東大理系直前数学

1 ：名無しなのに合格：2016/02/13(土) 20:24:17.98 ID:U4u5BpHS.net

第1問
1辺の長さが2の正四面体OABCと、点Oを通り3辺AB,BC,CAと接する球面Sがある。このとき正四面体の4つの面のうち、球面Sの内部にある部分の面積を求めよ。

2 ：名無しなのに合格：2016/02/13(土) 20:24:58.35 ID:U4u5BpHS.net

第2問
m,nを自然数とする。袋の中に、1からmまでの番号を1つずつ書いたm枚のカードが入っている。この袋のなかから無作為にカードを1枚取り出し、番号を記録して元に戻すという試行を繰り返す。
n回目までに取り出したカードの番号の和が偶数となる確率をp(n)とするとき、p(n)を求めよ。

3 ：名無しなのに合格：2016/02/13(土) 20:38:31.84 ID:V93/2/dZ.net

期待

4 ：名無しなのに合格：2016/02/13(土) 20:47:24.85 ID:U4u5BpHS.net

問3
複素数z(z≠-2)に対して、f(z)＝(4z+3)/(z+2)とし、複素数平面上の点列Znを
Z1=i,Zn+1=f(Zn) (n=1,2,...)で定める。
このとき、全てのnに対して点Znは同一円周上にあることを示し、その円の中心と半径を求めよ

5 ：名無しなのに合格：2016/02/13(土) 20:52:18.38 ID:U4u5BpHS.net

問4
座標空間内の点Pは原点を中心とする半径1の球面の外またはその表面に存在する。外に存在するときは速さ2で動き、表面に存在するときは速さ√(5)で動く。
このとき点A(0,0,2)から点B(0,0,-1)に至る点Pの経路のうち、所要時間が最小のもの全体からなる曲面か囲む立体の体積を求めよ。

6 ：名無しなのに合格：2016/02/13(土) 20:56:46.30 ID:U4u5BpHS.net

問5
9進法でも6進法でも同じ桁数になる自然数はいくつあるか

7 ：名無しなのに合格：2016/02/13(土) 21:15:55.16 ID:U4u5BpHS.net

問6
tを-π/3≦t≦π/3をみたす実数とし、それを媒介変数とする
x=2cost-1,y=2sint-tant
が描く曲線をCとする
Cが囲む部分の面積を求めよ。

8 ：名無しなのに合格：2016/02/13(土) 21:18:57.51 ID:Ko96ZaDs.net

ムズい

9 ：名無しなのに合格：2016/02/13(土) 21:21:18.59 ID:Wdrw/70s.net

答えって貼る予定ある？

10 ：名無しなのに合格：2016/02/13(土) 21:21:31.58 ID:U4u5BpHS.net

>>9
そのうち

11 ：名無しなのに合格：2016/02/13(土) 21:22:19.76 ID:U4u5BpHS.net

>>9
でも答え全部書くのは面倒だから基本的な流れと最後の値だけにするかも

12 ：名無しなのに合格：2016/02/13(土) 21:22:35.76 ID:Wdrw/70s.net

>>10
じゃあ解けた分の答え貼らんほうがええやね

13 ：名無しなのに合格：2016/02/13(土) 21:23:15.23 ID:U4u5BpHS.net

>>12
ちなみにどれが解けた？

14 ：名無しなのに合格：2016/02/13(土) 21:23:39.47 ID:Wdrw/70s.net

>>13
2,4,5

15 ：名無しなのに合格：2016/02/13(土) 21:24:06.87 ID:U4u5BpHS.net

>>14
解いてくれてサンキュー

16 ：猿 ◆cAyRRvVN9w ：2016/02/13(土) 21:26:28.93 ID:ZIHC5MuO.net

2が面白い

17 ：名無しなのに合格：2016/02/13(土) 21:29:36.03 ID:H3npNY1q.net

問題は面白そうやけど
今の東大ってもう少し誘導が丁寧な問題がおおくないか？

18 ：名無しなのに合格：2016/02/13(土) 21:30:44.37 ID:U4u5BpHS.net

>>17
そうだね
どちらかというと京大が近いかもしれん

19 ：名無しなのに合格：2016/02/13(土) 21:32:49.46 ID:Wdrw/70s.net

受験生？

20 ：名無しなのに合格：2016/02/13(土) 21:33:30.24 ID:U4u5BpHS.net

>>19
高2

21 ：名無しなのに合格：2016/02/13(土) 21:42:16.47 ID:TxOR4KmM.net

媒介変数の問題は答え欲しいかも

22 ：名無しなのに合格：2016/02/13(土) 21:45:40.94 ID:U4u5BpHS.net

媒介変数のやつは
4π/3+√(3)-4*log(2+√(3))

23 ：名無しなのに合格：2016/02/13(土) 21:47:03.54 ID:rYSnl8dA.net

1以外解けたけど答えはっていい？

24 ：名無しなのに合格：2016/02/13(土) 21:47:15.96 ID:U4u5BpHS.net

>>23
ええよ

25 ：猿 ◆cAyRRvVN9w ：2016/02/13(土) 21:54:15.49 ID:NP8LfXt5.net

2は
mが偶数なら常に1/2
mが奇数なら{1+(-1/m)^n}/2
どうよ

26 ：名無しなのに合格：2016/02/13(土) 21:54:37.56 ID:StkET5/f.net

文系の範囲でできるやつある？

27 ：名無しなのに合格：2016/02/13(土) 21:56:41.93 ID:U4u5BpHS.net

>>25
あってる

28 ：猿 ◆cAyRRvVN9w ：2016/02/13(土) 21:56:56.47 ID:NP8LfXt5.net

>>27
やったあ！

29 ：名無しなのに合格：2016/02/13(土) 21:58:45.52 ID:YCh0LS8w.net

6はグリーンの定理を使っちゃうよ

30 ：名無しなのに合格：2016/02/13(土) 21:58:50.35 ID:Wdrw/70s.net

>>26
多分1,2,5は出来そう

31 ：名無しなのに合格：2016/02/13(土) 21:59:25.28 ID:YCh0LS8w.net

むしろ1は高校入試でも出得る問題だろう

32 ：名無しなのに合格：2016/02/13(土) 22:00:01.52 ID:U4u5BpHS.net

>>26
1,2,5はできる

33 ：名無しなのに合格：2016/02/13(土) 22:00:50.40 ID:U4u5BpHS.net

>>29
そっちのほうがいいね

34 ：名無しなのに合格：2016/02/13(土) 22:08:11.66 ID:U4u5BpHS.net

最後の値だけ書くわ
問1 9√(3)/8+13π/12
問2 mが偶数なら常に1/2 、mが奇数なら{1+(-1/m)^n}/2
問3 中心1-i 半径√(5)
問4 36π/25
問5 1949個
問6 4π/3+√(3)-4*log(2+√(3))

35 ：猿 ◆cAyRRvVN9w ：2016/02/13(土) 22:09:45.89 ID:NP8LfXt5.net

1949だ！整数！

36 ：猿 ◆cAyRRvVN9w ：2016/02/13(土) 22:11:21.22 ID:NP8LfXt5.net

あら

37 ：名無しなのに合格：2016/02/13(土) 22:12:19.64 ID:U4u5BpHS.net

>>35
やりますねぇ！

38 ：名無しなのに合格：2016/02/13(土) 22:15:02.03 ID:H3npNY1q.net

問3の漸化式溶けるよな？
解いちゃったほうが楽かな

39 ：猿 ◆cAyRRvVN9w ：2016/02/13(土) 22:15:33.81 ID:NP8LfXt5.net

>>37
1以上6未満と1以上9未満
6以上6^2未満と9以上9^2未満
...
でいいんでしょ？

40 ：名無しなのに合格：2016/02/13(土) 22:16:38.00 ID:U4u5BpHS.net

>>39
うん

41 ：猿 ◆cAyRRvVN9w ：2016/02/13(土) 22:18:40.29 ID:NP8LfXt5.net

>>40
ありがとう
やったね

42 ：名無しなのに合格：2016/02/13(土) 22:21:12.00 ID:U4u5BpHS.net

>>38
解けるよ

43 ：名無しなのに合格：2016/02/14(日) 00:27:08.21 ID:q3kv97mG.net

この問題自分で作ったの？

44 ：名無しなのに合格：2016/02/14(日) 02:22:50.92 ID:tDPwI4cD.net

�@一般角θに対してtanθの定義を述べよ。

�A�@で述べた定義にもとづき、一般角α、βに対して、tan(α＋β)、tan(α−β)の結果を述べ、それを証明せよ。(東大改題)

45 ：名無しなのに合格：2016/02/14(日) 02:50:30.05 ID:/ywdBWMr.net

>>44
これってさ
オイラーの公式を定義にしたらダメなの？

46 ：名無しなのに合格：2016/02/14(日) 03:03:21.62 ID:tDPwI4cD.net

その公式は高校数学の範囲では証明できないんじゃ…。
それに採点者は教科書の内容を理解しているかを問うていると思われる。

47 ：名無しなのに合格：2016/02/14(日) 03:27:15.50 ID:yGu/xtyI.net

楕円x^2/a^2+y^2/b^2=1の周上に点Pをとる．
点Pにおける法線とこの楕円との交点のうち，Pでない方をQとする．
線分PQの長さの最小値を求めよ（´・ω・｀）

48 ：名無しなのに合格：2016/02/14(日) 13:14:50.89 ID:C8kfqVt+.net

問３ってどうやるんだ
とりあえず実験して円の中心と半径を推測→帰納法か？

49 ：名無しなのに合格：2016/02/14(日) 13:15:39.86 ID:/ywdBWMr.net

>>46
そう定義するってことだから照明は要らないのでは？

50 ：名無しなのに合格：2016/02/14(日) 13:28:32.32 ID:tDPwI4cD.net

>49
正確には理解してないけど、オイラーの公式は証明によって導かれるものでしょ？
証明なしで使ってたらまずいんじゃ。
しかも東大はそういう厳密性に細かいみたいだし。

51 ：名無しなのに合格：2016/02/14(日) 13:35:46.60 ID:wkbwvzID.net

>>48
中心が分かってるなら帰納法で距離同じで良くね

52 ：名無しなのに合格：2016/02/14(日) 13:57:43.27 ID:/ywdBWMr.net

>>50
それはsinθ、cosθを単位円上の点として定義したら証明がいるかも知れないけど

53 ：名無しなのに合格：2016/02/14(日) 15:16:31.91 ID:2nFQPZ92.net

>>1
全部解いたけど、ちょうどいい練習になった　ありがとう

54 ：名無しなのに合格：2016/02/14(日) 15:59:15.15 ID:2Fg8CjIK.net

第1問
Sの半径r、Sの中心S、SとBCの接点T、BCの中点M、三角形ABCの重心Gとする
SB=SC、STとBCは垂直より、T=M
三角形SMGで三平方の定理より
(√3/3)^2+(2/√6/3-r)^2=r^2
r=3√6/8
三角形ABCでSに含まれる部分は半径√3/3の円板で、面積π/3
三角形OABでSに含まれる部分は2辺の長さが√3/2夾角120度の三角形2枚+半径√3/2、中心角120度の扇形で
3√3/8+π/4
対称性より三角形OBCとOCAについても同じ
求める面積は13π/12+9√3/8

55 ：名無しなのに合格：2016/02/14(日) 16:06:54.54 ID:2Fg8CjIK.net

第2問
mが偶数のとき
p(n+1)=(1/2)p(n)+(1/2)(1-p(n))=p(n)
よりp(n)=p(1)=1/2
mが奇数のとき
p(n+1)=((m-1)/2m)p(n)+((m+1)/2m)(1-p(n))=(m+1)/(2m)-(p(n))/(2m)
p(n+1)-1/2=(-1/m)(p(n)-1/2)
p(n)-1/2=(-1/m)^(n-1)(p(1)-1/2)
p(1)=(m-1)/(2m)より
p(n)=(1/2)(1+(-1/m)^n)

56 ：名無しなのに合格：2016/02/14(日) 16:17:10.02 ID:2Fg8CjIK.net

第4問
yz平面で考える
AからBへの経路において点Q(0,sinθ,cosθ) (0≦θ≦π/3)から球面上を動くとする
所要時間f(θ)は
f(θ)=(1/2)√((sinθ)^2+(2-cosθ)^2)+(π-θ)/√5
=(1/2)√(5-4cosθ)+(π-θ)/√5
f'(θ)=(√5sinθ-√(5-4cosθ))/(√5√(5-4cosθ))
cosθ=4/5となるθをαとするとf(θ)は0≦θ≦αで減少、α≦θ≦π/3で増加だからf(θ)はθ=αで最小
求める体積は
π��(cosα,2)(1-z/2)^2dz+π��(-1,cosα)(1-z^2)dz=...=36π/25

57 ：名無しなのに合格：2016/02/14(日) 16:21:42.94 ID:2Fg8CjIK.net

第6問
tを-tとするとxは不変、yは-yになるからCはx軸対称
よってCの0≦t≦π/3を満たす部分とx軸とで囲まれた部分の面積を求め2倍すればよい
2��(0,1)ydx
=4��(0,π/3)(2sint-tant)sintdt
=4��(0,π/3)(1+cost-cos2t-(1/cost))dt
=...=4π/3+√3-4log(2+√3)

58 ：名無しなのに合格：2016/02/14(日) 16:22:22.77 ID:2Fg8CjIK.net

>>57
追記
0≦t≦π/3でxは単調減少

59 ：名無しなのに合格：2016/02/14(日) 16:37:12.23 ID:2Fg8CjIK.net

>>56
言葉足らずだった
yz平面で求めた経路をz軸まわりに1回転してできる立体の体積を求めればよい

60 ：名無しなのに合格：2016/02/14(日) 17:38:49.34 ID:/ywdBWMr.net

この問題って大数評価ならどんくらいだろ

61 ：名無しなのに合格：2016/02/14(日) 17:39:17.13 ID:/ywdBWMr.net

あ
>>1が作った問題ね

62 ：名無しなのに合格：2016/02/14(日) 17:58:12.56 ID:D35sSvrV.net

>>60
全てCくらいでは？
sssp://o.8ch.net/7r8x.png

63 ：名無しなのに合格：2016/02/14(日) 17:59:04.41 ID:D35sSvrV.net

すまん気にしないでくれ

64 ：名無しなのに合格：2016/02/14(日) 18:55:50.74 ID:2nFQPZ92.net

第1問 中学生の知識のみで解答可能。やや易-標準。
第2問 基本的な確率漸化式。易。
第3問 東大の過去問に類題あり。標準。
第4問 球面のある点まで直線で進み、その後球の大円上を通るのが最短ということの論述をどの程度するかで難易度が変わる。標準＋α。
第5問 実験すれば気づくのは難しくない。標準。
第6問 計算問題。グリーンの定理。標準。

65 ：名無しなのに合格：2016/02/15(月) 09:36:39.34 ID:fZUEuuC+.net

第4問なんだけど、なんで0≦θ≦3/πまで直線で進む経路が一番早いの？
例えば(0,2/√3,0)まで直線で進み(接線上)そこから球面に乗っかる経路の方が早い場合がない議論を論述で否定出来る？
面白いんだけど解けなかったよ

66 ：名無しなのに合格：2016/02/15(月) 11:39:04.15 ID:GAw4iyBR.net

3n+2の形の素数は無限個あることを証明せよ。

67 ：名無しなのに合格：2016/02/15(月) 13:27:03.29 ID:5Nwscjhs.net

※週刊東洋経済2013年11月2日　『本当に強い大学』より
総合ランキング300位内の大学における「主要企業404社への就職率」（数字は％）

●一橋54.5、●東京工業53.7

国際教養45.8、○豊田工業44.6、○慶應義塾41.6

●大阪32.9、●名古屋工業32.0、●京都31.8、○上智31.6、○東京理科30.5、●電気通信，○早稲田30.3

●名古屋29.6、●神戸27.8、●九州工業27.1、○聖心女子27.0、●東京26.5、○同志社25.5、●東京農工25.3、●東北25.1

●東京外国語，○国際基督教24.6、●京都工芸繊維24.5、○立教24.3、○津田塾24.1、○学習院23.7、●九州，○東京女子23.4、●長岡技術科学23.3、○青山学院23.2、●お茶の水女子23.0、
●横浜国立，●豊橋技術科学22.3、○芝浦工業21.6、大阪府立20.9、●小樽商科20.8、大阪市立，○関西学院20.5、●北海道20.4

○明治19.9、●筑波19.8、○日本女子19.5、○立命館19.4、○中央18.7、首都大東京，○成蹊18.6
●筑波技術17.9、○白百合女子17.6、○清泉女子16.3、○法政16.2、○関西15.6、●千葉15.3

●奈良女子14.3、○東京都市14.2、横浜市立13.9、●滋賀13.7、○東洋英和女学院13.6、○成城13.0、○神戸女学院12.7、●広島12.5、●金沢12.4、神戸市外国語12.3、○西南学院12.2、
○明治学院11.8、○昭和女子，○甲南11.3、○東京薬科11.0、●静岡10.6、●熊本，名古屋市立10.4、○大阪薬科10.3

はこだて未来9.9、●長崎9.7、○創価9.6、●和歌山，○東京電機9.5、宮崎公立，○京都女子9.4、○大妻女子9.3、●宇都宮，●鹿児島9.2、●岡山9.1
秋田県立8.7、●東京海洋8.6、○京都産業8.2、静岡文化芸術8.1、●岩手8.0
高知工科，○東北学院，○金城学院7.8、●新潟，○工学院，○日本7.7、●山口7.6、●山形7.5、
●福井，○獨協7.4、下関市立，○青森中央学院，○西南女学院7.3、○京都薬科，○筑紫女学園7.2、広島市立，○神田外語7.0
○大阪工業6.9、会津，○金沢工業6.7、静岡県立，○椙山女学園6.6、●佐賀，○跡見学園女子，○甲南女子，○福岡6.4、●福島6.1、○星薬科6.0
●秋田，●鳥取，●香川，○武蔵，○東海，○名古屋外国語5.9、●大分，○東洋，○愛知淑徳，○神戸薬科5.8、○近畿5.7、○国学院，○産業医科5.6、○千葉工業5.5、
○明治薬科，○龍谷，○武庫川女子5.4、○東京聖栄5.2

愛知県立4.9、●三重4.8、○京都光華女子4.7、岩手県立4.5、
○北海道工業，○麗澤，○神奈川，○広島修道4.4、●信州，滋賀県立，○北海道文教，○和洋女子，○中村学園，○崇城4.2、●群馬4.1
○名城，○名古屋商科，○広島工業，○広島文教女子3.9、○八戸工業，○久留米3.8、●室蘭工業，●山梨，○東京経済，○東京農業，○西九州3.6、●愛媛，○日本工業3.5、
○文京学院3.4、●茨城，○神戸松蔭女子学院3.3、●富山，○神奈川工科3.2、○順天堂，○ﾙｰﾃﾙ学院3.1、○安田女子3.0
○福島学院，○ものつくり，○明海，○玉川，○愛知工科，○神戸女子2.9、●宮城教育，○東京家政，○東邦，○岐阜経済2.8、
●帯広畜産，●北見工業，○杏林，○山梨学院，○愛知工業，○帝塚山，○九州共立2.7、県立広島，○常磐，○北里，○九州産業2.6、●高知，○立正，○京都橘2.5、
●弘前，●大阪教育，○千歳科学技術，○東北薬科，○帝京，○関西福祉科学2.4、○昭和薬科，○関東学院，○大阪電気通信，○福岡工業2.3、
○東北福祉，○東京家政学院，○名古屋学院，○松山2.2、山口県立，○清和，○愛知学院，○仁愛2.1、●徳島2.0　　○東北工業，○東京工科，○就実1.9、・・（以下略）

http://toyokeizai.net/articles/-/26869?page=3
※埼玉大、南山大、同志社女子大などは対象外

68 ：名無しなのに合格：2016/02/15(月) 13:42:57.50 ID:sdPU9uXC.net

>>65
どういう論述が不可欠なのかよくわからないけど、
球面上の方が速く動けるから寄り道しないでさっさと球面に立ち寄りたいってことじゃない？