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【月刊大学への数学】学力コンテスト・宿題23
- 1 :大学への名無しさん:2016/01/09(土) 22:40:25.98
- ★次スレは、>>980 を踏んだ人が立ててください
学コンや宿題のネタバレ・問題分析等は大数本誌のスレなどではやらず、こちらでお願いします。
演習書等は関連スレを参考にしてください。
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前スレ
【月刊大学への数学】学力コンテスト・宿題22
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- 316 :大学への名無しさん:2016/02/11(木) 00:44:25.97 ID:ujJKKMGST
- >>314 解くことは出来たが、スマートな解き方が判らず(2)は長々と論証した。だからここには書ききれない。(1)だけなら書けるけど。スマートに解けた人がいたらお願いします。
- 317 :大学への名無しさん:2016/02/11(木) 00:52:44.76 ID:8J/gnpgm1
- 314です
>>316さんは(1)はどうされましたか?
私は帰納法での証明です
(2)は、二項定理でnC1+nC3+nC5+…=2^(n-1)を利用して
無理くり論証しました
同じ感じですか?
- 318 :大学への名無しさん:2016/02/11(木) 01:00:58.59 ID:Gl8SgRBN0
- 6
項ひとつだけうまく取り出すだけで(1)が使えるよ
- 319 :大学への名無しさん:2016/02/11(木) 01:07:33.09 ID:8J/gnpgm1
- どの項?kwsk!
第一項だけ取り出すと(1)から|a|=1は言えたけど
|b|はそこまで簡単にいかなかった
- 320 :大学への名無しさん:2016/02/11(木) 02:10:42.23 ID:ujJKKMGST
- 316です。(1)はn|a|^n-1/2^n=f(a,n)と置くと、f(-a,n)=f(a,n)だからa>0のときだけ調べる。a=1のときf(1,n)=n/2^nでn≧3よりf(1,n)<1。a≧3のときは
f(a,n)=(n/2)・(a/2)^n-1 >1 としました。
(2)は下手ですが、a>0,b>0とa>0,b<0とa<0,b>0とa<0,b<0に分けてこつこつとやりました。
- 321 :大学への名無しさん:2016/02/11(木) 02:16:40.03 ID:ujJKKMGST
- 5番はいろいろな数値が出ていたけど、正解は 2.418399・・・でしょうか?
- 322 :大学への名無しさん:2016/02/11(木) 06:45:06.15 ID:8J/gnpgm1
- >>320
ありがとうございます。(1)は確かに納得しました。
私の(2)の概略は
(a+b√5)^nを二項展開して√5にかかる係数だけみると
nC1a^(n-1)b+nC3a^(n-3)b^3・5+nC5a^(n-5)b^5・5^2+…=Sとおくと
S=2^nが成立する。s>0であり
nが偶数のときab>0、nが奇数のときb>0,aは正負の値をとる
第二項以降は全て正の値なので
1=S/2^n>{na^(n-1)b}/2^n≧{na^(n-1)}/2^nとなり(1)より|a|>1
すなわちS=nC1|b|+nC3|b|^3・5+nC5|b|^5・5^2+…=2^n
ここで2・nC1+2・nC3+2・nC5+…=(1+1)^n-(1-1)^n=2^nであるから
|b|≧3では成立し得ず|b|=1の場合のみ成立しうる。
これを具体的に確認する。
nが大きくなると5^{(n-1)/2}が二項係数に更に係るので
nはある値以下でしか存在し得ない。
b=1のときn=3で3C1+3C3・5=8=2・3C1+2・3C3で成立。よって|b|=1
nは奇数なのでa=±1について調べると
a=1のときc=2,a=-1のときc=-2で成立。
n=4のときnC1+nC3・5-(2・nC1+2・nC3)={n^2(n-3)}/2>0すなわちS>2^n
n≧5においても二項係数(>0)に25-2=23より大きな係数がかかるので
S>2^nとなり等式は成立しない。
よって(a,b,n,c)=(±1,1,3,±2)
みたいに書きました。わかりづらくてすみません。
|b|=1のみ成立しうる→具体例を示したところが自分でも気に入りません(笑)
- 323 :大学への名無しさん:2016/02/11(木) 06:48:00.38 ID:8J/gnpgm1
- >>321
4√3π/9 ですかね?
- 324 :大学への名無しさん:2016/02/11(木) 06:57:31.52 ID:8J/gnpgm1
- 第二項以降は全て正の値なので
1=S/2^n>{na^(n-1)b}/2^n≧{na^(n-1)}/2^nとなり(1)より|a|>1(誤)
→|a|=1(正)
でした
- 325 :大学への名無しさん:2016/02/11(木) 13:07:08.47 ID:ujJKKMGST
- >>323 そうです。>>322 詳しい解答ありがとうございます。私の場合はa>0,b>0の場合で言うと√5の係数は全て正だから最初の係数 nC1a^n-1b/2^n=na^n-1b/2^n>na^n-1/2^n だけで既にa≠1のときは1を越えてしまうからa=1が必要。
- 326 :大学への名無しさん:2016/02/11(木) 13:08:11.97 ID:ujJKKMGST
- このとき√5の各係数にbがつきその和はNb/2^nの形になるがbは奇数だからb≠1のときは分母と約分は起きず、√5の係数にbが残るためb=1しかない:というように示しました。でも同様にあと3通り示さねばいけないのでスマートではありません。
- 327 :大学への名無しさん:2016/02/11(木) 15:01:22.06 ID:8J/gnpgm1
- >>326
ありがとうございます。
a,bの正負は工夫すればまとめられそうな気がしますし、
bが奇数と設定されてるのも、2^nとの約分の関係のためだったのでは
ないかという気がします。想定解に近いのではないですか?
なんで気がつかなかったんだろう…笑
- 328 :大学への名無しさん:2016/02/11(木) 15:08:44.89 ID:8J/gnpgm1
- >>326
b=1しかない、と言ったら、b=1でも成立しないかもしれないから
成立する場合を具体的に確認する必要があるのでしょうか…?
- 329 :大学への名無しさん:2016/02/11(木) 15:38:48.55 ID:ujJKKMGST
- >>328 僕も心配しましたが、確認しなくてよいと思います。(2)の問題文に「奇数a,bと・・nは・・を満たすとする」とあるからです。
- 330 :大学への名無しさん:2016/02/11(木) 15:39:38.17 ID:ujJKKMGST
- 「満たすように」なら確認がいるけど「満たすとする」だからいらないと判断しました。確認まですると一気に(A)までいってしまい(@)と分ける意味がなくなるんじゃないでしょうか。
- 331 :大学への名無しさん:2016/02/11(木) 15:49:32.80 ID:7xDbS8KjW
- >>315
1/2 ってどういう意味?
そんな答えは出そうにないんだが
- 332 :大学への名無しさん:2016/02/11(木) 16:04:27.03 ID:8J/gnpgm1
- >>330
確かに、おっしゃる通り、今考えるとそう思います
ありがとうございました
- 333 :大学への名無しさん:2016/02/11(木) 16:39:59.21 ID:ujJKKMGST
- >>332 自分以外の解き方をいろいろ伺って総合するとスマートな解が書けそうですね。
こちらこそありがとうございました。
- 334 :大学への名無しさん:2016/02/11(木) 17:40:28.26 ID:dUCwC6v74
- ところで数セミエレガントの
三角数でΣ(1〜10)=55とかΣ(1〜36)=666みたいに「ゾロ目」になる数は
他にあるか?
解けた人いますか?
- 335 :大学への名無しさん:2016/02/11(木) 20:43:05.37 ID:VNHoOT9ze
- そんなウィキペディアに答えが載ってるような問題が出てるの?
- 336 :大学への名無しさん:2016/02/12(金) 06:25:56.65 ID:ed2voZNoh
- >>331 「1/2」がまったく出てこないなら君のその答えは間違えているんじゃマイカ
- 337 :大学への名無しさん:2016/02/12(金) 07:58:21.44 ID:TlU4bJOYD
- 6は補題:『(p+q√k)^n(ただし、p、qはともに整数、k、nはともに自然数)を展開したとき、無理数項と有理数項に分けられるが、各々の項に属する要素の符号はp、qの符号にかかわらず、互いにすべて一致する。』
を二項定理で示して、nの偶奇で場合分けて、無理数項の一項目を取り出して、この係数が少なくとも1より小さいことが必要〜みたいな感じで(1)も使ってやった。
だいぶ前に提出したから詳しいこと忘れちゃった(笑)でも、答えは一致したよ
- 338 :大学への名無しさん:2016/02/12(金) 14:10:57.00 ID:cvZqUshCS
- 6は僕はx^2-x-1=0,x^2+x-1=0の2解だとしてx^n=ax+bとして議論しました
5って今考えたら場合分け4つくらいあります?
- 339 :大学への名無しさん:2016/02/12(金) 14:55:16.89 ID:5+cczQyDB
- >>336
1/(2 log[10])
になったんだが違うのか?
- 340 :大学への名無しさん:2016/02/12(金) 15:10:25.00 ID:ed2voZNoh
- 常用対数と自然対数を混同して log_e(10)を欠いた結果になる
ということじゃないの>>315の言いたいことは
- 341 :大学への名無しさん:2016/02/12(金) 15:33:32.19 ID:pcahgWbg3
- 5番は原点OとP(1,1,1)に対し、OPに垂直な平面で立体を切断するとき、
OP上の点Tから断面までの最長距離と最短距離を考えたとき、Tが原点の
反対側にあるときは対称性からあとで2倍すればよいから、場合分けは最短
となる点が異なる場合分けの2つでいいんじゃないかな。
- 342 :大学への名無しさん:2016/02/12(金) 15:40:21.65 ID:6bBs5MIkg
- ありがとうございます!
- 343 :大学への名無しさん:2016/02/12(金) 17:34:05.18 ID:yu7VLr66q
- >>340
そうだろうね。
ミスするとしたらそこしかない
- 344 :大学への名無しさん:2016/02/12(金) 18:23:02.33 ID:MQmDE6Wpy
- 前の方で話に出てた1の別解を書いときます。
y=x^2上の2点(x=p,q)を結んだ直線の傾きはp+qと表せる。
題意より(a+d)(b+c)=−1である。
y=x^2と円の方程式からyを消去するとxの四次式が現れるが三次の項が0なので解と係数の関係より、a+b+c+d=0
以上からa+d±1だが、a+d>0よりa+d=1
- 345 :大学への名無しさん:2016/02/12(金) 18:27:17.08 ID:6Ku9gVAOg
- a.b.c,dの組み合わせ間違ってたらごめん。
でもこんな感じで解いた。
- 346 :大学への名無しさん:2016/02/12(金) 18:59:48.34 ID:hAJ/6+gHl
- >>341
そうそうそういうこと
単純に大きい方^2-垂線^2でやってたわ
その場合分けしたら4√3/9になる?
- 347 :大学への名無しさん:2016/02/12(金) 19:33:47.97 ID:pcahgWbg3
- >>346 なりますよ。
- 348 :大学への名無しさん:2016/02/12(金) 21:26:22.40 ID:6bBs5MIkg
- πが抜けてるのはご愛嬌♪
- 349 :大学への名無しさん:2016/02/12(金) 21:52:25.87 ID:NPRt/DBQT
- 4番、どうされましたか?
- 350 :大学への名無しさん:2016/02/12(金) 22:03:04.95 ID:pcahgWbg3
- a2以下はすべて2<an<eだから、(an,e)で平均値の定理を使った。
- 351 :大学への名無しさん:2016/02/12(金) 22:56:56.21 ID:NPRt/DBQT
- https://www.youtube.com/watch?v=i2fU1555BTs
- 352 :大学への名無しさん:2016/02/12(金) 23:06:35.50 ID:g4AiGMMns
- 真の天才は、数学と音楽の世界に現れるよな。
- 353 :大学への名無しさん:2016/02/13(土) 13:34:49.91 ID:iIFfTN5+e
- 過疎のはじまりだな、応答者なし。
- 354 :大学への名無しさん:2016/02/13(土) 14:59:12.85 ID:iIFfTN5+e
- 25日からの国公立前期試験、みなさん頑張ってください。
- 355 :大学への名無しさん:2016/02/13(土) 21:37:03.59 ID:MhTPy3MRd
- 今月は宿題より6番とか5番のほうが難しかったかも
- 356 :大学への名無しさん:2016/02/14(日) 00:31:12.98 ID:+HfQNHllu
- 宿題って、基本超難問レベル?
- 357 :大学への名無しさん:2016/02/14(日) 09:47:24.19 ID:TTaysIQog
- 宿題は、結構いろんなタイプに分かれると思う。
難問は難問だけど、
誘導さえあれば入試問題でも出題されるレベル、っていうのもあるし、
数学オリンピックに近いような入試で絶対でないタイプのもある。
本質がわかってないと解けなかったりする問題。
最近は、1つ目のタイプが多い気がする。
- 358 :大学への名無しさん:2016/02/14(日) 10:49:01.72 ID:r6raqBaQk
- 今年の京大の特色入試の方が最近の宿題より難しい
- 359 :大学への名無しさん:2016/02/14(日) 11:09:17.10 ID:TTaysIQog
- それはいえてる。
- 360 :大学への名無しさん:2016/02/14(日) 13:48:19.90 ID:+HfQNHllu
- >357
難問か超難問のどっちかってことかな。
学コンの5,6番は、発展か難問って感じだよね。
- 361 :大学への名無しさん:2016/02/14(日) 14:03:40.72
- 普通は学コンの5,6の方が簡単だと思うが
4月とかはえらい簡単な宿題が出たりする
- 362 :大学への名無しさん:2016/02/14(日) 14:34:20.07 ID:pIAKBK20E
- 国際数学オリンピックでも、本番よりも春合宿のテストの方が難しいよな。
- 363 :大学への名無しさん:2016/02/14(日) 14:36:53.64 ID:pIAKBK20E
- ショートリストの問題も本番より難しいのが多いよな。
- 364 :大学への名無しさん:2016/02/14(日) 21:46:46.62 ID:CH0Yw/1mP
- いつもは3月の学コンない時期は過疎ってんすか?
- 365 :大学への名無しさん:2016/02/14(日) 21:47:24.77 ID:CH0Yw/1mP
- スレチだけどちなみに数オリ受けた人(^-^)/
- 366 :大学への名無しさん:2016/02/14(日) 21:56:19.80 ID:+HfQNHllu
- 荻田さん、予選突破してたよね。
- 367 :大学への名無しさん:2016/02/15(月) 21:03:42.66 ID:2dvKpTVzc
- >>290
ひょっとして、統失ですか?
- 368 :大学への名無しさん:2016/02/15(月) 21:06:39.31 ID:HDdze1trN
- ジョン・ナッシュも統合失調症だったよな。
天才に有りがち。
- 369 :大学への名無しさん:2016/02/17(水) 20:18:01.21 ID:tmv8jNbJq
- おまえらの志望校どこ?
- 370 :大学への名無しさん:2016/02/17(水) 20:58:08.29 ID:7mz1kTHcA
- 天才に等質が多いのは認めるが
等質に天才が多いとはまったくいえん
- 371 :大学への名無しさん:2016/02/17(水) 23:09:44.57 ID:MxWsB0fHO
- 2月号の答案は明後日の19日に発送だったね、待ち遠しいな。2月号は5番と
6番がかなり難しかったのと、受験シーズン真っ最中だったので、現役生の
応募が少ないかも。
- 372 :大学への名無しさん:2016/02/18(木) 21:18:36.67 ID:gq8e0IG41
- >>365
数学マニアなら数学オリンピック辞典は買っておくべきだよな。
- 373 :大学への名無しさん:2016/02/19(金) 01:13:06.35 ID:ZE0ubDyKK
- >>372
いいえ
- 374 :大学への名無しさん:2016/02/19(金) 10:43:36.27 ID:GC3Qcsr5m
- そこは九工大にしか行けなかったオッサンが書いた
整数問題辞典だろ
これさえあれば九工大に行けるぜ
ま、何も無くても行ける大学だけどな・・
- 375 :大学への名無しさん:2016/02/19(金) 19:02:47.51
- 学コンの過去問集でるぞ
- 376 :大学への名無しさん:2016/02/19(金) 20:24:50.91 ID:TJO5mxxpP
- 2005年以前のも欲しいよね。
10問で500円なら買う。
- 377 :大学への名無しさん:2016/02/19(金) 20:44:27.34 ID:jo/vHzXlB
- >>375
絶対出ないだろ。
それやったら月刊 大数が売れなくなるし。
- 378 :大学への名無しさん:2016/02/19(金) 20:49:43.44 ID:4Fg9ccmG3
- 宿題が集められた問題集ならあるよな。
ピーター・フランクルの中学生でも解ける、大学生にも解けない数学問題集ってのが。
- 379 :大学への名無しさん:2016/02/19(金) 21:41:12.94
- >>377 早く3月号買いなよ
- 380 :大学への名無しさん:2016/02/20(土) 00:50:29.97 ID:4DKMHGDjv
- 2月号の答案、19日発送だったね。今日とどくかな。待ち遠しい。
- 381 :大学への名無しさん:2016/02/20(土) 02:11:17.40 ID:/+8vA2YLi
- ……………………
「早稲田大学の大隈重信の銅像」と「慶應義塾大学の福沢諭吉の銅像」はどっちが格上だと思いますか?
早稲田大学の大隈重信の銅像
https://www.youtube.com/watch?v=U2gxBPucWQs
慶應義塾大学の福沢諭吉の銅像
https://www.youtube.com/watch?v=0RhSTUKqlPc
……………………
- 382 :大学への名無しさん:2016/02/20(土) 06:40:34.92 ID:wwPlpqlfj
- >>377
マジで出るみたいよ。
- 383 :大学への名無しさん:2016/02/20(土) 08:57:52.17 ID:ZSY/aG0FQ
- 早稲田理工の5番、学コンでやったばかりだった回転体で、
「やった!」と一気に解いたのだが、円錐面の通る体積と
思い込んでしまい、撃沈しました…。なんでわざわざ
中身をくりぬいた体積を求めてしまったんだ…。
国公立マジで心配でたまらない。
- 384 :大学への名無しさん:2016/02/20(土) 23:58:18.57 ID:7nYWuQY7J
- その場合答えいくつになる?
- 385 :大学への名無しさん:2016/02/21(日) 11:09:20.86 ID:7fV5nwSxx
- 真矢ちゃん学コン安定の94点w
- 386 :大学への名無しさん:2016/02/21(日) 11:49:13.19 ID:CXFnodDfk
- チャート式 医学部入試数学が出たな。
気合い入りまくってるわ。
- 387 :大学への名無しさん:2016/02/21(日) 13:06:13.08 ID:UC/hLzMu6
- 1月宿題正答率低いね
間違った人ってどんな議論をしたのか興味ある
該当者がいたら教えてほしい
- 388 :大学への名無しさん:2016/02/21(日) 13:25:01.40 ID:3wTkQ0JF2
- チャート式といいFocusGold といい、昔の参考書に比べかなり難易度が高い。
- 389 :大学への名無しさん:2016/02/21(日) 20:41:40.66 ID:Nwb7I2nmr
- >>385
真矢ちゃんって、可愛いんかな?
- 390 :大学への名無しさん:2016/02/22(月) 16:25:05.36 ID:ovebcZHAm
- 今月の宿題、どこかでみたことある式のような気がするんだが思い出せん。
(2)、まったく手がつかない。
どうやって(1)を使うのかさっぱりだな。。。
- 391 :大学への名無しさん:2016/02/22(月) 18:36:07.58 ID:uO6nZLRyD
- 3月号手に入れたんだが、学コンやろうとしたらないんだけど、なんでなの?
- 392 :大学への名無しさん:2016/02/22(月) 18:48:28.13 ID:VGsfKBWi+
- 今年度、最後の学コン返ってきた?
みんな、どうだった?
- 393 :大学への名無しさん:2016/02/23(火) 00:30:12.55 ID:N4rvkhuWp
- 毎年3月号に学コンは無いよ。4月号から始まる全国の入試問題正解を編集するので手一杯になるからだろうと思うよ。2月号の答案返却が例月よりも10日も早いのもそのためじゃないかな。
- 394 :大学への名無しさん:2016/02/23(火) 08:31:04.22 ID:AuNo4CKkZ
- いやいや、答案返却が入試に間に合わないからでしょ。
いちおう、学コンは入試を意識してるんだし。
- 395 :大学への名無しさん:2016/02/23(火) 10:47:50.19
- 入試に間に合わないというだけなら
来年度の新3年生向けになればいいだけじゃん。
そもそも終わった入試の問題なんて
その大学を受ける旧年度生には間に合わないわけだし
間に合わないからやらないという理屈で学コンをやめるなら
間に合わないものを載せるのは意味不明。
- 396 :大学への名無しさん:2016/02/23(火) 17:22:29.27 ID:xKs+eTQ1Y
- 新しい情報をなるべく早く載せるのが雑誌の使命だと思うのだけど・・・
- 397 :大学への名無しさん:2016/02/23(火) 18:50:04.13 ID:zHQl3Wi8C
- 宿題はなんで3月号にはあるんだろうかね?
- 398 :大学への名無しさん:2016/02/23(火) 20:38:43.17 ID:zO2BsusGE
- 荻田さん、数オリ本選突破したね。
- 399 :大学への名無しさん:2016/02/24(水) 22:07:30.83 ID:OQGCFdICW
- 力士が金賞だったな。
- 400 :大学への名無しさん:2016/02/25(木) 13:16:15.26 ID:MFyBxqwlY
- 宿題、2-2cos〜だと思うんだがなぁ。
なかなか示せない。。。
- 401 :大学への名無しさん:2016/02/26(金) 10:17:07.57 ID:iPsHkH+9S
- 思うも何もそのための誘導だろ
- 402 :大学への名無しさん:2016/02/26(金) 21:02:20.03 ID:HO9YVhymW
- 今年の東大理系数学はどんな感じでしたか?
- 403 :大学への名無しさん:2016/02/26(金) 21:42:20.59 ID:XleQ3xvgu
- 例年よりはやや軽めな感じだった。
3番は計算ミスだけが注意点の易問だった。
6番の回転体の体積はおもしろかった。
- 404 :大学への名無しさん:2016/02/27(土) 18:20:06.21 ID:gXWHxvIgP
- 1月の宿題の出題者1,2月の学コン6も出題していたけど何者なんや
- 405 :大学への名無しさん:2016/02/27(土) 19:58:10.30 ID:dNWg7VfnQ
- >>404
数オリメダリストとかじゃないの?
- 406 :大学への名無しさん:2016/02/27(土) 23:20:58.57 ID:yONmXf0Cx
- >>400
偶数のときに4以下は示せるんだが、他は全然。
- 407 :大学への名無しさん:2016/02/28(日) 07:30:06.81 ID:5kCPx24sf
- 荻田さん、東大受かったんかな?
- 408 :大学への名無しさん:2016/02/28(日) 12:37:34.61 ID:HxNDyh5uV
- Twitterより
葛西祐美
3月13日7時からフジテレビで放送される東大生特集の3時間番組
『さんまの東大方程式』に出演します!
明石家さんまさんが東大生40人を相手に、
東大生の勉強法や恋愛事情など東大生実態を明らかにするというトーク番組です。
私は(カットされていなければ)ちらちら喋るので、是非是非!!
- 409 :大学への名無しさん:2016/02/29(月) 15:57:06.13 ID:aaH26gcyS
- >>407
お前個人に言及しすぎ。いい加減しつこいから失せろ。
- 410 :大学への名無しさん:2016/02/29(月) 18:37:40.61 ID:xmSe0n4Lo
- >>406
n=2のときは定数、n=3も定数、n=4は2以上4以下は直接示せる。
n=4のとき、1,0,-1,0ととれば2になるので、
最小となるn個の点は同一円周上にあるとは限らない。
- 411 :大学への名無しさん:2016/03/01(火) 12:12:45.44 ID:DNfFComWW
- 素晴らしく過疎ってるな
- 412 :大学への名無しさん:2016/03/02(水) 09:24:58.98 ID:nReRPE+eb
- 宿題、完全に解けたやついないの?
- 413 :大学への名無しさん:2016/03/02(水) 13:11:53.63 ID:R5Ha6A9Fx
- 解けましたよ
- 414 :大学への名無しさん:2016/03/02(水) 13:12:40.21 ID:nReRPE+eb
- なにつかった?数学的帰納法?
- 415 :大学への名無しさん:2016/03/02(水) 13:21:44.32 ID:R5Ha6A9Fx
- そんなところですね
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