【月刊大学への数学】学力コンテスト・宿題25

498 ：大学への名無しさん：2016/10/03(月) 11:41:45.99

部分積分で
∫(2x^2 -x)e^(x^2)dx
= {x -(1/2)} e^(x^2) -∫e^(x^2) dx
0 ≦ x ≦ 1で積分すると
∫[0,1](2x^2 -x)e^(x^2)dx = {(1+e)/2} -∫[0,1]e^(x^2)dx

y = e^(x^2)
y'' = 2(1 +2x^2) e^(x^2) > 0
より、y = e^(x^2) は下に凸で
0≦x≦1 において
端点(0,1),(1,e)を結ぶ線分とx軸の間にある。
この線分とx軸、y軸、x = 1 で囲まれる台形の面積が(1+e)/2で
線分をy=e^(x^2)に置き換えた図形の面積∫[0,1]e^(x^2)dxの方が小さいから
∫[0,1](2x^2 -x)e^(x^2)dx = (1/2)(1+e)-∫[0,1]e^(x^2)dx > 0
でいい気もするけど、どう間違っているのかな？