数学の質問スレ

1 ：名無しなのに合格：2017/07/10(月) 17:59:43.54 ID:vWk3MH3L.net

この論証ってあってる？
http://imgur.com/WzCm1bk.png
http://imgur.com/FJgg1MC.jpg

あとなんか乱立するのも微妙だから、みんな質問ここに投げてっていいよ（他力本願）

2 ：名無しなのに合格：2017/07/10(月) 18:04:21.67 ID:5d+EblxD.net

全部読んでねーけどなんで3^m=6^rなんだよ

3 ：名無しなのに合格：2017/07/10(月) 18:06:24.54 ID:vWk3MH3L.net

>>2
指数法則

4 ：名無しなのに合格：2017/07/10(月) 18:08:00.14 ID:5d+EblxD.net

指数法則なら9^rだろーが

5 ：名無しなのに合格：2017/07/10(月) 18:09:33.38 ID:vWk3MH3L.net

>>4
本当だ

6 ：名無しなのに合格：2017/07/10(月) 18:23:22.45 ID:5d+EblxD.net

仮に指数法則のミスを修正したうえで同じ方針を取ろうとすると
9^(p+1)-1=q*9*4^p+8で偶数になるからこれが4^(p+1)で割り切れるとは言えない

7 ：名無しなのに合格：2017/07/10(月) 18:36:28.15 ID:vWk3MH3L.net

>>6
この方針は無理そうかな

8 ：名無しなのに合格：2017/07/10(月) 18:38:41.27 ID:FIrTznRm.net

ちょっと待ってて

9 ：名無しなのに合格：2017/07/10(月) 18:39:54.75 ID:CcI7AOiN.net

とりあえず帰納法で

10 ：名無しなのに合格：2017/07/10(月) 18:40:37.11 ID:5d+EblxD.net

大抵こういう問題ってのは前の問題がヒントになってる
(1)では2のべきで書けるmに対して近いことが言えてるわけだからm=(2^k)nと置けばいい(ただしkは正整数、nは奇数)
すると3^m-1に因数分解っぽいことを適用できて素因数2の数がk+2個であることが言える(ここで(1)を使う)
あとは(2)の条件が成り立つことと不等式k+2≧(2^k)nを満たすkとnが存在することが同じであることに注目して
nをうまく選べばそのようなkが存在し得るのはkがどのようなときか考えればいい

11 ：名無しなのに合格：2017/07/10(月) 18:40:59.91 ID:FIrTznRm.net

整数絡むときは帰納法を視野にいれとくとうまくいくことがある

12 ：名無しなのに合格：2017/07/10(月) 18:47:05.40 ID:5d+EblxD.net

帰納法でもいけるかもしれんけど、除法の原理だけでは商と余りに関する情報が少なすぎるから厳しそう

13 ：名無しなのに合格：2017/07/10(月) 18:55:48.99 ID:vWk3MH3L.net

>>12
厳しいかあ
>>10
どうも前問の利用がめちゃくちゃ下手なんだよねえ
形似ててもどうしればいいのかがわからなくなったりする
参考に研鑽します

14 ：名無しなのに合格：2017/07/10(月) 18:57:44.29 ID:CcI7AOiN.net

でんすうさんは（１）だけ帰納法でやってた

15 ：名無しなのに合格：2017/07/10(月) 18:58:52.10 ID:FIrTznRm.net

(１)は行けたの？

16 ：名無しなのに合格：2017/07/10(月) 18:59:14.93 ID:vWk3MH3L.net

>>14
そうそう
2もいけるかなと思ったけど絶妙にできなく作ってるんかなあ

17 ：名無しなのに合格：2017/07/10(月) 18:59:43.08 ID:vWk3MH3L.net

>>15
(1)は電数同じ感じになった

18 ：名無しなのに合格：2017/07/10(月) 19:01:07.25 ID:FIrTznRm.net

>>17
2は帰納法無理でしょそりゃ

19 ：名無しなのに合格：2017/07/10(月) 19:02:07.70 ID:FIrTznRm.net

全ての整数で成り立つ事を示せとかでないと帰納法は無理

20 ：名無しなのに合格：2017/07/10(月) 19:03:31.38 ID:5d+EblxD.net

帰納法でやろうとするとm=2nとでも置いて
9^n-1=q4^n+r (qとrは整数で帰納法の仮定から0<r<4^n)
が成り立つことを言って
9^(n+1)-1=2q*4^(n+1)+(q*4^n+9r+8)
を示す

次にq*4^n+9r+8を4^(n+1)で割ったときの剰余が0でないことを示すことになるけど
いかんせんn,q,rに関する情報が少なくて難しい

21 ：名無しなのに合格：2017/07/10(月) 19:04:43.62 ID:CcI7AOiN.net

帰納法無理っぽかったら方向転換で
実戦では重要な発想やで

22 ：名無しなのに合格：2017/07/10(月) 19:13:20.93 ID:vWk3MH3L.net

>>21
今回計算ミスで通っちゃった不幸な事故だったなあ
数学って引き際が難しくないか？

23 ：名無しなのに合格：2017/07/10(月) 19:16:08.81 ID:CcI7AOiN.net

>>22
ワイはよほど自信がある場合以外すぐ諦める系や

24 ：名無しなのに合格：2017/07/10(月) 19:22:37.51 ID:vWk3MH3L.net

>>20
r奇数ならq*4^n+9r+8奇数よって剰余は０でない
r偶数ならr=s*2^tと置いて(sは奇数)
t>=3のとき
q*4^n+9r+8=q*2^2n+9*s*2^t+8={q*2^(2n-3)+9*s*2^(t-3)+1}*8
奇数を約数に持つため剰余は０でない
t<3のとき
q*4^n+9r+8=q*2^2n+9*s*2^t+8={q*2^(2n-t)+9*s+2^(3-t)}*2^t
奇数を約数に持つため剰余は０でない

で一応示せるか

25 ：名無しなのに合格：2017/07/10(月) 19:24:31.68 ID:vWk3MH3L.net

>>23
なんかのめり込んじゃう
逆に自信がなくて、何か気づいてないことがあるのかと思って探しちゃうんだよなあ
京都はなかなか二つに分かれてないから引き際が難しい

26 ：名無しなのに合格：2017/07/10(月) 19:25:13.33 ID:5d+EblxD.net

「奇数を約数に持つ」だけでは十分ではないと思うで
4^(n+1)*3なんかは奇数の約数を持つけど4^(n+1)で割り切れるから

27 ：名無しなのに合格：2017/07/10(月) 19:27:51.67 ID:CcI7AOiN.net

>>25
この問題みたいなの６問ならそうなるけど
一本道で解けるのとか、どう考えても無理なのとか先に決着つけて（ｒｙ

28 ：名無しなのに合格：2017/07/10(月) 19:33:38.55 ID:FIrTznRm.net

部分点もらう方法は見つけた

29 ：名無しなのに合格：2017/07/10(月) 19:33:55.36 ID:FIrTznRm.net

もうちょい粘るね

30 ：名無しなのに合格：2017/07/10(月) 19:36:21.60 ID:vWk3MH3L.net

>>26
2^t<=8<4^(n+1)って断り入れればいいのかな
どこまで感覚を数式にしたのを使っていいのかが不明瞭でいっつも尻込みしてしまう

31 ：名無しなのに合格：2017/07/10(月) 19:36:36.46 ID:vWk3MH3L.net

>>29
ありがたいです

32 ：名無しなのに合格：2017/07/10(月) 19:40:08.83 ID:5d+EblxD.net

>>30
断り入れてもその論証自体が変だと思うからダメな気がする
結局帰納法はあきらめてない感じか？

33 ：名無しなのに合格：2017/07/10(月) 19:47:59.14 ID:vWk3MH3L.net

>>32
諦めてないっていうよりは意地になってる感じかな
こういうとこがダメなんだろうけど、こういうとこ抑えると勉強する意欲わかないからどうもね
うーんやっぱりできないかな
あとは分数にして(奇数)/(偶数)は整数にならないためっていうのはダメかね

34 ：名無しなのに合格：2017/07/10(月) 19:48:46.27 ID:vWk3MH3L.net

>>32
あと困った時にごり押す時の引き出し増やしかな
自分だけこんなの大丈夫かとか決められないし

35 ：名無しなのに合格：2017/07/10(月) 19:50:18.93 ID:5d+EblxD.net

(3^m-1)/2^mを考える場合は結局3^m-1が偶数にしかならないから、素因数2の数を数えるハメになるって意味で最初に書いた方法と変わらんと思う

36 ：名無しなのに合格：2017/07/10(月) 19:51:42.39 ID:5d+EblxD.net

(1)を補題として使わない方法として二項定理とか帰納法でいけるかな？って思うけど試すとどっちも難しい

37 ：名無しなのに合格：2017/07/10(月) 19:52:05.15 ID:r+57pbIe.net

【射精速報】月21回の射精で前立腺がんのリスクが減少することが判明 [無断転載禁止]&#169;2ch.net･
http://hayabusa9.2ch.net/test/read.cgi/news/1499683742/

38 ：名無しなのに合格：2017/07/10(月) 19:53:24.49 ID:FIrTznRm.net

部分点だけ上げる？

39 ：名無しなのに合格：2017/07/10(月) 19:54:34.86 ID:vWk3MH3L.net

>>38
頼んます

40 ：名無しなのに合格：2017/07/10(月) 19:56:47.09 ID:vWk3MH3L.net

>>35
{q*2^(2n-3)+9*s*2^(t-3)+1}*8/2^(2n+2)={q*2^(2n-3)+9*s*2^(t-3)+1}/2^(2n-1)
だとできないか？

41 ：名無しなのに合格：2017/07/10(月) 20:02:38.93 ID:FIrTznRm.net

m=2^nの時
(1)より
3^m-1は2^(n+2)=4mで割りきれて2^(n+3)=8mで割りきれない
よって3^m-1が2^mで割りきれるならば2^mは4mの約数である-�@
m>4の時2^m>4mで不適
m<5の時mが偶数であることより�@を満たすmは2と4のみ
以上より少なくとも2と4は正解

42 ：名無しなのに合格：2017/07/10(月) 20:04:02.30 ID:FIrTznRm.net

このあとmが2^nでないときは3^m-1は2^mで割れないのを示すんだけど手こずってる

43 ：名無しなのに合格：2017/07/10(月) 20:07:13.16 ID:vWk3MH3L.net

>>41
解答もそれに近いことしてた
確かm=p*2^n(pは奇数)で置いてそんな感じで進めて言ってた

44 ：名無しなのに合格：2017/07/10(月) 20:07:20.94 ID:5d+EblxD.net

>>30
ちゃんと計算してみたらその方法でかなり近づいた気がするんだけどt=3のときがどうもうまくいかない

45 ：名無しなのに合格：2017/07/10(月) 20:09:07.65 ID:CcI7AOiN.net

やってはないけど、mを二進法であらわして（ｒｙ

46 ：名無しなのに合格：2017/07/10(月) 20:11:02.50 ID:FIrTznRm.net

>>43
俺は京大相当の大学生なんだけど41まではたどり着けると思うけど、そこから先は捨てて部分点をもらうケースが多いと思う
二次満点は狙わないって言うのは念頭にいれるといい
俺はもう少し粘るけども

47 ：名無しなのに合格：2017/07/10(月) 20:11:33.99 ID:FIrTznRm.net

41にたどり着く方法は気になる？

48 ：名無しなのに合格：2017/07/10(月) 20:19:05.15 ID:vWk3MH3L.net

>>47
たどり着く方法とは？

49 ：名無しなのに合格：2017/07/10(月) 20:22:53.73 ID:FIrTznRm.net

>>48
どの発想から41に至ったかって話
前の問を利用するのが苦手っていってたから

50 ：名無しなのに合格：2017/07/10(月) 20:27:06.76 ID:vWk3MH3L.net

>>49
解答見るとあーそういう発想かってなって行き方はわかるんだけど、完全初見の状態からだとどうもたどり着けない
ていうかこれ去年これ解いてるはずなんだがなあ

51 ：名無しなのに合格：2017/07/10(月) 20:32:41.64 ID:FIrTznRm.net

>>50
(1)を(2)に使いそうなのは分かる？
そうなったらとりあえず当てはめにいく
今回ならm=2^nだったら良いのにって考える
そのあと(2)を(1)にそのまま当てはめる

52 ：名無しなのに合格：2017/07/10(月) 20:34:37.48 ID:FIrTznRm.net

でもmの話には持ってくよなって感じでｎを消す
(1)を(2)に当てはめることもある
とにかく無心で問題文そのままになるように当てはめて眺める

53 ：名無しなのに合格：2017/07/10(月) 20:35:31.77 ID:FIrTznRm.net

医学部志望だったらすみません

54 ：名無しなのに合格：2017/07/10(月) 20:41:29.56 ID:U0QnI8ZV.net

>>1
まず、使う公式を定理の形で述べる(文字は基本的に全て正の整数とする)。

定義：ある数xが2^sで割り切れるが2^(s+1)
では割り切れない時、ord(x)=sと表す。

公式：mが偶数の時,
ord(3^m−1)=ord(9−1)+ord(m)−1が成り立つ。
すなわちord(3^m−1)=ord(m)+2・・・[A]
(証明は後で)。

55 ：名無しなのに合格：2017/07/10(月) 20:47:31.28 ID:vWk3MH3L.net

>>52
願望を実現させてくわけか
残念ながら唯の工学部志望ですよ
学問に社会的実力なんて関係ないんだからもし医学部だったとしても謝る必要ないのに

56 ：名無しなのに合格：2017/07/10(月) 20:52:58.24 ID:k90B9k5d.net

>>55
そう!
願望を実現させる
ちなみにこれを満点の人は合格者でも少ないと思います
多分1での帰納法に気づけない合格者もいる

57 ：名無しなのに合格：2017/07/10(月) 20:53:05.11 ID:U0QnI8ZV.net

>>54
(1) 2^nは偶数であるから、公式[A]より、
m=2^nとして、
ord(3^m−1)=ord(m)+2=ord(2^n)+2=n+2(証明終)

(2) mは偶数であるから、公式[A]より、
ord(3^m−1)=ord(m)+2≧m。
m=k×2^n (kは奇数, nは正の整数) と置けて、
n+2≧k×2^n・・・[B]
ここで、n=1の時, 3≧2kより、k=1,
すなわちm=2。
n=2の時, 4≧4kより、k=1,
すなわちm=4。
n≧3では[B]が成り立たない(帰納法による)。
よってm=2, 4のみ(証明終)。

58 ：名無しなのに合格：2017/07/10(月) 20:54:44.76 ID:U0QnI8ZV.net

>>57
「この整数は2で何回割り切れますか」問題。

基本の確認に適した良問。

59 ：名無しなのに合格：2017/07/10(月) 20:56:24.41 ID:CcI7AOiN.net

なんか凄いのキター

60 ：名無しなのに合格：2017/07/10(月) 22:58:41.46 ID:0h5eOeD4.net

いやー、整数めんどくさ

61 ：名無しなのに合格：2017/07/11(火) 10:54:12.19 ID:2RNPaTMr.net

ぶっちゃけ41までだと部分点1点あるかないかだと思う

62 ：名無しなのに合格：2017/07/11(火) 10:59:47.45 ID:0WqfPilf.net

さすがにそれはないと思うわ

63 ：名無しなのに合格：2017/07/11(火) 11:01:10.26 ID:0WqfPilf.net

ましてやないって現象はおかしい
入試ってのは必ず白紙の奴とは差をつける
1点もあり得ないね

64 ：名無しなのに合格：2017/07/11(火) 11:03:39.67 ID:0WqfPilf.net

41のあと
m=p*2^n(pは奇数)で置いてこう言うＭが存在しないことを示すって書くだけでも絶対変わる

65 ：名無しなのに合格：2017/07/11(火) 12:03:22.55 ID:WjMhU6L3.net

>>64
そりゃそう置いて因数分解するのがこの問題のキモだからな、得点の9割くらい
それでほぼ終わり

66 ：名無しなのに合格：2017/07/11(火) 12:22:56.47 ID:5WLlvlHN.net

実際に示すんじゃなくて方針として書くってことだよ?

67 ：名無しなのに合格：2017/07/11(火) 12:24:14.57 ID:5WLlvlHN.net

41のレスのやつで(2)の方針の二つ中一つが終わることと誘導つきな事を考えればそんなに部分点が低いことはない

68 ：名無しなのに合格：2017/07/11(火) 12:32:55.64 ID:3eq12KGK.net

>>1
類題
[1] 3^m−1を7^m−1に変えると
(1) 2^(n+3)で割り切れる。2^(n+4)で割り切れない。
(2) m=2, 4のみ。
となる。

[2] 3^m−1を5^m−3^mに変えても答えは
(1)(2)とも上記と同じ。(難易度は上がる)。

[3] (3^m−1)を(17^m−15^m) に変えると、
(2) m=2, 4, 6, 8 となる。
こうなると殆どの人に解けない問題となるが。

69 ：名無しなのに合格：2017/07/11(火) 12:36:24.54 ID:3eq12KGK.net

>>68
最初解いた時は、
因数分解、素因数分解、二項定理、合同式くらいがキーワードかなと思ったが、

今考え直して見ると、これは三平方の定理だな、と。

京大の整数は三平方の定理がポイントとなる問題が結構多い。だが気付く人は少ないだろう。