【月刊大学への数学】学力コンテスト・宿題24

381 ：大学への名無しさん：2016/06/02(木) 10:24:19.30

xy平面で
正方形領域0≦x≦n,0≦y≦nを考えて
(0,0)が頂点の時、右上の頂点は(k,n-k) (1≦k≦n-1)
この長方形を平行移動したとき(k,n-k)の位置は(k,n-k),(n,n-k),(n,n),(k,n)を頂点とする長方形の
周および内部の格子点で
(n-k+1)(n-(n-k)+1)=(n-k+1)(k+1)
= -k^2 +nk +(n+1)個ある
これを1≦k≦n-1で足すと

-(1/6)n(n-1)(2n-1) +(1/2)n^2 (n-1) +(n+1)(n-1)
=(1/6)(n-1)n(n+1) +(n+1)(n-1)
=(1/6)(n+1)(n-1)(n+6)