【月刊大学への数学】学力コンテスト・宿題19

852 ：大学への名無しさん：2015/05/24(日) 23:52:19.60

m=2^18の時
m-2が2の倍数、m-4が4の倍数であることに注意すれば
mC1はmの倍数
mC2はm/2の倍数
mC3はmの倍数
mC4はm/4の倍数
mC5は4mの倍数

x=(2^5){(2^6)-1}とするとx^kが2^(5k)の倍数であることから
2≦k≦5で(mCk)x^kは2^27の倍数であり
k≧6でx^kは2^27の倍数
つまり
2015^m = (x-1)^m ≡ 1-mx ≡ 1 -(2^23){(2^6)-1}≡ 1+(2^23)

同様にm=2^n(n≧3)の時
2015^m = (x-1)^m
≡ 1-mx +(mC2)x^2-(mC3)x^3+(mC4)x^4-(mC5)x^5
mxは2^(n+5)の倍数
(mC2)x^2 は2^(n+9)の倍数
(mC3)x^3 は2^(n+15)の倍数
(mC4)x^4 は2^(n+18)の倍数
(mC5)x^5 は2^(n+27)の倍数
これは
-mx=-2^(n+11)+2^(n+5)
で出てくる2^(n+5)の項は他の項とは打ち消すことができない事を意味する。
n=1,2の場合も
2015^(2^1) = 1-2x +x^2
2015^(2^2) = 1-4x +6x^2-4x^3+x^4
で-mxに出てくる2^(n+5)の項と打ち消せる項は無い。
よってR(n)=1となるのは自然に消えてくれるn≧22