに注意
https://medaka.5ch.net/test/read.cgi/gaysaloon/1649686229/

4 ：陽気な名無しさん：2023/02/13(月) 15:19:25.67 0.net

>>1
線分OPの長さが有理数tであると仮定して矛盾を出すわ。
2r^2 + 3s^2 = t^2
となるけど、r, s, t を分数で表した分母の最小公倍数の２乗を両辺にかけると、ある整数R, S, Tがあって
2R^2 + 3S^2 = T^2
になるわ。R, S, Tの最大公約数の２乗で両辺を割ると、互いに素な整数x, y, zがあって
2x^2 + 3y^2 = z^2
になるわ。
もしxが3で割り切れると、左辺は3で割り切れるから、右辺のzも3で割り切れることになって
右辺が3^2 = 9で割り切れることになるから、yも3で割り切れなければいけないけど
これはx, y, zが互いに素であることに反するから、xは3で割り切れない。
したがって x ≡ 1, 2, 4, 5 (mod 6)。x^2 ≡ 1, 4 (mod 6) なので 2x^2 ≡ 2 (mod 6)。
同様にyは2で割り切れないから y ≡ 1, 3, 5 (mod 6)。y^2 ≡ 1, 3 (mod 6) なので 3y^2 ≡ 3 (mod 6)。
したがって z^2 = 2x^2 + 3y^2 ≡ 2 + 3 ≡ 5 (mod 6) となるが、２乗がmod 6で5になる整数はないからこれは矛盾。

5 ：陽気な名無しさん：2023/02/14(火) 07:05:14.07 0St.V.net

>>4
よさそうね

6 ：陽気な名無しさん：2023/02/14(火) 08:29:23.36 0St.V.net

xは3で割り切れない
したがってx^2≡1(mod3)
したがってz^2=2x^2+3y^2≡2(mod3)
しかしmod3で平方が2と合同な整数は存在しない

7 ：陽気な名無しさん：2023/02/14(火) 08:32:13.73 0St.V.net

>>6
よさそうね

8 ：陽気な名無しさん：2023/02/14(火) 12:54:20.48 0St.V.net

>>6
あら、yが2で割り切れないとか、そういうこといちいち考えなくて良いのね
姐さんさすがだわ
これは今年の入試問題なのかしら？

9 ：陽気な名無しさん：2023/02/14(火) 21:35:21.92 0St.V.net

今年のよ
私大はもう始まってるのね

10 ：陽気な名無しさん：2023/02/14(火) 22:10:00.95 ID:0.net

慈恵医大の入試問題って難しいのね
時間内に解ける受験生そんなにいないんじゃないかしら？
医学と全く関係ない能力を要求するのが意味不明ね

11 ：陽気な名無しさん：2023/02/16(木) 16:33:21.74 0.net

早稲田理工
https://pbs.twimg.com/media/FpDmv7NaIAAPuIb.jpg:large

12 ：陽気な名無しさん 751ページ 47番：2023/02/16(木) 19:35:05.11 ID:0.net

どこかで見たような問題ばかり… Slot
💣🎴😜
🎰💰👻
🌸😜💣
(LA: 1.56, 1.66, 1.65)

13 ：陽気な名無しさん：2023/02/17(金) 11:50:54.81 0.net

⎲
⎳

14 ：陽気な名無しさん：2023/02/17(金) 11:54:43.83 0.net

.

⎷(4+√13)(5+2√3) ー ⎷(5+√13)(4+√3)

＝ ？

15 ：陽気な名無しさん：2023/02/24(金) 22:36:38.97 0.net

急に頭の中に
辺の長さがすべて有理数の5角形が半径1の円に内接することはあるか？
という疑問が浮かんできたの
明日どこかの大学で出るかもしれないわ

16 ：陽気な名無しさん：2023/02/24(金) 23:40:10.50 0.net

その疑問って、５角形に限定する必要あるかしら？
辺の長さがすべて有理数のn角形が半径1の円に内接することがあるnの値を全て求めよ、
とか拡張できるわね。
少なくともn＝6のときは正６角形が全ての辺が1だから成り立つでしょ。
ほかの時はどう？
そもそも最小のn＝3のときはどうなのかしら？

17 ：陽気な名無しさん：2023/02/25(土) 00:24:03.02 0.net

とても興味深い疑問ね
あたしもなんでいきなり五角形の話なのかしらって思って、まず三角形と四角形の場合を考えてみたわ
a, b, c を a^2 + b^2 = c^2 を満足するピタゴラス数として
直角を挟む二辺が 2a/c と 2b/c の直角三角形を考えると、斜辺の長さが2で、半径1の円に内接するわ
そして、そういう直角三角形をふたつ用意して斜辺のところで張り合わせれば、半径1の円に内接する四角形ができるわね
ここで気になったんだけど、直角三角形以外で条件を満たす三角形はあるのかしら？

>>16
なるほど、正六角形だとうまくいくわね。正六角形以外の六角形で条件を満たすものはあるのかしら？

18 ：陽気な名無しさん：2023/02/25(土) 12:28:36.12 0.net

阪大理系
https://pbs.twimg.com/media/Fpx9weHagAENnD1.jpg
https://pbs.twimg.com/media/Fpx9weMacAI9knY.jpg
https://pbs.twimg.com/media/Fpx9weLaYAELRqH.jpg
https://pbs.twimg.com/media/Fpx9weKaAAIJis7.jpg
https://pbs.twimg.com/media/Fpx91SoakAgLfWw.jpg

19 ：陽気な名無しさん：2023/02/25(土) 12:38:18.47 0.net

北大理系
https://pbs.twimg.com/media/FpxzigfaAAA9CIK.jpg

20 ：陽気な名無しさん：2023/02/25(土) 13:15:40.16 0.net

東工大
https://pbs.twimg.com/media/FpyF27JaQAEcQQW.jpg
https://pbs.twimg.com/media/FpyF27HaQAA_5YG.jpg
https://pbs.twimg.com/media/FpyF27PagAAtzf9.jpg
https://pbs.twimg.com/media/FpyF27BaMAE6pjb.jpg
https://pbs.twimg.com/media/FpyF3uZakAABP2c.jpg

21 ：陽気な名無しさん：2023/02/25(土) 16:05:24.87 0.net

京大文系で半径が1の円に内接する五角形の問題出ました！すごい！！
https://pbs.twimg.com/media/Fpyvwx8aIAM4qyN.jpg

22 ：陽気な名無しさん：2023/02/25(土) 16:11:38.25 0.net

>>17
自己レスだけど、三角形についてはたぶん解明できたわ。
点Oを中心とする半径1の円に△ABCが内接しているとするわ。α = ⦣A, β = ⦣B, γ = ⦣C とおくわ。
OからA, B, C に直線を引くと、３つの二等辺三角形△OAB, △OBC, △OCAができるわ。
円周角の定理から ⦣AOB = 2γ（または、これが鈍角の場合は△OABの内部から見ると 2π− 2γ）ね。
OからABに垂線を下ろして直角三角形をふたつに分けると、AB = 2sinγであることがわかるわ。
同様に BC = 2sinα, CA = 2sinβ となるわね。（三角形の外接円だから単に正弦定理からと言っても良いけど）
⦣AOB + ⦣BOC + ⦣COA = 2πだから、問題はこう言い直せるの。

α, β, γ > 0, α+β+γ = π で sinα, sinβ, sinγがすべて有理数となるものはあるか？

これを解くわ。sinαとsinβが有理数だと仮定するわ。
sinγ= sin(π−(α+β)) = sin(α+β) = sinαcosβ + cosαsinβ
もしcosαとcosβがともに有理数なら、sinγも有理数になるわね。
もしcosαとcosβのうち片方が有理数でもう片方が無理数なら、sinγは無理数になるわ。
最後にcosαとcosβがともに無理数の場合、sinαとsinβは有理数だから
0でない有理数p, qと平方数でない正の整数m, nがあってcosα = p√m, cosβ= q√n となるわ。
√mと√nが一次独立なら、sinγ= p sinα√m + q sinβ√n は無理数だし
√mと√nが一次従属なら、sinγ= r√mの形になるけど、これも無理数ね。
（以上の議論で sinα, sinβ, sinγ ≠ 0 であることに注意）
まとめると

sinα, sinβ, sinγがすべて有理数
⟺ sinα, sinβ, cosα, cosβがすべて有理数
⟺ αとβはピタゴラスの三角形に現れる角

ここで面白いことに気づいたの。この議論はα, β, γに関して対象だから
αとβがピタゴラスの三角形に現れる角なら、γもピタゴラスの三角形に現れる角であることになるわね！
結論を言うと、直角三角形でなくても、ピタゴラスの三角形に現れる角だけでできた三角形なら、条件を満たすってことね。

同様に考えると、四角形の場合は
α, β, γ, δ > 0, α+β+γ+δ = π で sinα, sinβ, sinγ, sinδがすべて有理数となるものはあるか？

五角形の場合は
α, β, γ, δ, ε > 0, α+β+γ+δ+ε = π で sinα, sinβ, sinγ, sinδ, sinεがすべて有理数となるものはあるか？

六角形の場合は
α, β, γ, δ, ε, ζ > 0, α+β+γ+δ+ε+ζ = π で sinα, sinβ, sinγ, sinδ, sinε, sinζがすべて有理数となるものはあるか？

のように言い直せるわね。

23 ：陽気な名無しさん：2023/02/25(土) 16:44:28.30 0.net

京大理系
https://pbs.twimg.com/media/Fpy6yu0aYAM4Tl-.jpg

24 ：陽気な名無しさん：2023/02/25(土) 16:46:26.30 0.net

一橋
https://pbs.twimg.com/media/Fpy3I7HaYAEiBfq.jpg

25 ：陽気な名無しさん：2023/02/25(土) 16:53:12.38 0.net

東大文系
https://pbs.twimg.com/media/Fpy8l37aAAUyorz.jpg
https://pbs.twimg.com/media/Fpy8l39aMAABM4L.jpg
https://pbs.twimg.com/media/Fpy8l4CakAEq3Xz.jpg
https://pbs.twimg.com/media/Fpy8l35agAEkNEP.jpg

26 ：陽気な名無しさん：2023/02/25(土) 17:36:58.95 0.net

東大理系
https://pbs.twimg.com/media/FpzFRCxaIAADuvM.jpg
https://pbs.twimg.com/media/FpzFRCsaQAE7BXg.jpg
https://pbs.twimg.com/media/FpzFRCxagAEg-Rg.jpg
https://pbs.twimg.com/media/FpzFRCraQAAWZE8.jpg
https://pbs.twimg.com/media/FpzFUvAaEAEtIhZ.jpg
https://pbs.twimg.com/media/FpzFUu8acAARrTn.jpg

27 ：陽気な名無しさん：2023/02/25(土) 21:41:38.75 0.net

ちょっと訂正。>>22のαやβは鈍角の可能性もあるから、正しくは

sinα, sinβ, sinγがすべて有理数
⟺ sinα, sinβ, cosα, cosβがすべて有理数
⟺ αとβはピタゴラスの三角形に現れる角か、それをπから引いたもの

ていうか気づいたの。
まずθ_1としてピタゴラスの三角形に現れる角を何か選ぶわ。φ_1 = π−θ_1 とおくと
sinφ_1 = sin(π−θ_1) = sinθ_1
cosφ_1 = cos(π−θ_1) = −cosθ_1
はともに有理数ね。
次に 0 < θ_2 < φ_1 となるピタゴラスの三角形に現れる角θ_2を選んでφ_2 = φ_1−θ_2とおくと
sinφ_2 = sin(φ_1−θ_2) = sinφ_1 cosθ_2 − cosφ_1 sinθ_2
cosφ_2 = cos(φ_1−θ_2) = cosφ_1 cosθ_2 + sinφ_1 sinθ_2
も有理数になるわ。
同様にφ_{k−1} まで作ったら、 0 < θ_k < φ_{k−1} となるピタゴラスの三角形に現れる角θ_k を選んで
φ_k = φ_{k−1} −θ_k とおくのよ。
すると θ_1, …, θ_k, φ_k は和がπでsinを取るとすべて有理数になるわ。

つまり、半径1の円の中心からピタゴラスの三角形に現れる角の2倍ずつずらして半径を描いていって
それと円周との交点たちを結んで多角形を作れば、条件を満たすものができるのよ。
じゃあ何角形までできるかだけど、それはピタゴラスの三角形に現れる角がどれだけ小さくなれるかという問題になるわ。
mを正の整数とすると
a = 2m+1, b = 2m(m+1), c = 2m^2+2m+1
はピタゴラス数だけど、a/c はmを大きくすればいくらでも0に近づけることができるから
いくらでもとんがったピタゴラスの三角形が存在するの。
だから>>16への答えは、「すべての n ≥ 3 に対して成り立つ」ね！

でも正六角形はこの方法で作れないから、これがすべてではないわね。
正六角形以外にもこの方法で作れない例はあるのかしら？

28 ：陽気な名無しさん：2023/02/26(日) 07:37:52.80 0.net

>>17=22=27
あなた、前スレのうさぎさんじゃないかしら。
相変わらず冴えてるわね。
久しぶりに書き込まれてる議論追ったけど、
確かにそうね。
そうすると、次なる問題は、
半径1の円に内接する辺の長さがすべて有理数のn角形のうち、ピタゴラス三角形の角と一致しないことがあるnの値を全て求めよ、
になるかしら。
とりあえずn=3については否定的に解決してるわね。
だって全ての半径1の円に内接する辺の長さがすべて有理数の3角形はピタゴラス三角形であることが示されたから。

この問題、類似の疑問がどんどん出てくるわね。
辺の長さがすべて無理数のn角形が半径1の円に内接することがあるnの値を全て求めよ、とか
辺の長さがすべて超越数のn角形が半径1の円に内接することがあるnの値を全て求めよ、とか
辺の長さがすべてm次の代数的数(mは2以上の自然数)のn角形が半径1の円に内接することがあるnの値を全て求めよ、とか
きりがないわね。

それにしてもピタゴラス数って凄いわね。
いろんな所に関係してくるわね。
最初この問題見たときに何となく関係しそうだな、とは思ったけど、
見事に理論づけたあなた、さすがだわ。

29 ：陽気な名無しさん：2023/02/26(日) 07:48:19.06 ID:0.net

あかん、疑問が暴走しはじめたわ。
辺の長さがすべて有理数のn面体が半径1の球に内接することがあるnの値を全て求めよ、
なんて問題の次元を上げたらまた新しい問題になるわ。
次元まで一般化したらもはやどう手出ししたらいいのか見当つかないわ。
それぞれ無理数、超越数、代数的数にした問題も考えられるし、
解決どころか問題の存在を考えるだけで頭がパンクするわ。

>>15 さんは疑問をもつセンスが素晴らしいわね。

30 ：陽気な名無しさん：2023/02/26(日) 08:01:34.61 ID:0.net

みんな東大の6が難しいって言ってるけど
少なくとも(1)は暗算でできるわよね

31 ：陽気な名無しさん：2023/02/26(日) 08:01:38.95 ID:0.net

>>27
あれ？ちょっと変な気がしたわ。
和がπになるのって三角形だけよね。
だからn≧4だとその議論成り立たないのではないかしら？
一般には和は(n−2)πでしょ。
そうすると議論はどうなるかしら？

32 ：陽気な名無しさん：2023/02/26(日) 08:11:33.07 ID:0.net

あれ？え？
中心角にピタゴラス角の二倍を置くの？
なら正しいかしら。
なんか混乱してごめんなさいね。

中心角がピタゴラス角の二倍で書いていけば題意を満たすn角形ができる。
中心角がピタゴラス角の二倍ではないタイプで題意を満たすn角形が存在するnを求めるのが
さしあたり次の問題なのね。
n=3なら存在しないしn=6なら存在することはわかっていて、その他のnについてはどうか、なのね。

久しぶりに数学考えたら頭が整理されないまま書き込み連投してしまったわ。
申し訳ないわ。