☆☆【月刊大学への数学】 学力コンテスト・宿題30

862 ：大学への名無しさん：2018/05/02(水) 20:29:44.59 ID:8/r6A29QJ

>>844
n≧2で条件を満たすものにおいて、左端と右端に関して
●……●、●……○、○……●、○……○
となるようなものをそれぞれx[n],y[n],z[n],w[n]とおくと、c[n]=x[n]+y[n]+z[n]である

右端に●、○を追加することを考え漸化式を立てると
x[n+1]=x[n]+y[n]
y[n+1]=x[n]
z[n+1]=z[n]+w[n]
w[n+1]=z[n]

したがって
c[n+2]
=x[n+2]+y[n+2]+z[n+2]
=(x[n+1]+y[n+1])+x[n+1]+(z[n+1]+w[n+1])
=(x[n+1]+y[n+1]+z[n+1])+x[n+1]+w[n+1]
=c[n+1]+(x[n]+y[n])+z[n]
=c[n+1]+c[n]

これとc[2]=3,c[3]=4から、この漸化式を解くと
c[n]={(1+√5)/2}^n+{(1-√5)/2}^n　(n≧2)