☆【月刊大学への数学】学力コンテスト・宿題28

116 ：大学への名無しさん：2017/06/23(金) 10:18:41.77

2x=∠ABC, 2y=∠ACB, 4t=BD,f(t)=ADとする
(1)
�@D≠Bの時
2AB*BC cos(2x) = AB^2+BC^2-AC^2=11
cos(2x)=11/16
1+tan(x)^2=1/cos(x)^2=2/(1+cos(2x))=32/27
r[1]/((AB+BD-AD)/2)=tan(x)=(√15)/9
�AD=B の時、不定
(2)
同様に
2AC*BC cos(2y) = AC^2+BC^2-AB^2 = 21
cos(2y) = 7/8
1+tan(y)^2=2/(1+cos(2y))=16/15
r[2]/((AC+CD-AC)/2)=tan(y)=1/√15

6(√15)r[1]=5(AB+BD-AD)=5(2+4t-f(t))
6(√15)r[2]=3(AC+CD-AD)=3(7-4t-f(t))

6(√15)(r[1]+r[2])=(31+8t-8f(t))

f(t)^2=4+16t^2-16tcos(2x)=16t^2-11t+4
f(t)=√(16t^2-11t+4)

(d/dt)(t-f(t))=1-f'(t)=1-(1/2)((32t-11)/√(16t^2-11t+4))
よりt-f(t)はt<7/16で単調増加、t>7/16で単調減少とわかり
r[1]+r[2]の最大値は(√15)/4(t=7/16)
最小値は(√15)/6(t=0,1)

かなり力任せにゴリ押しやった