☆【月刊大学への数学】学力コンテスト・宿題28

326 ：大学への名無しさん：2017/07/04(火) 22:47:23.79 ID:LRPTfXbCF

なんかすげー言われてるからなんで合成数が反例作れると思ったかだけ書くね
まず巡回行列のn本の固有ベクトルが1のn乗根ζ(1を含めてn個ある)を使って
{1,ζ,…,ζ^n-1},固有値はこれを巡回行列の一行目と内積とったもの
線形連立方程式Ax=λxは、xとλがそれぞれ同じ係数の固有ベクトルと固有値の一次結合のとき満たされて、しかもλがゼロになるときは
Ax=0の非自明解を得られる
n=mkのときは一次結合の係数をm個おきに1、他を0とかにすれば条件を満たすものが得られ、これから反例を得る

nが素数のときは、巡回行列が全て同じ数か、一次結合の係数が全て同じときしか存在しない(ここが自信ない)
なので題意を満たす