整数問題つくったけど解いてみる？

1 ：名無しなのに合格：2016/02/20(土) 19:17:35.75 ID:IuX19Ptk.net

nを自然数とし,a_n=Σ(k=1~n)nCkとする（Cはコンビネーション）
次の問に答えよ
(1)a_nが素数ならばnも素数であることを示せ
(2)a_nが素数であるとする
　　a_n=(4p-q-1)(p+q)
　　をみたす自然数n,p,qの組を求めよ

2 ：名無しなのに合格：2016/02/20(土) 19:18:12.76 ID:ghzUJ0oQ.net

2,6,13

3 ：名無しなのに合格：2016/02/20(土) 19:23:04.14 ID:IuX19Ptk.net

ちなみにa_nは有名な素数になる

4 ：名無しなのに合格：2016/02/20(土) 19:26:48.89 ID:IuX19Ptk.net

もうみんな受験おわっちゃったか

5 ：名無しなのに合格：2016/02/20(土) 19:53:23.64 ID:Al6MU/yL.net

(1)対偶を示す
nが素数でない時n=pq(p,qは1以外の自然数)とおける
a_n=2^n-1=(2^p)^q-1=(2^p-1){(2^p)^(q-1)+(2^p)^(q-2)+…+(2^p)^1+1}
p≧2,q≧2より(2^p-1)ともう一項は共に1以外の自然数だから、a_nは素数でない

(2)a_nは素数だから
4p-q-1=1・・・(1)
p+q=a_n=2^n-1
pについて解くと
p=(2^n+1)/5・・・(2)
2^n+1が5の倍数になる必要がある
n=2はこれを満たす。
n≠2のとき、素数nは奇数だから次のように表せる。
2^n=(2^1)(2^2p) (pは自然数)
=2(5-1)^p
(5-1)^pを二項定理で展開したものを考えると、5の倍数でない項は
2×(-1)^pのみであり、これは5の倍数になり得ない。よって不適。
従ってn=2であり、この時(1)(2)より
(n,p,q)=(2,1,2)となり、適する

メルセンヌ素数だけ聞いたことあって(1)の話知らんかった

6 ：名無しなのに合格：2016/02/20(土) 19:56:18.63 ID:IuX19Ptk.net

>>5
正解！
メルセンヌ素数ときたらたいてい完全数かこの(1)しか聞かれないんだよね

7 ：名無しなのに合格：2016/02/20(土) 20:35:18.43 ID:Al6MU/yL.net

そうだ、敢えて(2)で使われてるp,qを(1)で使ってみたんだけどあんまよくないよね多分
でも数学の問題でさ、問題文に使われてないアルファベットから選んで文字置くと例えば素数なのにcとかになったりして嫌な時あるくね？
p_1とか添字付ける手もあるけど、後に添字付け忘れたりしそうだし式の見た目も煩雑になったりしてとにかくめんどくさい

同じ文字を定義変えて新たに使うのってだめなのかな？再定義的な。

8 ：名無しなのに合格：2016/02/20(土) 21:16:48.48 ID:IuX19Ptk.net

全然問題ないと思うよ
ただ計算中に(1)式Aよりみたいなので同じ文字を使いそうだったらやめといたほうがいいかも
それしか言えないです

9 ：名無しなのに合格：2016/02/20(土) 21:25:10.01 ID:Al6MU/yL.net

>>8
まじか、問題ないのか ありがとうございます