cosx + cosy = 1/2 , sinx + siny = 1/5 のとき , cos(x+y) の値を求めよ

1 ：名無しなのに合格：2017/07/08(土) 05:49:32.97 ID:DIPJwuJT.net

意外と難しい

2 ：名無しなのに合格：2017/07/08(土) 06:19:32.98 ID:RWuUFEmT.net

cos(x-y)求めてから、和積とか使ってcos(x+y)出すだけやろ？

3 ：名無しなのに合格：2017/07/08(土) 06:26:42.44 ID:HBG9Uatm.net

両方2乗して足すとか

4 ：名無しなのに合格：2017/07/08(土) 06:44:02.17 ID:6tk9jYd5.net

21/29

5 ：名無しなのに合格：2017/07/08(土) 08:24:07.36 ID:y8Bye5go.net

ブルガリア行きたい 
http://i.imgur.com/YOh3l01.jpg 
http://i.imgur.com/oLKmqTc.jpg 
http://i.imgur.com/6fSdonP.jpg 
http://i.imgur.com/L2AcMUu.jpg 
http://i.imgur.com/d3GH6cx.jpg 
http://i.imgur.com/GbhyN2Q.jpg 
http://i.imgur.com/AfScZC6.jpg 
http://i.imgur.com/kjeYx7Y.jpg 
http://i.imgur.com/Uk8mbMh.jpg 
http://i.imgur.com/qn5JY0A.jpg 
http://i.imgur.com/fmLM8u8.jpg 
http://i.imgur.com/e6QdfCJ.jpg

6 ：名無しなのに合格：2017/07/08(土) 11:31:48.56 ID:B1dJZdWC.net

cos(α+β) + cos(α-β) = 2cos(α)cos(β)　だから、
cos(x) + cos(y) = 2cos((x+y)/2)cos((x-y)/2) = 1/2
よって、cos((x+y)/2)cos((x-y)/2) = 1/4　　　…�@

sin(α+β) + sin(α-β) = 2sin(α)cos(β)　だから、
sin(x) + sin(y) = 2sin((x+y)/2)cos((x-y)/2) = 1/5
よって、sin((x+y)/2)cos((x-y)/2) = 1/10　　　…�A

�@、�Aより、cos((x+y)/2)cos((x-y)/2) * 2/5 = sin((x+y)/2)cos((x-y)/2)
両辺をcos((x-y)/2)で割って、cos((x+y)/2) * 2/5 = sin((x+y)/2)
両辺を平方して、(cos((x+y)/2))^2 * 4/25 = (sin((x+y)/2))^2　　　…�B

(cos((x+y)/2))^2 = (1 + cos(x+y)) / 2
(sin((x+y)/2))^2 = (1 - cos(x+y)) / 2　を�Bに代入して

(1 + cos(x+y)) / 2 * 4/25 = (1 - cos(x+y)) / 2
両辺を50倍して、4 + 4cos(x+y) = 25 - 25cos(x+y)
29cos(x+y) = 21

ゆえに、cos(x+y) = 21/29　で合ってる？

7 ：名無しなのに合格：2017/07/08(土) 13:02:58.53 ID:pgwvNpUD.net

>>6
あってるけど与式２つを平方して一方から他方を引いてちょっと計算するだけで答えは出る
そっちの方がいいと思う

8 ：名無しなのに合格：2017/07/08(土) 15:11:16.27 ID:6tk9jYd5.net

http://light.dotup.org/uploda/light.dotup.org463025.jpg

9 ：名無しなのに合格：2017/07/08(土) 15:31:44.92 ID:RWuUFEmT.net

>>8
これは和積や積和を何回も証明してきた人の解答やね

10 ：名無しなのに合格：2017/07/08(土) 15:34:38.94 ID:6tk9jYd5.net

言うほど証明してきたわけではない　受験生よりは多いかもしれんけど
ベクトル的に見るやり方は俺は 『数学ショートプログラム』 で学んだ
たぶん1対1にも書いてあるだろう

11 ：名無しなのに合格：2017/07/08(土) 15:39:03.37 ID:RWuUFEmT.net

そうなんか
図がいかにも和積積和だったからつい

12 ：名無しなのに合格：2017/07/08(土) 16:35:05.77 ID:EMgl9q5J.net

こんなやり方すげー！！！！！

13 ：名無しなのに合格：2017/07/08(土) 16:35:32.82 ID:EMgl9q5J.net

どーやったらみにつくんだ！

これ他にも応用できそうだよね！

14 ：名無しなのに合格：2017/07/08(土) 17:17:24.12 ID:RWuUFEmT.net

ほな問題だすやでー

図８を参考に積和公式を脳内で思い出せ
制限時間は４秒

15 ：名無しなのに合格：2017/07/08(土) 17:38:02.76 ID:/UYA0fPL.net

>>14
無理だった…

16 ：名無しなのに合格：2017/07/08(土) 17:40:33.51 ID:utu7tC9E.net

>>1
(1/2, 1/5) を単位ベクトルにする(正規化)。
1/√29(5, 2) =(cosθ, sinθ) と置く。
すなわちcosθ=5/√29。
cos(x+y)=cos2θ=21/29 (答え)

一般に(a, b) の時, 同様にして、
cos(x+y)=(a^2−b^2)/(a^2+b^2)。

17 ：名無しなのに合格：2017/07/08(土) 17:49:43.09 ID:RWuUFEmT.net

>>15
もうちょっと簡単にするわー
和積公式のうち
sinA+sinB=
cosA+cosB=
を思い出せ

18 ：名無しなのに合格：2017/07/08(土) 17:57:55.16 ID:/UYA0fPL.net

>>17
できたー

19 ：名無しなのに合格：2017/07/08(土) 17:58:21.50 ID:/UYA0fPL.net

>>17
できたっていうか導いた( ・∀・)
暗記はしてない…

20 ：名無しなのに合格：2017/07/08(土) 18:04:31.30 ID:RWuUFEmT.net

>>18
おめー

>>16
これ好き
上級者ならtanも使いこなせるんだろうけど
ワイにはちと厳しい

21 ：名無しなのに合格：2017/07/08(土) 18:09:35.25 ID:utu7tC9E.net

>>1
1/√29(5, 2) =(cosθ, sinθ) と置く。
sin(x+y)=sin2θ=20/29。

一般に(a, b) の時, 同様にして
sin(x+y)=2ab/(a^2+b^2)。

倍角公式の意味がよく分かる良問。

22 ：名無しなのに合格：2017/07/08(土) 18:25:27.15 ID:6tk9jYd5.net

>>16>>21 の式は言われればなるほどとは思うが
俺はあまり使わんなぁ
結局は同じことだが，半角の tan で cos，sin を表す公式のほうが使うかね(これも俺は使用頻度は低いが)

23 ：名無しなのに合格：2017/07/08(土) 18:36:52.98 ID:RWuUFEmT.net

この問題を解くだけなら

２式を両辺２乗して
(cos(x))^2+(cos(y))^2+2cos(x)cos(y)=1/4　�@
(sin(x))^2+(sin(y))^2+2sin(x)sin(y)=1/25　�A

�@と�Aを辺々足して
2+2cos(x-y)=29/100　�B

�@から�Aを辺々引いて
cos(x+y)(2+2cos(x-y))=21/100　�C

�B�Cより
cos(x+y)=21/29

24 ：名無しなのに合格：2017/07/08(土) 18:54:10.88 ID:utu7tC9E.net

>>1
cosx + cosy = 1/2 [1]
sinx + siny = 1/5 [2]

[1]+[2]i (iは虚数単位) より、
(cosx+isinx)+(cosy+isiny)=(5+2i)/10。

(x+y)/2=θ, (x-y)/2=φと置くと, 2θ=x+y。
2cosφ (cosθ+isinθ)=(5+2i)/10。
よって, cosθ+isinθ=5/√29+2i/√29。
∴ cos2θ+isin2θ=21/29+20i/29,

(答え) cos(x+y)=21/29, sin(x+y)=20/29。

25 ：名無しなのに合格：2017/07/08(土) 19:08:51.97 ID:utu7tC9E.net

>>24
2cosφ=√29/10より、
cosφ=√29/20, sinφ=±√371/20。

(答え) cos(x-y)=−171/200, sin(x-y)=±√10759/200。

26 ：名無しなのに合格：2017/07/08(土) 19:25:13.23 ID:utu7tC9E.net

>>25
10759=7×29×53。

27 ：名無しなのに合格：2017/07/08(土) 21:50:26.42 ID:B1dJZdWC.net

>>7
じゃあこれならどうかな？

cos(x) + cos(y) = 1/2　の両辺を平方して、
(cos(x))^2 + (cos(y))^2 + 2cos(x)cos(y) = 1/4　　　…�@

sin(x) + sin(y) = 1/5　の両辺を平方して、
(sin(x))^2 + (sin(y))^2 + 2sin(x)sin(y) = 1/25　　　…�A

�@ + �Aより、1 + 1 + 2cos(x-y) = 29/100
よって、cos(x-y) = -171/200　　　…�B

�@ - �Aより、cos(2x) + cos(2y) + 2cos(x+y) = 21/100　　　…�C

cos(α+β) + cos(α-β) = 2cos(α)cos(β)　だから、
cos(2x) + cos(2y) = 2cos(x+y)cos(x-y)　　　…�D

�Cに�B、�Dを代入して、2cos(x+y) * (-171/200) + 2cos(x+y) = 21/100
両辺を100倍して、-171cos(x+y) + 200cos(x+y) = 21
よって、29cos(x+y) = 21　⇔　cos(x+y) = 21/29

〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜
以下は余談だけど…

arccos(21/29) = x + y、arccos(-171/200) = x - y　から、
x = (arccos(21/29) + arccos(-171/200)) / 2
y = (arccos(21/29) - arccos(-171/200)) / 2

arccos(21/29) = 0.7610… ≒ 43.6ﾟ、arccos(-171/200) = 2.5963… ≒ 148.8ﾟ　だから、
x = 1.6786… ≒ 96.2ﾟ、y = -0.9176… ≒ -52.6ﾟ ＝ 307.4ﾟ　となる。

実際に、cos(96.2ﾟ) + cos(307.4ﾟ) = 0.4993… ≒ 1/2　になるし、
sin(96.2ﾟ) + sin(307.4ﾟ) = 0.1997… ≒ 1/5　になる。

28 ：名無しなのに合格：2017/07/08(土) 22:31:24.37 ID:utu7tC9E.net

>>27
余談が面白い。

29 ：名無しなのに合格：2017/07/09(日) 01:46:18.56 ID:5qXbQNT0.net

>>27
ごめん問題見間違えてて>>7に書いてあるやつだけじゃできなかったわ

30 ：名無しなのに合格：2017/07/09(日) 12:46:53.77 ID:f/36dy8x.net

まあ文系・理系関係無く高3以上なら、どんな解法を使うにせよ、解けてほしい問題だよな。
高2は学校によってはまだ三角関数に入ってないか入ったばかりくらい？

31 ：名無しなのに合格：2017/07/09(日) 20:12:07.53 ID:ODRsczNj.net

お

32 ：名無しなのに合格：2017/07/10(月) 05:21:52.26 ID:ilLuVskY.net

>>8
消えちまった…