☆☆【月刊大学への数学】 学力コンテスト・宿題30

915 ：大学への名無しさん：2018/05/08(火) 23:21:06.71 ID:kwWs94hTd

L=(a-t)^2+(b-2t)^2+c^2
=-2t(a+2b)+5t^2+(a+b+c)^2-2(ab+bc+ca)
=-2t(a+2b)+5t^2+1

a+b+c=1よりc=1-a-bをab+bc+ca=0に代入して整理すると
a^2+b^2+ab-a-b=0・・・(i)

a+2b=k⇔a=k-2bとおくと(i)式より
(k-2b)^2+b^2+b(k-2b)-(k-2b)-b=0
3b^2-(3k-1)b+k^2-k=0・・・(ii)

bは実数であるから(ii)のbに関する二次方程式において
判別式D=(3k-1)^2-4･3(k^2-k)≧0
∴1-(2/√3)≦k≦1+(2/√3)

よってt≧0から
5t^2-2t{1+(2/√3)}+1≦L≦5t^2-2t{1-(2/√3)}+1

L≧5t^2-2t{1+(2/√3)}+1
『等号成立は、k=a+2b=1+(2/√3)
このとき(ii)よりb=(3k-1)/6から
a=1/3,b=(1/3)+(1/√3),c=(1/3)-(1/√3)』

≧5[t-{(1/5)+(2√3/15)}]^2+…
『等号成立は、t=(1/5)+(2√3/15)』