第3回受サロ数学模試

名無しなのに合格

第１問
２桁の数字Xがある。Xの十の位の数字と一の位の数字を掛けたものをY、Xの十の位と一の位の数字を足したものをZとする。XがYでもZでも割り切れるものを全て見つけよ。

第２問
四面体OABCにおいて、OA=OB=OC=1とする。角AOB=60°、角BOC=45°、角COA=45°とする。点Cから面OABに垂線を引き、その交点をHとする。
(1)ベクトルOHをベクトルOAとベクトルOBを用いて表せ。
(2)CHの長さを求めよ。
(3)四面体OABCの体積を求めよ。

第３問
0<r<1とする。空間においてら点(0,0,0)を中心とする半径rの球と点(1,0,0)を中心とする半径√(1-r^2)の球との共通部分の体積をV(r)とする。次の問いに答えよ。
(1)V(r)を求めよ。
(2)rが0<r<1の範囲を動くとき、V(r)を最大にするr,およびV(r)の最大値を求めよ。

第４問
３次関数f(x)=x^3+ax^2+bx+cがx=1およびx=3で極値をとり、極大値は-23であるとする。以下の問いに答えよ。
(1)a,b,cを求めよ。
(2)点(0,c)で曲線y=f(x)に接する接戦の方程式を求めよ。
(3)(2)で求めた接線と曲線y=f'(x)で囲まれた図形の面積を求めよ。