☆【月刊大学への数学】学力コンテスト・宿題28

582 ：大学への名無しさん：2017/07/23(日) 23:31:59.32

t=(1-x)/(1+x)=-1+{2/(1+x)}
dt/dx=-2/(1+x)^2
∫[0,1/2]t^p {1/(1+x)^2} dx=(1/2)∫[1/3,1] t^p dt
p≠-1の時
{1/(2(p+1))}{1-(1/3)^(p+1)}
p=-1の時(1/2)log(3)
∫[0,1]t^p {1/(1+x)^5}dx=(1/2)∫[0,1]t^p {1/(1+x)^3} dt
=(1/16)∫t^p (t+1)^3 dt
ここで部分積分でとか面倒臭いから展開して
=(1/16)∫{t^(p+3)+3t^(p+2)+3t^(p+1)+t^p}dt
=(1/16){(1/(p+4))+(3/(p+3))+3(1/(p+2))+(1/(p+1))}
=(1/16){((2p+5)/((p+4)(p+1)))+3((2p+5)/((p+3)(p+2)))}
={(2p+5)/16}{(p+3)(p+2)+3(p+4)(p+1)}/{(p+4)(p+3)(p+2)(p+1)}
=(2p+5)(p^2+10p+9)/{8(p+4)(p+3)(p+2)(p+1)}