なんで積分したら面積が求まんの？

1 ：名無しなのに合格：2019/06/17(月) 01:14:26.53 ID:ps7x7NFy.net

fラン理系なんだけど理解できないから分かりやすく説明してほしい

2 ：名無しなのに合格：2019/06/17(月) 01:16:45.72 ID:ps7x7NFy.net

素朴な疑問ね
微分→接線の傾きは分かるけどその逆が面積ってのがどうもしっくりこない

3 ：名無しなのに合格：2019/06/17(月) 01:18:37.11 ID:uXtQ8KmM.net

https://i.imgur.com/WVU2Q8I.jpg

4 ：名無しなのに合格：2019/06/17(月) 01:21:24.93 ID:rCWsoJvx.net

杷(x)Δx→∫f(x)dx (Δ→0)

5 ：名無しなのに合格：2019/06/17(月) 01:24:17.95 ID:rCWsoJvx.net

式の最初の拍ﾁえてる

6 ：名無しなのに合格：2019/06/17(月) 01:28:34.65 ID:lmzrJvko.net

領域を微小区間に区切って、区切った範囲を長方形と見立ててシグマで範囲を網羅するように長方形の面積を足す計算をしたら、定積分の式が得られたんやろ(文系の妄想)

7 ：名無しなのに合格：2019/06/17(月) 01:44:06.75 ID:3gVXm4eC.net

この質問よく見るけど
どこがわからないのかが未だにわからない
難しいところないだろ

8 ：名無しなのに合格：2019/06/17(月) 02:00:00.49 ID:WwCNVh9l.net

積分の前に極限の概念理解してなさそう

9 ：名無しなのに合格：2019/06/17(月) 02:07:27.09 ID:PD2X3byJ.net

大学で電気磁気学とか習うと深く分かるけど積分は面積を求めるというより次元を変えるみたいな意味合いが強いような気がする、例えばガウスの定理とか

10 ：名無しなのに合格：2019/06/17(月) 02:33:35.27 ID:wamZhHNQ.net

簡単のために区間を等分割するごく簡単な場合のリーマン和を考える.
Δ=(b-a)/n (n:正整数)として,
∫[a,b]f(t)dt= lim[n→∞]Σ[k=0,n]f(a+Δk)Δと定義する.
この定義より,∫[a,h]f(t)dt+∫[h,b]f(t)dt=∫[a,b]f(t)dtが成り立つ.
ここでF(x)=∫[a,x]f(t)dtという関数を定義し,その導関数を考える.
{F(x+h)-F(x)}/h
= (1/h){∫[a,x+h]f(t)dt - ∫[a,x]f(t)dt}
= (1/h){∫[a,x]f(t)dt+∫[x,x+h]f(t)dt - ∫[a,x]f(t)dt}
= (1/h)∫[x,x+h]f(t)dt
ここで積分の平均値の定理よりxとx+hの間に次のようなcが存在する.
f(c)=(1/h)∫[x,x+h]f(t)dt
またh→0においてc→xである.
これらをあわせると,
lim[h→0]{F(x+h)-F(x)}/h=f(x)
つまりF'(x)=f(x)が成り立つ.
高校生ならこの程度の理解でおｋやろ.
厳密に理解したいなら実数の構成から考えないといかんから,
本筋に入るまでが面倒なのと,リーマン和の収束について若干面倒に感じるやろな.

11 ：名無しなのに合格：2019/06/17(月) 02:41:47.57 ID:cdNZ4X0x.net

「そんなんもわかんないの？」って言ってるやつほど厳密な理解は出来てないんだろうな

12 ：名無しなのに合格：2019/06/17(月) 03:02:01.26 ID:hrx+0rKJ.net

積分の値を面積と定義したから

13 ：名無しなのに合格：2019/06/17(月) 03:33:26.46 ID:5MUwLk3i.net

教科書見れば分かるけど教科書見なきゃわからんわ

14 ：名無しなのに合格：2019/06/17(月) 05:46:58.29 ID:vgd0Yl9W.net

f(x)が微小な底辺でdxが微小な高さ
f(x)×dxで微小な四角形の面積
それを�唐ﾅ任意の範囲の微小な四角形を全部足すから

15 ：名無しなのに合格：2019/06/17(月) 05:47:23.60 ID:vgd0Yl9W.net

あ、f(x)とdx逆やった

16 ：名無しなのに合格：2019/06/17(月) 06:05:26.15 ID:D4764pbW.net

最初から厳密に理解しようとすると行き詰まるよ
まずはなんとなく理解して問題演習してるうちに分かってくるはず

17 ：名無しなのに合格：2019/06/17(月) 06:37:06.28 ID:NF5yFMMv.net

>>14
マジレスするとこれ
小さい四角形を足してるんや

18 ：名無しなのに合格：2019/06/17(月) 06:54:37.48 ID:CI6PfbmI.net

別にf(x)が微小である必要はないけどな

19 ：名無しなのに合格：2019/06/17(月) 10:53:30.96 ID:wamZhHNQ.net

お前らしょうもない説明しか出来ないのか…

20 ：名無しなのに合格：2019/06/17(月) 11:12:02.15 ID:+LlNvdZg.net

>>19
俺よくわからんのやけど、cosΘ積分するとなんでsinΘになるのか説明してくれや
あとガウス積分の結果とかも意味を説明して欲しい

21 ：名無しなのに合格：2019/06/17(月) 11:23:23.14 ID:wamZhHNQ.net

>>20
最初の問いは不定積分の問題やろ。
ガウス積分の応用→例えば正規分布の導出(二項分布の極限として導出も可であるが)

22 ：名無しなのに合格：2019/06/17(月) 11:30:56.77 ID:24P7rXwg.net

俺も文系だからよくわかんないけど、リーマン和の極限で面積を求めると言うよりかはリーマン和の極限として図形の面積を定義していると言った方が正しいのでは?

23 ：名無しなのに合格：2019/06/17(月) 14:04:47.34 ID:wamZhHNQ.net

>>22
「現代」数学ではそういうことになるが、
高校数学の視点では面積という概念自体は自明のものとして扱っている。
だから高校数学においては、リーマン和の極限によって面積が求まると言っても何もおかしくは無い。

24 ：名無しなのに合格：2019/06/17(月) 14:58:33.63 ID:1XSUT49P.net

は〜測度論やろう

25 ：名無しなのに合格：2019/06/17(月) 16:23:35.95 ID:24P7rXwg.net

>>23
それもそうか
高校数学の範囲だと最初から定義されたことになってるから、リーマン和の極限で定義する必要が無いのか
ニワカ知識話してすまん

26 ：名無しなのに合格：2019/06/17(月) 18:35:06.39 ID:JJW1HRlf.net

散々書いてるやついるけど積分はただの区分求積の極限
微分の逆演算だと分かったのは微分積分学の基礎定理が発見されてから

27 ：名無しなのに合格：2019/06/17(月) 20:30:59.02 ID:iAv+1m6J.net

数学は理不尽なんだよ。虚数とか理解できない。
二乗してマイナスになる数字ってなんだよ笑。

28 ：名無しなのに合格：2019/06/17(月) 21:50:31.70 ID:PD2X3byJ.net

>>27
複素数がなければフェーザ表示ができなくなる

29 ：名無しなのに合格：2019/06/17(月) 23:24:18.31 ID:ps7x7NFy.net

そーじゃなくて、なんで接戦の傾きを求める計算を逆算すると面積っていう全く関係ない値になるのかがわからんの
そりゃ短冊をちっちゃくしてって全部足したらいつか面積になるってのはわかるわ
塾講やっててクソガキに聞かれて困ってたんや

30 ：名無しなのに合格：2019/06/17(月) 23:29:05.42 ID:YvhZUddq.net

f(x)とx=a、x=bで囲まれた面積をs(x)とするとこから

31 ：名無しなのに合格：2019/06/17(月) 23:38:13.00 ID:y976HUh+.net

何で-1の2乗は1なの？
ぶっちゃけ覚えてるだけだよな

32 ：名無しなのに合格：2019/06/17(月) 23:40:28.31 ID:XRnswpvu.net

微分の逆が積分って証明するのは結構難しい
大学数学でも教科書には書いてあるけど講義ではスルーされがちだし

33 ：名無しなのに合格：2019/06/17(月) 23:43:11.94 ID:ps7x7NFy.net

>>31
それは-1÷-1＝1だからだろ

34 ：名無しなのに合格：2019/06/18(火) 01:38:17.54 ID:UBS6kkfv.net

>>26とかいう馬鹿が沸いてるけど、微分の逆演算としての不定積分と、
無限級数としての定積分は元々は全く別物なんだよなぁ。
微分積分学の基本定理の発見で、それまで困難だった無限級数の計算が、
原始関数を求める(不定積分)だけで済むようになった。

35 ：名無しなのに合格：2019/06/18(火) 01:58:12.83 ID:Q9AfhK+5.net

>>34
微分と定積分の関係がわかる前には不定積分なんてなかった

36 ：名無しなのに合格：2019/06/18(火) 02:00:26.14 ID:5/FWgJgz.net

証明はできるけど、直感的になぜかと言われると難しい話だな

37 ：名無しなのに合格：2019/06/18(火) 16:51:33.87 ID:Mj9c8KSD.net

>>33
それっておかしくねぇ？