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【月刊大学への数学】学力コンテスト・宿題23
- 1 ：大学への名無しさん：2016/01/09(土) 22:40:25.98
- ★次スレは、>>980 を踏んだ人が立ててください
学コンや宿題のネタバレ・問題分析等は大数本誌のスレなどではやらず、こちらでお願いします。
演習書等は関連スレを参考にしてください。
関連スレ
【月刊】大学への数学【東京出版】
http://kohada.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1309011572/
【大学への数学が】大数ゼミ 5【講義する】
http://maguro.2ch.net/test/read.cgi/juku/1379166999/
■■■ 新数学スタンダード演習＆新数学演習 ■■■
http://kohada.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1326300184/
【大学への】1対1対応の演習 part32【数学】
http://nozomi.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1396697361/
前スレ
【月刊大学への数学】学力コンテスト･宿題22
http://nozomi.2ch.sc/test/read.cgi/kouri/1446560342/
- 417 ：大学への名無しさん：2016/03/02(水) 13:31:16.43 ID:R5Ha6A9Fx
- お前が言ったんだろ
- 418 ：大学への名無しさん：2016/03/02(水) 13:37:02.82 ID:nReRPE+eb
- 一発できれいにいく方法はないのか、やはり。。。
- 419 ：大学への名無しさん：2016/03/02(水) 15:41:20.69 ID:R5Ha6A9Fx
- そんなところですね
- 420 ：大学への名無しさん：2016/03/02(水) 16:16:36.18 ID:I9eVZgVmg
- ほんとに解けてるならもっと詳しく解法頼む
- 421 ：大学への名無しさん：2016/03/02(水) 17:26:09.46 ID:R5Ha6A9Fx
- まだ締め切り前ですので遠慮させていただきます
- 422 ：大学への名無しさん：2016/03/02(水) 17:56:53.41 ID:I9eVZgVmg
- ヒントだけでも！
- 423 ：大学への名無しさん：2016/03/02(水) 21:19:40.42 ID:I9eVZgVmg
- ヒントすらないということは
だれも解けてないのか。。。
- 424 ：大学への名無しさん：2016/03/02(水) 21:28:43.47 ID:CrhaQJyLZ
- 東大受けた人
数学はどうですたか？
- 425 ：大学への名無しさん：2016/03/02(水) 22:01:12.67 ID:R5Ha6A9Fx
- いや、解けたかつ解法やヒントを書き込む人がいないだけで、解けた人はいる
- 426 ：大学への名無しさん：2016/03/02(水) 22:02:30.94 ID:lRAEE/D9T
- 宿題は今年度2度目の難問だな
複素多変数実数値関数の値域の話だが
条件付だしヒントがあっても難しい
解けてる人は一桁かな
- 427 ：大学への名無しさん：2016/03/02(水) 22:50:58.45 ID:I9eVZgVmg
- いきなりレベル上がりすぎだろ
てがかりすらわからないわ。
そうかそうじょうが使えないのに
どうやって中心角が等しい、がでてくるのか謎だわ
答えは直感的にわかるのになぁ
- 428 ：大学への名無しさん：2016/03/02(水) 23:59:46.21 ID:CrhaQJyLZ
- 未定乗数でいける？
- 429 ：大学への名無しさん：2016/03/03(木) 00:16:33.08 ID:6IuEoOOkf
- >>414帰納法ってwwwこいつ頭大丈夫か？
- 430 ：大学への名無しさん：2016/03/03(木) 10:23:38.05 ID:t9unr2zUj
- (2)は難しい…というか…3月号の宿題は難しい…
去年のぬほん語みたいに提出したのに不正解で編集部の恥さらしにはなりたくない。
- 431 ：大学への名無しさん：2016/03/03(木) 10:43:57.42 ID:oYT4GYhjF
- 今回のは去年みたいに、間違える問題ではないでしょ
そもそも解けないので解答すら書けない
- 432 ：大学への名無しさん：2016/03/03(木) 13:31:18.76 ID:evrMYCkKi
- >>431言ってることおかしくない？
- 433 ：大学への名無しさん：2016/03/03(木) 19:04:31.93 ID:VDzQ7+Csr
- 昨年3月のは、一見正しそうな「なんちゃって証明」を書いて自滅した人が多かったんでしょ。
今回は、凡人にはなんちゃって証明すらも書けず手も足も出ない、
書けるとしたら正しい証明しか書けない、ということでしょ。
- 434 ：大学への名無しさん：2016/03/03(木) 19:14:48.47 ID:dl6s7wnUI
- >>433
それ！
正答率低いか正答者少ないか、みたいな違い
- 435 ：大学への名無しさん：2016/03/03(木) 19:33:13.80 ID:aO+PjpwIr
- 今までのコメントにある、未定乗数でも厳しいと思う。
使ってはいけないだろうというのもあるし。
数学的帰納法も、nとn+1でケースが違いすぎるからなぁ。
極座標で書くとΣz_i=0の条件が使いにくいし、
x+yi形式で書いても分子の処理がやりづらい。
n点のうち1点でも動かすとΣz_i=0が外れるし、
Σz_i^2=1と固定しても分子をきれいに書き直せるわけじゃないし、
もうどうすれば。。。
- 436 ：大学への名無しさん：2016/03/03(木) 19:43:50.36 ID:9qJJUV+19
- 解けたよ
- 437 ：大学への名無しさん：2016/03/03(木) 20:50:44.07 ID:JyPTxlrWz
- 数オリと、どっちが難しいんだ？
- 438 ：433：2016/03/03(木) 20:51:07.33 ID:VDzQ7+Csr
- ちなみに俺は凡人な
- 439 ：大学への名無しさん：2016/03/03(木) 22:38:41.40 ID:ysmwtwkET
- 宿題はシンプルな答になった。
でも(1)使わなかったんで間違ってるかも・・・。
- 440 ：大学への名無しさん：2016/03/03(木) 22:41:52.07 ID:N+ujS2Y6l
- >>439
答えは？
- 441 ：大学への名無しさん：2016/03/03(木) 22:43:45.69 ID:N+ujS2Y6l
- 最大値と最小値はいくつですか？という意味です
- 442 ：大学への名無しさん：2016/03/03(木) 22:45:59.15 ID:ysmwtwkET
- 合ってるかどうか分からないけど、締め切り前なんで勘弁して下さい。
- 443 ：大学への名無しさん：2016/03/03(木) 22:52:25.65 ID:ysmwtwkET
- でも結局(1)で表せるのかなとは思ってる。
- 444 ：大学への名無しさん：2016/03/03(木) 22:54:40.19 ID:aO+PjpwIr
- 円周上の点ではないかもしれないけど、
(1)のどれかになるんじゃないか？
- 445 ：大学への名無しさん：2016/03/03(木) 23:20:57.14
- 答えの予想間違っていると解きにくいよ
- 446 ：大学への名無しさん：2016/03/04(金) 23:54:45.92 ID:uPQef8nnd
- >>444
(1)のどれかって円周上の点だろ？
- 447 ：大学への名無しさん：2016/03/05(土) 05:10:22.94 ID:BlEgauKsp
- 439だけど、少し勘違いしてた。最後で(1)使った。(1)のどれかにはなるけど、
それを満たすものが(1)とは限らないけどね。
- 448 ：大学への名無しさん：2016/03/05(土) 05:29:19.33 ID:v8a32YURX
- nが4のときは、0,1,0,-1の時も最小値になる
円周上の点でなくても、最小値になることもあるということ
- 449 ：大学への名無しさん：2016/03/05(土) 07:23:43.96 ID:v8a32YURX
- そろそろだれか方針のヒントくらい出してくれないかなぁ
- 450 ：大学への名無しさん：2016/03/05(土) 08:24:20.85 ID:u/E9KqzKd
- n=6のときは 0, 0.5, -0.5, -1, -0.5, 0.5 のときでも最小。
x座標だけ取り出してもいいということ。
- 451 ：大学への名無しさん：2016/03/05(土) 08:49:19.14 ID:BlEgauKsp
- >>450 もっと小さくなりますよ。
- 452 ：450：2016/03/05(土) 09:09:22.23 ID:u/E9KqzKd
- 誤 0, 0.5, -0.5, -1, -0.5, 0.5
正 1, 0.5, -0.5, -1, -0.5, 0.5
だった。
- 453 ：大学への名無しさん：2016/03/05(土) 15:07:10.91 ID:8wGaRWxqJ
- >>451
元々0次の斉次函数なんだから幾らでも小さくできるだろ
- 454 ：大学への名無しさん：2016/03/05(土) 15:09:14.49 ID:iXB2ex42P
- え。。。
- 455 ：大学への名無しさん：2016/03/05(土) 16:20:59.90 ID:BlEgauKsp
- >>453
？
- 456 ：大学への名無しさん：2016/03/05(土) 16:29:14.74 ID:m6/Fb+wDg
- 最大と最小だったら、最小の方が簡単？
- 457 ：大学への名無しさん：2016/03/05(土) 16:31:28.90 ID:BlEgauKsp
- 同じ位だと思う。結果は最小の方だと思うけど。
- 458 ：大学への名無しさん：2016/03/05(土) 16:41:28.15 ID:m6/Fb+wDg
- イェンセン使うと幸せになれそう？
- 459 ：大学への名無しさん：2016/03/05(土) 16:47:26.26 ID:xj3jtsR2Y
- はい
- 460 ：大学への名無しさん：2016/03/05(土) 16:47:58.70 ID:xj3jtsR2Y
- 工夫して使うけどね
- 461 ：大学への名無しさん：2016/03/05(土) 16:52:47.55 ID:m6/Fb+wDg
- そのまま使えないんだよなー。
まぁでもイェンセン使うっぽいのを
自力でわかっただけでもいいや
- 462 ：453：2016/03/05(土) 17:18:42.71 ID:8wGaRWxqJ
- ごめん、ごめん勘違いだったわ
- 463 ：大学への名無しさん：2016/03/05(土) 17:26:09.21 ID:Tzznj+0f3
- 勘違いで済む話か？
- 464 ：大学への名無しさん：2016/03/05(土) 20:39:36.75 ID:iXB2ex42P
- イェンセンの使い方工夫しても、中心角のcosの符号が揃わねぇ。。。
- 465 ：大学への名無しさん：2016/03/05(土) 22:30:57.40 ID:vGh4r/4lZ
- ちゃんと目標の値を意識しないと示せないですよ
- 466 ：大学への名無しさん：2016/03/05(土) 22:52:50.81 ID:iXB2ex42P
- 目標の値って、(1)のどれかってことでしょ。
それはわかってるんだけどなぁ。うーむ。。。
- 467 ：大学への名無しさん：2016/03/05(土) 23:34:40.35 ID:m6/Fb+wDg
- 都合の悪いcosは無視すればいいのかな
- 468 ：大学への名無しさん：2016/03/06(日) 10:51:38.36 ID:P9b3YIxjI
- zを極座標表示してΣr^2=1としたとき、与式は
2+Σ(r-r)^2cos-Σ(r^2+r^2)cos
の形に変えられるけど
cosが全部正でもないのに下から評価できるの？
- 469 ：大学への名無しさん：2016/03/06(日) 11:54:32.24 ID:+s0RwWB2t
- 〆切まで待てよｗ
乞食かよｗ
"( ´ﾟ,_」ﾟ)ﾋｯｼﾀﾞﾅ"ｗｗｗ
- 470 ：大学への名無しさん：2016/03/06(日) 13:17:11.62 ID:TcOwUlXCN
- 頭悪い上にマナーがなってない
- 471 ：大学への名無しさん：2016/03/06(日) 17:21:04.90 ID:vb6bUYFmv
- 頭悪いのにマナーがいいとかないだろ
- 472 ：大学への名無しさん：2016/03/06(日) 17:23:53.57 ID:IW2rbobXz
- 安倍晋三の悪口はそこまでだ
- 473 ：大学への名無しさん：2016/03/06(日) 17:32:41.34
- >>471
マナーの先生で
勉強できる人なんていない
- 474 ：大学への名無しさん：2016/03/06(日) 18:27:33.33 ID:TcOwUlXCN
- どうでもいい
頭の良し悪しもマナーの良し悪しも程度の問題で二択ではないんだから
調子に乗って話広げんな
- 475 ：大学への名無しさん：2016/03/06(日) 18:40:04.47
- >>474
何の力も無いカスのおまえを楽しませるレスをしなければならんわけでもなし
他人を思い通りに動かしたくてたまらないなら
自分の日記帳でどうぞ
- 476 ：大学への名無しさん：2016/03/06(日) 19:20:35.78 ID:TcOwUlXCN
- 日記帳でどうぞって指図しているということは、こちらを思い通りに動かそうとしている？
でも、そういうときはここに書き込むのでなく自分の日記帳に書くんですよね。
あれ、矛盾しましたね。どうします？
- 477 ：大学への名無しさん：2016/03/06(日) 19:38:10.02
- >>476
何の力も無いカスのおまえでも
思い通りにできる世界を薦めてあげてるだけだな
何様のつもりか知らんが
「調子に乗って話広げんな」とか命令してるおまえとは違うよ
おまえみたいな馬鹿はどこまでいっても馬鹿だな
- 478 ：大学への名無しさん：2016/03/06(日) 19:51:28.66 ID:kvuFrq85K
- バカ同志楽しくやってね。
- 479 ：大学への名無しさん：2016/03/06(日) 21:57:53.64 ID:vb6bUYFmv
- 宿題を未定乗数法で解いた人いる？
- 480 ：大学への名無しさん：2016/03/07(月) 16:27:38.23 ID:qIdw3hdxF
- 粘着質、空気読めない、連投
さては楕円君だな？
- 481 ：大学への名無しさん：2016/03/07(月) 21:07:18.55 ID:VfUwBSbkD
- 今年度で一番興味を持った宿題、どれだった？
- 482 ：大学への名無しさん：2016/03/07(月) 21:58:59.51 ID:oiuSpuR6E
- 4月号のやつ
- 483 ：大学への名無しさん：2016/03/07(月) 22:20:26.67 ID:VfUwBSbkD
- やっぱり。
あれインパクトあったよね。
- 484 ：大学への名無しさん：2016/03/08(火) 21:18:24.54 ID:KGWegzIkQ
- 学コンや宿題で賞品貰った人っていますか？
- 485 ：大学への名無しさん：2016/03/08(火) 22:42:23.76 ID:tbTyGLCu2
- 宿題の過去問題集出せばいいのにね。
なんで出さないのかな？
- 486 ：大学への名無しさん：2016/03/08(火) 22:45:36.95 ID:vsA5ez90r
- >>484
あるよ。バインダーとノートと図書カード
- 487 ：大学への名無しさん：2016/03/08(火) 23:25:11.94 ID:wQ5vrNB5D
- >>485
誰が買うの？
- 488 ：大学への名無しさん：2016/03/09(水) 14:46:05.64 ID:Cc0pCmn4i
- そもそも解いてる人が100人切ってるからなぁ。。。
- 489 ：大学への名無しさん：2016/03/09(水) 15:11:10.13 ID:6Laq/q4Aq
- 数セミのエレ解は出版してたから解く層と読みたい層は違うから
採算は取れると思うが
- 490 ：大学への名無しさん：2016/03/09(水) 19:16:24.86 ID:Hlp8bjxdI
- >>487
京大特色入試や東大後期数学（無くなったけど）には使えるよな。
Z会もそれに対応した講座が去年新設されたしね。
- 491 ：大学への名無しさん：2016/03/09(水) 19:42:32.64 ID:pA7rtkZPO
- >>488
宿題は大学受験を遥かに逸脱してるからなぁ。
それに取り組むのはオーバーワークだし、趣味の域だよな。
応募層は高卒か社会人が多いしね。
- 492 ：大学への名無しさん：2016/03/09(水) 19:43:51.15 ID:Cc0pCmn4i
- 今月の宿題とか、試験中の数時間で解けるレベルじゃないし。
- 493 ：大学への名無しさん：2016/03/09(水) 20:44:19.44 ID:pA7rtkZPO
- まあ、学コンや宿題やってる奴なんて難問に飢えた数学オタクだしね。
- 494 ：大学への名無しさん：2016/03/10(木) 19:52:46.80 ID:MHYfIbdtF
- 宿題解けた人、もうちょっとしたら解答教えてー。
- 495 ：大学への名無しさん：2016/03/10(木) 22:09:30.66 ID:r4a2sd+m9
- 解けない言い訳する奴ら多すぎw
- 496 ：大学への名無しさん：2016/03/10(木) 22:19:21.03 ID:r4a2sd+m9
- イェンゼンの不等式まったく関係ないと思ったんだけど、少なくとも自分の解法では。
- 497 ：大学への名無しさん：2016/03/10(木) 22:24:13.47 ID:RaTTPCSoH
- 数オタって、キモオタに多いの？
- 498 ：大学への名無しさん：2016/03/10(木) 22:31:00.92 ID:GsmPRrvyf
- 理学部数学科の闇は深いで。
- 499 ：大学への名無しさん：2016/03/10(木) 23:02:41.82 ID:MHYfIbdtF
- イェンセン関係ないのか
僕は未定乗数法に逃げてしまったが
- 500 ：大学への名無しさん：2016/03/11(金) 08:53:09.40 ID:38P1ucT3L
- 今月の宿題は難しかったですね。
簡単に解く方法はあるのでしょうか。
- 501 ：大学への名無しさん：2016/03/11(金) 10:41:56.72 ID:43sZPvMqs
- 簡単に、ってのはないと思うが、
エレガントな解き方はありそう。
- 502 ：大学への名無しさん：2016/03/11(金) 11:21:13.97 ID:38P1ucT3L
- 一応解いたのですが、固有値、固有ベクトルを使って2次形式の標準化を行ったので
かなり大変でした。
- 503 ：大学への名無しさん：2016/03/11(金) 11:45:01.39 ID:6CkX2zUCe
- >>502
対称行列の定値性を使ったの？
- 504 ：大学への名無しさん：2016/03/11(金) 12:43:53.29 ID:43sZPvMqs
- 高校の範囲で解くのは無理なのかな。
未定乗数法も大学の範囲だし。
- 505 ：大学への名無しさん：2016/03/11(金) 15:11:29.87 ID:g7yd0wxxb
- 高校範囲でも解けるから宿題として出題されていると思うが
- 506 ：大学への名無しさん：2016/03/11(金) 15:37:43.99 ID:Vx/DO1Y1s
- >>502
F=2-2G として G の部分を考察しました。
n=3 の場合を例とすると
３つの複素数をベクトルと考えて
成分で表し (a,d),(b,e),(c,f)
とすると
G=(ab+bc+ca+de+ef+fd)/(a^2+b^2+c^2+d^2+e^2+f^2)
となりますがこれの最大最小を考えるために、まず
I=(ab+bc+ca)/(a^2+b^2+c^2)
を考えました。この値をkとおいて分母を払うと
k(a^2+b^2+c^2)-(ab+bc+ca)=0
となりますが この2次形式を表す対称行列
の固有値がcos0°,cos120°,cos240°
となります。一般に1のn乗根の実部
が固有値になります。
これを用いて標準化すると
k(x^2+y^2+z^2)-(x^2×cos0°+y^2×cos120°+z^2×cos240°)=0
といった形になり
標準形の係数に固有値が現れます。
条件のa+b+c=0 は x=0 となり
k=(y^2×cos120°+z^2×cos240°)/(y^2+z^2)
みたいな形になります。
n=3のときは定数になってしまいますが
一般には1のn乗根の実部のうち1を除いた(n-1)個の
重みつき平均となります。
このことからkの範囲がわかります。
いかがでしょうか。どこか
間違っているでしょうか。
(
- 507 ：大学への名無しさん：2016/03/11(金) 16:10:19.97 ID:hGTsqCeBC
- DFTによる巡回行列対角化
- 508 ：大学への名無しさん：2016/03/11(金) 17:04:41.62 ID:rr3kvELtx
- >>506
少しだけ訂正します。
2次形式を表す対称行列
の固有値は
cos0°,cos120°,cos240
ではなく
k-cos0°,k-cos120°,k-cos240
でした。お詫びして訂正します。
- 509 ：大学への名無しさん：2016/03/11(金) 19:21:48.39 ID:rr3kvELtx
- >>507
初めて知りました。参考にさせていただきます。
- 510 ：大学への名無しさん：2016/03/11(金) 19:54:40.70 ID:e4HZUaDjX
- 今月の宿題って、大学数学じゃないと解けないの？
それだと、数セミのエレ解だよね？
- 511 ：大学への名無しさん：2016/03/11(金) 20:43:31.88 ID:43sZPvMqs
- いや解けると思うんだけど、その解答はまだ誰も書き込んでない。
- 512 ：大学への名無しさん：2016/03/11(金) 22:36:14.62 ID:DIAKLhife
- 取り敢えず、ΣZk＝0は横に置いといて、
G=(Σ|Zk||Zk+1|cosθk)/Σ|Zk＾2| （但し、cosθk＝argZk+1/Zk)とすると、
|Zk|、|Zk+1|、|Zk＾2|とcosθkは独立した変数になるから、
cosθkが0以上で共通の最大値を取ると、Gも最大値を取り、
cosθkが負で共通の最小値を取ると、Gも最小値を取る。
よって、θk＝θに統一して
G=cosθ×(Σ|Zk||Zk+1|)/Σ|Zk＾2|…①とする。
次に(Σ|Zk||Zk+1|)/Σ|Zk＾2|=Tとし、Tの最大値を考える。
Σ|Zk＾2|＝1/2(Σ|Zk＾2|+|Zk+1＾2|)なので、
1/2Σ|Zk＾2|ーΣ|Zk||Zk+1|=1/2Σ(|Zk|-|Zk+1|)≧0
よってTの最大値は１なので、Gは
【cosθが0以上で最大値を取ると、Gも最大値cosθを取り、
cosθが負で最小値を取ると、Gも最小値cosθを取る。】…②
またT=1の時、|Zk|＝|Zk+1|だからZkは同心円上にあり、
またθk=θ(一定)より、Zkは正ｎ角形をなす。
故に、これはΣZk=0も満たすので、②の条件を取るθを探せば良い。
1≦s≦n-1として、nθ=s×2πと置き、nが偶数(2p)、奇数(2p+1)の時に分けて考える。
- 513 ：大学への名無しさん：2016/03/11(金) 22:37:12.48 ID:DIAKLhife
- n=2p(但しp≧2)の時
θ＝2πs/2p=πs/pなので、1≦s≦2p-1から、
π/p≦θ≦(2p-1)π/p=2πーπ/p
よって、n=2p(p≧2)の時、cosθは最小値cosπ=－1、最大値cos(π/p)=cos(2π/n)
を取る。
n=2p+1（但しp≧2)の時
θ＝2πs/2p+1=なので、1≦s≦2pから、
2π/2p+1≦θ≦2p×2π/2p+1=2πー2π/2p+1
よって、n=2p+1（p≧2)の時、
cosθは最小値cos2πp/2p+1=cos2π(n-1/2n)、
最大値cos(2π/2p+1)=cos(2π/n)
を取る。
n=2の時、ΣZk=0より、原点対称の2点になり、
これはn=2p(p≧3)の時の結論に含まれる。
n=3の時、ΣZk=0と各Zkのなす角が等角より、
同心円上の正三角形をなし(証明略)、
θ=2π/3 or 4π/3となるので、
いずれにせよcosθ=-1/2
これはn=2p+1(p≧2)の時の結論に含まれる。
- 514 ：大学への名無しさん：2016/03/11(金) 22:37:37.75 ID:DIAKLhife
- 以上より、
nが偶数の時、Gの最小値＝-1
nが奇数の時、Gの最小値＝cos2π(n-1/2n)
2以上の全てのnでGの最大値=cos(2π/n)
となる。
故に
nが偶数の時、Fの最大値＝2-2G＝4
nが奇数の時、Fの最大値＝2-2G＝4sin^2(n-1/2n)π
2以上の全てのnでFの最小値＝2-2G＝4sin^2(π/n)
となる。
- 515 ：大学への名無しさん：2016/03/11(金) 22:38:28.82 ID:DIAKLhife
- 上の解法はどうでしょうか。
- 516 ：大学への名無しさん：2016/03/11(金) 22:47:54.42 ID:DIAKLhife
- 512で一箇所間違えました。
(誤)1/2Σ|Zk＾2|ーΣ|Zk||Zk+1|=1/2Σ(|Zk|-|Zk+1|)≧0
(正)1/2Σ|Zk＾2|ーΣ|Zk||Zk+1|=1/2Σ(|Zk|-|Zk+1|)^2≧0
- 517 ：大学への名無しさん：2016/03/11(金) 23:10:36.84 ID:DIAKLhife
- 同心円上じゃなくて同一円周上でした。
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